Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Tọa độ của vecto

Hoàng Huyền Trang Ngày: 12-02-2023 Lớp 10

725

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1. Tọa độ của vecto sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 2. Mời các bạn đóan xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Tọa độ của vecto

1. Tọa độ của vecto đối với một hệ trục tọa độ

Câu hỏi trang 38 Toán 10

HĐ Khởi động trang 38 Toán 10 Tập 2: Hãy tìm cách xác định vị trí các quân mã trên bàn cờ vua

HĐ Khởi động trang 38 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

Bàn cờ được chia thành 8 hàng (1-8) và 8 cột (a-h) đánh số như hình vẽ.

Do đó mỗi quân cờ xác định khi biết số hàng và số cột, tương ứng với cặp số (x;y) trong đó x là số hàng, y là số cột.

Khi đó hai mã đen có vị trí là (8;b) và (4;e)

Hai mã trắng có vị trí là (3;c) và (3;f)

Cách 2:

Đặt gốc tọa độ tại góc dưới, bên trái của bàn cờ. Coi mỗi ô vuông là 1 đơn vị.

Ta xác định được tọa độ của các con mã như sau:

Hai mã đen có tọa độ lần lượt là (2;8), (5;4)

Hai mã trắng có tọa độ lần lượt là (3;3) và (6;3)

HĐ Khám phá 1 trang 38 Toán 10 Tập 2: Nêu nhận xét về độ lớn, phương và chiều của vectơ trên trục $O x$ và vectơ $\vec{j}$ trên trục $O y$ (hình 1)

HĐ Khám phá 1 trang 38 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

+) Vectơ có độ lớn bằng 1 đơn vị, phương song song với trục $O x$ và cùng chiều với $O x$

+) Vectơ $\vec{j}$ có độ lớn bằng 1 đơn vị, phương song song với trục $O y$ và cùng chiều với $O y$ .

HĐ Khám phá 2 trang 38 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho một vectơ $\vec{a}$ tùy ý. Vẽ $\vec{O A} = \vec{a}$ và gọi $A_{1}, A_{2}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy (hình 4). Đặt ${\vec{O A}}_{1} = x \vec{i}$ , ${\vec{O A}}_{2} = y \vec{j}$ . Biểu diễn vectơ $\vec{a}$ theo hai vectơ và $\vec{j}$

HĐ Khám phá 2 trang 38 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng quy tắc hình bình hành $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$

Bước 2: Dựa vào hình vẽ tìm x,y

Bước 3: Biểu diễn vectơ $\vec{a}$

Lời giải

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\vec{O A} = \vec{O A_{1}} + \vec{O A_{2}}$

Dựa vào hình vẽ ta thấy ${\vec{O A}}_{1} = 3 \vec{i}$ và ${\vec{O A}}_{2} = 2 \vec{j}$

Vậy $\vec{a} = \vec{O A} = \vec{O A_{1}} + \vec{O A_{2}} = 3 \vec{i} + 2 \vec{j}$

HĐ Khám phá 3 trang 39 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M. Xác định tọa độ của vectơ $\vec{O M}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ điểm M(x;y) xác định $M_{1}, M_{2}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống trục hoành và trục tung

Bước 2: Tìm m, n sao cho $\vec{O M_{1}} = m . \vec{i}; \vec{O M_{2}} = n . \vec{j}$

Bước 3: Dựa vào quy tắc hình bình hành, suy ra tọa độ của vectơ $\vec{O M}$ theo $\vec{i}; \vec{j}$ .

Lời giải

Cho điểm M(x;y) bất kì, xác định $M_{1}, M_{2}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống trục hoành và trục tung

Dễ thấy $\vec{O M_{1}} = x \vec{i}; \vec{O M_{2}} = y \vec{j}$

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\vec{O M} = \vec{O M_{1}} + \vec{O M_{2}} = x \vec{i} + y \vec{j}$

Vậy tọa độ của vectơ $\vec{O M}$ là (x;y), trùng với tọa độ điểm M.

Câu hỏi trang 40 Toán 10

Thực hành 1 trang 40 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm $D (- 1; 4), E (0; - 3), F (5; 0)$

a) Vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy

b) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{O D}, \vec{O E}, \vec{O F}$ .

c) Vẽ và tìm tọa độ hai vectơ đơn vị và $\vec{j}$ lần lượt trên hai trục tọa độ Ox và Oy

Lời giải

Thực hành 1 trang 40 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

b) Vì tọa độ vectơ $\vec{O M}$ chính là tọa độ của điểm M (với mọi M) nên ta có:

$\vec{O D} = (- 1; 4), \vec{O E} = (0; - 3), \vec{O F} = (5; 0)$

Thực hành 1 trang 40 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Từ hình vẽ ta có tọa độ của hai vectơ và $\vec{j}$ là

và $\vec{j} = (0; 1)$

Vận dụng 1 trang 40 Toán 10 Tập 2: Một máy bay đang cất cánh với vận tốc 240 km/h theo phương hợp với phương nằm ngang một góc $30^{\circ}$ (hình 7)

a) Tính độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật ABCD

b) Biểu diễn vận tốc $\vec{v}$ theo hai vectơ và $\vec{j}$

c) Tìm tọa độ của $\vec{v}$

Vận dụng 1 trang 40 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

a) Vận tốc 240 km/h nên $| \vec{v} | = A C = 240$

Áp dụng các tính chất trong tam giác vuông ta có

$A B = D C = A C . \cos (\hat{C A B}) = 240. \cos (30^{\circ}) = 120 \frac{\sqrt{3}}{2}$

$A D = B C = A C . \sin (\hat{C A B}) = 240. \sin (30^{\circ}) = 120$

b) Xem A là gốc tọa độ nên ta có $\vec{A B} = 120 \vec{i}, \vec{A D} = 120 \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{j}, \vec{v} = \vec{A C} = 120 \vec{i} + 120 \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{j}$

Ta có $\vec{v} = 120 \vec{i} + 120 \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{j}$

Vậy tọa độ của vectơ $\vec{v}$ là $(120; 120 \frac{\sqrt{3}}{2})$

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

HĐ Khám phá 2 trang 40 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2})$ và số thực k. Ta đã biết có thể biểu diễn từng vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ theo hai vectơ , $\vec{j}$ như sau

a) Biểu diễn từng vectơ $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, k \vec{a}$ theo hai vectơ , $\vec{j}$

b) Tìm $\vec{a} . \vec{b}$ theo tọa độ của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$

Lời giải

a) Ta có

$\begin{array}{l} \vec{a} + \vec{b} = (a_{1} + a_{2} \vec{j}) + (b_{1} + b_{2} \vec{j}) = (a_{1} + b_{1}) + (a_{2} + b_{2}) \\ \vec{a} - \vec{b} = (a_{1} + a_{2} \vec{j}) - (b_{1} + b_{2} \vec{j}) = (a_{1} - b_{1}) + (a_{2} - b_{2}) \\ k \vec{a} = k (a_{1} + a_{2} \vec{j}) = k a_{1} + k a_{2} \vec{j} \end{array}$

b) Ta có

$\begin{array}{l} \vec{a} . \vec{b} = (a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j}) . (b_{1} \vec{i} + b_{2} \vec{j}) \\ = a_{1} b_{1} {\vec{i}}^{2} + a_{1} b_{2} \vec{i} . \vec{j} + a_{2} b_{1} \vec{i} \vec{j} + a_{2} b_{2} {\vec{j}}^{2} \\ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} \end{array}$

Vì ${\vec{i}}^{2} = {| \vec{i} |}^{2} = 1, {\vec{j}}^{2} = {| \vec{j} |}^{2} = 1, \vec{i} \vec{j} = 0$

Câu hỏi trang 41 Toán 10

Thực hành 2 trang 41 Toán 10 Tập 2: Cho hai vectơ $\vec{m} = (- 6; 1), \vec{n} = (0; 2)$

a) Tìm tọa độ các vectơ $\vec{m} + \vec{n}, \vec{m} - \vec{n}, 10 \vec{m}, - 4 \vec{n}$

b) Tính các tích vô hướng $\vec{m} . \vec{n}, (10 \vec{m}) . (- 4 \vec{n})$

Phương pháp giải:

Thực hành 2 trang 41 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải

a) Ta có

$\begin{array}{l} \vec{m} + \vec{n} = ((- 6 + 0); 1 + 2) = (- 6; 3) \\ \vec{m} - \vec{n} = ((- 6 - 0); (1 - 2)) = (- 6; - 1) \\ 10 \vec{m} = (10. (- 6); 10.1) = (- 60; 10) \\ - 4 \vec{n} = ((- 4) .0; (- 4) .2) = (0; - 8) \end{array}$

b) Ta có

$\vec{m} . \vec{n} = (- 6) .0 + 1.2 = 0 + 2 = 2$

Ta có $10 \vec{m} = (- 60; 10)$ và $- 4 \vec{n} = (0; - 8)$ nên $(10 \vec{m}) . (- 4 \vec{n}) = (- 60) .0 + 10. (- 8) = 0 - 80 = - 80$

Vận dụng 2 trang 41 Toán 10 Tập 2: Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc $\vec{v} = (10; - 8)$ (hình 8). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu vùng biển là $\vec{w} = (3, 5; 0)$ . Tìm tọa dộ của vectơ tổng hai vận tốc $\vec{v}$ và $\vec{w}$

Vận dụng 2 trang 41 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Với $\vec{v} = (v_{1}; v_{2}), \vec{w} = (w_{1}; w_{2})$ thì $\vec{v} + \vec{w}$ là $(v_{1} + w_{1}; v_{2} + w_{2})$

Lời giải

$\vec{v} + \vec{w} = (10 + 3, 5; (- 8) + 0) = (13, 5; - 8)$

Vậy tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc $\vec{v}$ và $\vec{w}$ là $(13, 5; - 8)$

3. Áp dụng của tọa độ vecto

HĐ Khám phá 5 trang 41 Toán 10 Tập 2: Cho hai điểm $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B})$ . Từ biểu thức $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$ , tìm tọa độ vectơ $\vec{A B}$ theo tọa độ hai điểm A,B

Phương pháp giải:

Với $\vec{v} = (v_{1}; v_{2}), \vec{w} = (w_{1}; w_{2})$ thì $\vec{v} + \vec{w}$ là $(v_{1} + w_{1}; v_{2} + w_{2})$

Lời giải

Ta có tọa độ vectơ $\vec{O B}, \vec{O A}$ chính là tọa độ điểm B và A

Nên ta có $\vec{O B} = (x_{B}; y_{B}), \vec{O A} = (x_{A}; y_{A})$

$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (x_{B}; y_{B}) - (x_{A}; y_{A}) = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$

Câu hỏi trang 42 Toán 10

Thực hành 3 trang 42 Toán 10 Tập 2: Cho $E (9; 9), F (8; - 7), G (0; - 6)$ . Tìm tọa độ các vectơ $\vec{F E}, \vec{F G}, \vec{E G}$

Phương pháp giải:

$\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$

Lời giải

Ta có

$\begin{array}{l} \vec{F E} = (x_{E} - x_{F}; y_{E} - y_{F}) = (9 - 8; 9 - (- 7)) = (1; 16) \\ \vec{F G} = (x_{G} - x_{F}; y_{G} - y_{F}) = (0 - 8; (- 6) - (- 7)) = (- 8; 1) \\ \vec{E G} = (x_{G} - x_{E}; y_{G} - y_{E}) = (0 - 9; (- 6) - 9) = (- 9; - 15) \end{array}$

HĐ Khám phá 6 trang 42 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B}), C (x_{C}; y_{C})$ . Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là trung điểm của đoạn thẳng AB, $G (x_{G}; y_{G})$ là trọng tâm của tam giác ABC

a) Biểu thị vectơ $\vec{O M}$ theo hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$

b) Biểu thị vectơ $\vec{O G}$ theo ba vectơ $\vec{O A}$ , $\vec{O B}$ và $\vec{O C}$

c) Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M, G theo tọa độ của các điểm A, B, C

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất trung điểm $\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ (với M là trung điểm của đoạn thẳng AB)

b) Sử dụng tính chất trọng tâm $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ (với G là trọng tâm của tam giác ABC)

c) Thay tọa độ các điểm vào và xác định

Lời giải

a) M là trung điểm của đoạn thẳng AB, áp dụng tính chất trung điểm ta có:

$\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$

b) G là trọng tâm của tam giác ABC, áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác ta có:

$\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$

c) Ta có $\vec{O A} = (x_{A}; y_{A}), \vec{O B} = (x_{B}; y_{B}), \vec{O C} = (x_{C}; y_{C})$

Suy ra:

$\begin{array}{l} \vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B}) = \frac{1}{2} [(x_{A}; y_{A}) + (x_{B}; y_{B})] \\ = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}) = \frac{1}{3} [(x_{A}; y_{A}) + (x_{B}; y_{B}) + (x_{c}; y_{c})] \\ = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}) \end{array}$

Mà ta có tọa độ vectơ $\vec{O M}$ chính là tọa độ điểm M, nên ta có

Tọa độ điểm M là $(x_{M}; y_{M}) = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$

Tọa độ điểm G là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$

Câu hỏi trang 43 Toán 10

Thực hành 4 trang 43 Toán 10 Tập 2: Cho tam giác QRS có tọa độ các đỉnh $Q (7; - 2), R (- 4; 9)$ và $S (5; 8)$

a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS

Phương pháp giải:

Tọa độ điểm M là $(\frac{x_{Q} + x_{S}}{2}; \frac{y_{Q} + y_{S}}{2})$

Tọa độ điểm G là $(\frac{x_{Q} + x_{R} + x_{S}}{3}; \frac{y_{Q} + y_{R} + y_{S}}{3})$

Lời giải

a) $x_{M} = \frac{x_{Q} + x_{S}}{2} = \frac{7 + (- 2)}{2} = \frac{5}{2}; y_{M} = \frac{y_{Q} + y_{S}}{2} = \frac{(- 2) + 8}{2} = 3$

Vậy $M (\frac{5}{2}; 3)$

$x_{G} = \frac{x_{Q} + x_{S} + x_{R}}{3} = \frac{7 + (- 2) + (- 4)}{3} = \frac{1}{3}; y_{M} = \frac{y_{Q} + y_{S} + y_{R}}{3} = \frac{(- 2) + 8 + 9}{3} = 5$

Vậy $G (\frac{1}{3}; 5)$

HĐ Khám phá 7 trang 43 Toán 10 Tập 2: Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ và hai điểm $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B})$ . Hoàn thành các phép biến đổi sau:

a) $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = . . . ?$

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow {\begin{cases} a_{1} = t b_{1} \\ a_{2} = t b_{2} \end{cases}$ hay ${\begin{cases} b_{1} = k a_{1} \\ b_{2} = k a_{2} \end{cases} \Leftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = . . . ?$

c) $| \vec{a} | = \sqrt{{(\vec{a})}^{2}} = \sqrt{. ? .}$

d) $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) \Rightarrow A B = \sqrt{{(\vec{A B})}^{2}} = \sqrt{. ? .}$

e) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{. ? .}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}} . \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ ( $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ )

Lời giải

a) $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow {\begin{cases} a_{1} = t b_{1} \\ a_{2} = t b_{2} \end{cases}$ hay ${\begin{cases} b_{1} = k a_{1} \\ b_{2} = k a_{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = a_{1} . k a_{2} - a_{2} . k a_{1} = 0$

c) $| \vec{a} | = \sqrt{{(\vec{a})}^{2}} = \sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}}$

d) $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) \Rightarrow A B = \sqrt{{(\vec{A B})}^{2}}$

$= \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$

e) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2}} . \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$

Câu hỏi trang 44 Toán 10

Thực hành 5 trang 44 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh $D (2; 2), E (6; 2)$ và $F (2; 6)$

a) Tìm tọa độ điểm H là chân đường vuông cao của tam giác DEF kẻ từ D

b) Giải tam giác DEF

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tọa độ các vectơ $\vec{D H}, \vec{E F}$

Bước 2: Dựa vào ứng dụng tọa độ của các phép toán vectơ (tính chất vuông góc)

Lời giải

a) Ta có: $\vec{E F} = (- 2; 4)$

Gọi tọa độ điểm H là $(x; y)$ ta có $\vec{D H} = (x - 2; y - 2), \vec{E H} = (x - 6; y - 2)$

H là chân đường cao nên $\vec{D H} ⊥ \vec{E F}$

$\begin{array}{l} \vec{D H} ⊥ \vec{E F} \Leftrightarrow (x - 2) . (- 2) + (y - 2) .4 = 0 \\ \Leftrightarrow - 2 x + 4 y - 4 = 0 \end{array}$ (1)

Hai vectơ $\vec{E H}, \vec{E F}$ cùng phương

$\Leftrightarrow (x - 6) . (- 2) - (y - 2) .4 = 0 \Leftrightarrow - 2 x - 4 y + 20 = 0$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

${\begin{cases} - 2 x + 4 y - 4 = 0 \\ - 2 x - 4 y + 20 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases}$

Vậy $H (4; 3)$

b) Ta có: $\vec{D E} = (4; 0), \vec{D F} = (0; 4), \vec{E F} = (- 4; 4)$

Suy ra: $D E = | \vec{D E} | = \sqrt{4^{2} + 0^{2}} = 4, D F = | \vec{D F} | = \sqrt{0^{2} + 4^{2}} = 4$

$E F = | \vec{E F} | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 4^{2}} = 4 \sqrt{2}$

$\begin{array}{l} \cos D = \cos (\vec{D E}, \vec{D F}) = \frac{\vec{D E} . \vec{D F}}{D E . D F} = \frac{4.0 + 0.4}{4.4} = 0 \Rightarrow \hat{D} = 90^{\circ} \\ \cos E = \cos (\vec{E D}, \vec{E F}) = \frac{\vec{E D} . \vec{E F}}{E D . E F} = \frac{(- 4) . (- 4) + 0.4}{4.4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \hat{E} = 45^{\circ} \\ \hat{F} = 180^{\circ} - \hat{D} - \hat{E} = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \end{array}$

Vận dụng 3 trang 44 Toán 10 Tập 2: Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ $B (50; 30)$ và $C (32; - 23)$ . Một con tàu đang neo đậu tại điểm $A (- 10; 20)$

a) Tính số đo của $\hat{B A C}$

b) Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo

Vận dụng 3 trang 44 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tọa độ các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{B C}$

Bước 2:

a) $\cos \hat{B A C} = \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{A B . A C}$

b) $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$

Lời giải

Vận dụng 3 trang 44 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) Ta có: $\vec{A B} = (60; 10), \vec{A C} = (42; - 43), \vec{B C} = (- 18; - 53)$

$\cos \hat{B A C} = \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{A B . A C} = \frac{60.42 + 10. (- 43)}{\sqrt{60^{2} + 10^{2}} . \sqrt{42^{2} + {(- 43)}^{2}}} ≃ 0, 572 \Rightarrow \hat{B A C} \approx 55^{\circ} 8^{'}$

Khoảng cách từ tàu đến đảo B là $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{60^{2} + 10^{2}} = 10 \sqrt{37}$ (km)

Khoảng cách từ tàu đến đảo B là $A C = | \vec{A C} | = \sqrt{42^{2} + {(- 43)}^{2}} = \sqrt{3613}$ (km)

Bài tập

Bài 1 trang 44 Toán 10 Tập 2: Trên trục $(O; \vec{e})$ cho các điểm A ,B, C, D có tọa độ lần lượt là 4; -1; -5; 0

a) Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho lên trên trục đó

b) Hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ cùng hướng hay ngược hướng?

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm tọa độ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$

Bước 2: Xác định tỉ lệ tọa độ của các vectơ $\vec{A B} = k \vec{C D}$

Nếu $k > 0$ thì hai vectơ cùng hướng

Nếu $k < 0$ thì hai vectơ ngược hướng

Lời giải

Bài 1 trang 44 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

b) Ta có: Tọa độ các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ lần lượt là: -5; 5

Ta có $\vec{A B} = - \vec{C D}$

Vậy hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ ngược hướng.

Câu hỏi trang 45 Toán 10

Bài 2 trang 45 Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng

a) $\vec{a} = (4; - 6)$ và $\vec{b} = (- 2; 3)$ là hai vectơ ngược hướng

b) $\vec{a} = (- 2; 3)$ và $\vec{b} = (- 8; 12)$ là hai vectơ cùng hướng

c) $\vec{a} = (0; 4)$ và $\vec{b} = (0; - 4)$ là hai vectơ đối nhau

Phương pháp giải

Cho $\vec{A B} = k \vec{C D}$

Nếu $k > 0$ thì hai vectơ cùng hướng

Nếu $k < 0$ thì hai vectơ ngược hướng

Nếu $k = - 1$ thì hai vectơ đối nhau

Lời giải

a) Ta thấy $4 = (- 2) . (- 2); - 6 = (- 2) .3 \Rightarrow \vec{a} = - 2 \vec{b}$

$- 2 < 0$ nên hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng (đpcm)

b) Ta thấy $- 8 = 4. (- 2); 12 = 4.3 \Rightarrow \vec{b} = 4 \vec{a}$

$4 > 0$ nên hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng (đpcm)

c) Ta thấy $0 = - 1.0; 4 = (- 1) . (- 4) \Rightarrow \vec{a} = - \vec{b}$

Suy ra hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đối nhau (đpcm)

Bài 3 trang 45 Toán 10 Tập 2: Tìm tọa độ của các vectơ sau:

a) $\vec{a} = 2 \vec{i} + 7 \vec{j};$

b) $\vec{b} = - \vec{i} + 3 \vec{j};$

c) $\vec{c} = 4 \vec{i};$

d) $\vec{d} = - 9 \vec{j}$

Phương pháp giải

Vectơ $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j}$ có tọa độ là $(a_{1}; a_{2})$

Lời giải

a) Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là $(2; 7)$

b) Tọa độ của vectơ $\vec{b}$ là $(- 1; 3)$

c) Tọa độ của vectơ $\vec{c}$ là $(4; 0)$

d) Tọa độ của vectơ $\vec{d}$ là $(0; - 9)$

Bài 4 trang 45 Toán 10 Tập 2: Cho bốn điểm $A (3; 5), B (4; 0), C (0; - 3), D (2; 2)$ . Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

a) Thuộc trục hoành

b) Thuộc trục tung

c) Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Phương pháp giải

a) Điểm thuộc trục hoành có tung độ bằng 0

b) Điểm thuộc trục tung có hoành độ bằng 0

c) Điểm thuộc góc phần tư thứ nhất có tung độ bằng hoành độ

Lời giải

a) Vì điểm thuộc hoành độ có tung độ bằng 0 nên ta có điểm C thuộc trục hoành

b) Vì điểm thuộc tung độ có hoành độ bằng 0 nên ta có điểm B thuộc trục tung

c) Vì điểm thuộc góc phần tư thứ nhất có tung độ bằng hoành độ nên ta có điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất là điểm D.

Bài 5 trang 45 Toán 10 Tập 2: Cho điểm $M (x_{0}; y_{0})$ . Tìm tọa độ

a) Điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox

b) Điểm M’ đối xứng với M qua trục Ox

c) Điểm K là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy

d) Điểm M’’ đối xứng với M qua trục Oy

e) Điểm C đối xứng với M qua gốc tọa độ

Lời giải

Bài 5 trang 45 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

a) H là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox nên tọa độ điểm H là $H (x_{0}; 0)$

b) M’ đối xứng với M qua trục Ox nên H là trung điểm của MM’

Suy ra $x_{M^{'}} = 2 x_{H} - x_{M} = 2 x_{0} - x_{0} = x_{0}; y_{M^{'}} = 2 y_{H} - y_{M} = 2.0 - y_{0} = - y_{0}$

Vậy tọa độ điểm M’ là $(x_{0}; - y_{0})$

c) K là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy nên tọa độ điểm K là $K (0; y_{0})$

d) M’’ đối xứng với M qua trục Oy nên K là trung điểm của MM’’

Suy ra $x_{M^{″}} = 2 x_{K} - x_{M} = 2.0 - x_{0} = - x_{0}; y_{M^{″}} = 2 y_{K} - y_{M} = 2 y_{0} - y_{0} = y_{0}$

Vậy tọa độ điểm M’ là $(- x_{0}; y_{0})$

e) C đối xứng với M qua gốc tọa độ nên O là trung điểm của MC

Suy ra $x_{C} = 2 x_{O} - x_{M} = 2.0 - x_{0} = - x_{0}; y_{C} = 2 y_{O} - y_{M} = 2.0 - y_{0} = - y_{0}$

Vậy tọa độ điểm C là $(- x_{0}; - y_{0})$

Bài 6 trang 45 Toán 10 Tập 2: Cho ba điểm $A (2; 2), B (3; 5), C (5; 5)$

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành

b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD

c) Giải tam giác ABC

Phương pháp giải

a) Bước 1: Xác định tọa độ vectơ $\vec{A B}$ , $\vec{D C}$

Bước 2: Áp dụng quy tắc hình bình hành $\vec{A B}$ = $\vec{D C}$ (hai vectơ bằng nhau thì tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau)

b) Áp dụng tính chất trung điểm

c) Sử dụng ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Lời giải

a) Gọi tọa độ của điểm D là $(x; y)$ ta có: $\vec{A B} = (1; 3)$ , $\vec{D C} = (5 - x; 5 - y)$

Để ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B}$ = $\vec{D C}$

Suy ra ${\begin{cases} 5 - x = 1 \\ 5 - y = 3 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy để ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là $D (4; 2)$

b) Gọi M là giao điểm của hai đường chéo, suy ra M là trung điểm của AC

Suy ra: $x_{M} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} = \frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2}; y_{M} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} = \frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2}$

Vậy tọa đọ giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD là $M (\frac{7}{2}; \frac{7}{2})$

c) Ta có: $\vec{A B} = (1; 3), \vec{A C} = (3; 3), \vec{B C} = (2; 0)$

Suy ra: $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}, A C = | \vec{A C} | = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{2}$

$B C = | \vec{B C} | = \sqrt{2^{2} + 0^{2}} = 2$

$\begin{array}{l} \cos A = \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{A B . A C} = \frac{1.3 + 3.3}{\sqrt{10} .3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \Rightarrow \hat{A} \approx 26^{\circ} 33^{'} \\ \cos B = \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = \frac{\vec{B A} . \vec{B C}}{B A . B C} = \frac{(- 1) .2 + (- 3) 0}{\sqrt{10} .2} = - \frac{\sqrt{10}}{10} \Rightarrow \hat{B} = 108^{\circ} 26^{'} \\ \hat{C} = 180^{\circ} - \hat{A} - \hat{B} = 180^{\circ} - 26^{\circ} 33^{'} - 108^{\circ} 26^{'} = 45^{\circ} 1^{'} \end{array}$

Bài 7 trang 45 Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC có các điểm $M (2; 2), N (3; 4), P (5; 3)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA

a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

b) Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác ABC và MNP trùng nhau

c) Giải tam giác ABC

Phương pháp giải

a) Tọa độ trung điểm M của AB là: $M = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$

b) Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$

Tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là: $G^{'} = (\frac{x_{M} + x_{N} + x_{P}}{3}; \frac{y_{M} + y_{N} + y_{P}}{3})$

Lời giải

a) Gọi tọa độ các điểm như sau: $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B}), C (x_{C}; y_{C})$

$M (2; 2), N (3; 4), P (5; 3)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA nên ta có:

${\begin{cases} x_{A} + x_{B} = 2 x_{M} = 4 \\ x_{A} + x_{C} = 2 x_{P} = 10 \\ x_{C} + x_{B} = 2 x_{N} = 6 \\ y_{A} + y_{B} = 2 y_{M} = 4 \\ y_{A} + y_{C} = 2 y_{P} = 8 \\ y_{C} + y_{B} = 2 y_{N} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{A} + x_{B} = 4 \\ x_{C} - x_{B} = 6 \\ x_{C} + x_{B} = 6 \\ y_{A} + y_{B} = 4 \\ y_{C} - y_{B} = 4 \\ y_{C} + y_{B} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{A} = 4 \\ x_{B} = 0 \\ x_{C} = 6 \\ y_{A} = 3 \\ y_{B} = 1 \\ y_{C} = 5 \end{cases}$

Vậy các đỉnh của tam giác có tọa độ là $A (4; 3), B (0; 1), C (6; 5)$

b) Gọi $G (x_{G}; y_{G}), G^{'} (x_{G^{'}}; y_{G^{'}})$ là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP

Áp dụng tính chất trọng tâm ta có:

$\begin{array}{l} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{4 + 0 + 6}{3} = \frac{10}{3}; y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{3 + 1 + 5}{3} = 3 \\ x_{G^{'}} = \frac{x_{M} + x_{N} + x_{P}}{3} = \frac{2 + 3 + 5}{3} = \frac{10}{3}; y_{G^{'}} = \frac{y_{M} + y_{N} + y_{P}}{3} = \frac{2 + 4 + 3}{3} = 3 \end{array}$

Suy ra $G (\frac{10}{3}; 3)$ và $G^{'} (\frac{10}{3}; 3)$ , tọa độ của chúng bằng nhau nên hai điểm G và G’ trùng nhau (đpcm)

c) Ta có: $\vec{A B} = (- 4; - 2), \vec{A C} = (2; 2), \vec{B C} = (6; 4)$

Suy ra: $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = 2 \sqrt{5}, A C = | \vec{A C} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$

$B C = | \vec{B C} | = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{13}$

$\begin{array}{l} \cos A = \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{A B . A C} = \frac{(- 4) .2 + (- 2) .2}{2 \sqrt{5} .2 \sqrt{2}} = - \frac{3 \sqrt{10}}{10} \Rightarrow \hat{A} \approx 161^{\circ} 33^{'} \\ \cos B = \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = \frac{\vec{B A} . \vec{B C}}{B A . B C} = \frac{4.6 + 2.4}{2 \sqrt{5} .2 \sqrt{13}} = \frac{8 \sqrt{65}}{65} \Rightarrow \hat{B} = 7^{\circ} 7^{'} \\ \hat{C} = 180^{\circ} - \hat{A} - \hat{B} = 180^{\circ} - 161^{\circ} 33^{'} - 7^{\circ} 7^{'} = 11^{\circ} 20^{'} \end{array}$

Bài 8 trang 45 Toán 10 Tập 2: Cho hai điểm $A (1; 3), B (4; 2)$

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA=DB

b) Tính chu vi tam giác OAB

c) Chứng minh rằng OA vuông góc AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB

Lời giải

a) Gọi tọa độ điểm D là $(x; 0)$

Ta có: $\vec{D B} = (4 - x; 2) \Rightarrow D B = | \vec{D B} | = \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 2^{2}}$

$\begin{array}{l} D A = D B \Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 2^{2}} \\ \Rightarrow {(1 - x)}^{2} + 3^{2} = {(4 - x)}^{2} + 2^{2} \\ \Rightarrow x^{2} - 2 x + 10 = x^{2} - 8 x + 20 \\ \Rightarrow 6 x = 10 \\ \Rightarrow x = \frac{5}{3} \end{array}$

Thay $x = \frac{5}{3}$ ta thấy thảo mãn phương trình

Vậy khi $D (\frac{5}{3}; 0)$ thì DA=DB

b) Ta có: $\vec{O A} = (1; 3) \Rightarrow O A = | \vec{O A} | = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$

$\vec{O B} = (4; 2) \Rightarrow O B = | \vec{O B} | = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{5}$

$\vec{A B} = (3; - 1) \Rightarrow A B = | \vec{A B} | = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{10}$

Chu vi tam giác OAB là

$C_{O A B} = O A + O B + A B = \sqrt{10} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{10} = 2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{5}$

c) $\vec{O A} . \vec{A B} = 1.3 + 3. (- 1) = 0 \Rightarrow O A ⊥ A B$

Tam giác OAB vuông tại A nên diện tích của tam giác là

$S_{O A B} = \frac{1}{2} O A . A B = \frac{1}{2} \sqrt{10} . \sqrt{10} = 5$

Bài 9 trang 45 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong các trường hợp sau

a) $\vec{a} = (2; - 3), \vec{b} = (6; 4)$

b) $\vec{a} = (3; 2), \vec{b} = (5; - 1)$

c) $\vec{a} = (- 2; - 2 \sqrt{3}), \vec{b} = (3; \sqrt{3})$

Phương pháp giải

+) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

+) $\vec{a} . \vec{b} = x_{a} . x_{b} + y_{a} . y_{b}$

+) $| \vec{a} | = \sqrt{{x_{a}}^{2} + {y_{a}}^{2}}$

Lời giải

a) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{2.6 + (- 3) .4}{\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}} . \sqrt{6^{2} + 4^{2}}} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$

b) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{3.5 + 2. (- 1)}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}} . \sqrt{5^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{\circ}$

c) $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{(- 2) .3 + (- 2 \sqrt{3}) . \sqrt{3}}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 2 \sqrt{3})}^{2}} . \sqrt{3^{2} + {\sqrt{3}}^{2}}} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 150^{\circ}$

Bài 10 trang 45 Toán 10 Tập 2: Cho bốn điểm $A (7; - 3), B (8; 4), C (1; 5), D (0; - 2)$ . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông

Phương pháp giải

Bước 1: Tính độ dài các cạnh thông qua độ dài vecto => tứ giác là hình thoi

Bước 2: Chỉ ra một góc vuông thông qua tích vô hướng => đpcm

Lời giải

Ta có: $\vec{A B} = (1; 7), \vec{A D} = (- 7; 1), \vec{C D} = (- 1; - 7)$ , $\vec{B C} = (- 7; 1)$

Suy ra $A B = \vec{A B} = \sqrt{1^{2} + 7^{2}} = 5 \sqrt{2}, A D = \vec{A D} = \sqrt{{(- 7)}^{2} + 1^{2}} = 5 \sqrt{2},$

$C D = \vec{C D} = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 7)}^{2}} = 5 \sqrt{2}$ , $B C = \vec{B C} = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2}} = 5 \sqrt{2}$

$\Rightarrow A B = B C = C D = D A = 5 \sqrt{2}$ (1)

Mặt khác ta có

$\cos (\vec{A B}, \vec{A D}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A D}}{A B . A D} = \frac{1. (- 7) + 7.1}{5 \sqrt{2} .5 \sqrt{2}} = 0 \Rightarrow \hat{A} = 90^{\circ}$ (2)