Toán 12 (Chân trời sáng tạo) Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Mai Hương Ngày: 15-03-2024 Lớp 12

273

Toptailieu biên soạn và giới thiệu lời giải Toán 12 (Chân trời sáng tạo) Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời câu hỏi SGK Toán 12 Bài 2 từ đó học tốt môn Toán 12.

Toán 12 (Chân trời sáng tạo) Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Khám phá 1 trang 14 SGK Toán 12 Tập 1: Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày.

a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?

i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là $28^{\circ} C$ .

ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là $40^{\circ} C$ .

iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là $34^{\circ} C$ .

b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày.

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Khẳng định đúng là iii) vì nhìn hình ta thấy điểm cao nhất của đồ thị là $34^{\circ} C$

b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày ( $34^{\circ} C$ ) là lúc 16 giờ

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là $20^{\circ} C$

Thực hành 1 trang 16 SGK Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ trên đoạn [0;3]

b) $g (x) = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng (0;5)

c) $h (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$

Lời giải:

a) Xét $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ trên đoạn [0;3]

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 1 \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{[0; 3]} f (x) = f (0) = 1$ và $max_{[0; 3]} f (x) = f (3) = 10$

b) Xét $g (x) = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng (0;5)

$g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 (l o a i) \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{(0; 5)} f (x) = f (1) = 2$ và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng (0;5)

c) Xét $h (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$

Tập xác định: $D = [- \sqrt{2}; \sqrt{2}]$

$h^{'} (x) = \sqrt{2 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Tập xác định mới: $D_{1} = (- \sqrt{2}; \sqrt{2})$

$h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{D} f (x) = f (- 1) = - 1$ và $max_{D} f (x) = f (1) = 1$

Vận dụng 1 trang 16 SGK Toán 12 Tập 1: Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 14).

Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t $\geq$ 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)

$y (t) = 5 - \frac{15 t}{9 t^{2} + 1}$

Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?

(Theo: https://www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization _of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)

Lời giải:

Xét $y (t) = 5 - \frac{15 t}{9 t^{2} + 1}$ trên nửa đoạn $[0; + \infty)$

$y^{'} (t) = \frac{135 t^{2} - 15}{{(9 t^{2} + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{3} \\ x = - \frac{1}{3} (l o a i) \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{[0; + \infty)} y (t) = y (\frac{1}{3}) = - \frac{5}{2}$ và $max_{[0; + \infty)} y (t) = y (0) = 5$

Vậy vào các thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và t = $\frac{1}{3}$ giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất

Khám phá 2 trang 16 SGK Toán 12 Tập 1: Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ ; $g (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2} x^{2} n e u x \leq 2 \\ - 4 x + 10 n e u x \geq 2 \end{cases}$ và $h (x) = 3 - \frac{1}{2} x^{2}$ trên đoạn [-1;3]

a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?

b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?

Lời giải:

a) $h (x)$ đạt giá trị cực đại tại x = 0 và $\underset{[- 1; 3]}{max h (x)} = h (0) = 3$

b) $\underset{[- 1; 3]}{max f (x)} = f (3) = \frac{9}{2}$ và $\underset{[- 1; 3]}{max g (x)} = g (2) = 2$

Thực hành 2 trang 18 SGK Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = x + \frac{4}{x^{2}}$ trên đoạn [1;4]

Lời giải:

Xét $g (x) = x + \frac{4}{x^{2}}$ trên đoạn [1;4]

$g^{'} (x) = 1 - \frac{8}{x^{3}} = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{[1; 4]} g (x) = g (2) = 3$ và $max_{[1; 4]} g (x) = g (1) = 5$

Thực hành 3 trang 16 SGK Toán 12 Tập 1: Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đặt một cạnh góc vuông là x (x > 0) thì cạnh còn lại là $\sqrt{5 - x^{2}}$

Diện tích tam giác vuông là: $f (x) = x \sqrt{5 - x^{2}}$

Tập xác định: $D = (0; \sqrt{5}]$

$f^{'} (x) = \sqrt{5 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{5 - x^{2}}}$

Tập xác định mới: $D_{1} = (0; \sqrt{5})$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{10}}{2} \\ x = - \frac{\sqrt{10}}{2} (l o a i) \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{D} f (x) = f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{5}{2}$

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là $\frac{5}{2}$

Bài 1 trang 18 SGK Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5

Lời giải:

a) Từ đồ thị, ta thấy $max_{[1; 6]} f (x) = f (1) = 6$ và $min_{[1; 6]} f (x) = f (5) = 1$

b) Từ đồ thị, ta thấy $max_{[- 3; 3]} g (x) = g (- 3) = g (- 1) = 1$ và $min_{[- 3; 3]} g (x) = g (1) = 7$

Bài 2 trang 18 SGK Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = x^{3} - 12 x + 1$ trên đoạn [-1;3]
b) $y = - x^{3} + 24 x^{2} - 180 x + 400$ trên đoạn [3;11]
c) $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ trên đoạn [3;7]
d) $y = \sin 2 x$ trên đoạn $[0; \frac{7 π}{12}]$

Lời giải:

a) Xét $y = x^{3} - 12 x + 1$ trên đoạn [-1;3]

$y^{'} = 3 x^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 (l o a i) \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{[- 1; 3]} y = y (- 1) = 12$ và $min_{[- 1; 3]} y = y (2) = - 15$

b) Xét $y = - x^{3} + 24 x^{2} - 180 x + 400$ trên đoạn [3;11]

$y^{'} = - 3 x^{2} + 48 x - 180 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 10 \\ x = 6 \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{[3; 11]} y = y (3) = 49$ và $min_{[3; 11]} y = y (6) = - 32$

c) Xét $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ trên đoạn [3;7]

$y^{'} = \frac{- 5}{{(x - 2)}^{2}} < 0 \forall x \in [3; 7]$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{[3; 7]} y = y (3) = 7$ và $min_{[3; 7]} y = y (7) = 3$

d) Xét $y = \sin 2 x$ trên đoạn $[0; \frac{7 π}{12}]$

$y^{'} = 2 \cos 2 x = 0 \Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

Ta có: $x \in [0; \frac{7 π}{12}] \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{4}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{[0; \frac{7 π}{12}]} y = y (\frac{π}{4}) = 1$ và $min_{[0; \frac{7 π}{12}]} y = y (\frac{7 π}{12}) = - \frac{1}{2}$

Bài 3 trang 18 SGK Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y = x^{3} - 3 x - 4$ trên nửa khoảng [-3;2)
b) $y = \frac{3 x^{2} - 4 x}{x^{2} - 1}$ trên khoảng $(- 1; + \infty)$

Lời giải:

a) Xét $y = x^{3} - 3 x - 4$ trên nửa khoảng [-3;2)

$y^{'} = 3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{[- 3; 2)} y = y (- 3) = - 22$

b) Xét $y = \frac{3 x^{2} - 4 x}{x^{2} - 1}$ trên khoảng $(- 1; + \infty)$

Tập xác định: $D = (- 1; + \infty) ∖ {1}$

$y^{'} = \frac{4 x^{2} - 6 x + 4}{{(x^{2} - 1)}^{2}} > 0 \forall x \in D$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(- 1; + \infty)$

Bài 4 trang 18 SGK Toán 12 Tập 1: Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4m (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?

Lời giải:

Gọi a, b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của cửa sổ (m; a,b > 0)

Chu vi cửa sổ là: $2 (a + b) = 4 \Leftrightarrow b = 2 - a$

Diện tích cửa sổ là: $y = a b = a (2 - a) = - a^{2} + 2 a$

$y^{'} = - 2 a + 2 = 0 \Leftrightarrow a = 1$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{(0; + \infty)} y = y (1) = 1$

Vậy để diện tích cửa sổ lớn nhất bằng $1 m^{2}$

Bài 5 trang 18 SGK Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}$

Lời giải:

Tập xác định: $D = [- 1; 1]$

$y^{'} = \frac{- 2 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 x = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Tập xác định mới: $D_{1} = (- 1; 1)$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{D} y = y (0) = 2$ và $min_{D} y = y (- 1) = y (1) = 1$

Bài 6 trang 18 SGK Toán 12 Tập 1: Khối lượng $q$ (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán $p$ (nghìn đồng/kg) theo công thức $p = 15 - \frac{1}{2} q$ . Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức $R = p q$ .

a) Viết công thức biểu diễn $R$ theo $p$ .

b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.

Lời giải:

a) Ta có: $p = 15 - \frac{1}{2} q \Leftrightarrow q = 2 (15 - p)$

Thay vào $R = p q$ ta được: $R = p .2 (15 - p) = - 2 p^{2} + 30 p$

b) Đặt $y = - 2 p^{2} + 30 p$

Tập xác định: $D = (0; + \infty)$

$y^{'} = - 4 p + 30 = 0 \Leftrightarrow p = 7, 5$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{D} y = y (7, 5) = 112, 5$

Vậy nếu giá bán mỗi kilôgam sản phẩm là 7,5 nghìn đồng/kg thì sẽ đạt được doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng

Bài 7 trang 18 SGK Toán 12 Tập 1: Hộp sữa

1 l

được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi chiều cao của hộp là h (cm)

Thể tích của hộp là: $V = h . x^{2} = 1 \Leftrightarrow h = \frac{1}{x^{2}}$

Diện tích toàn phần của hộp là: $y = S_{t p} = S_{x q} + S_{d a y} = 4 h x + 2 x^{2} = 4. \frac{1}{x^{2}} . x + 2 x^{2} = 2 x^{2} + \frac{4}{x}$

Tập xác định: $D = (0; + \infty)$

$y^{'} = 4 x - \frac{4}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{D} y = y (1) = 6$

Vậy x = 1cm thì diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất và bằng 6 $c m^{2}$

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Từ khóa :

Giải bài tập Toán 12

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

299

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

321

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

348

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

296