Toán 10 Kết nối tri thức Bài 22: Ba đường conic

Nguyen Thi Minh Thao Ngày: 13-02-2023 Lớp 10

2.1 K

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 22: Ba đường conic sách Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 22: Ba đường conic

1. Elip

HĐ1 trang 48 SGK Toán 10 Tập 2: Định hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định $F_{1}; F_{2}$ , trên một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm $F_{1}; F_{2}$ ). Kéo căng sợi dây tại một điểm M bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyên đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín (H7.18).

a) Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?

b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí $F_{1}; F_{2}$ , có thay đổi không? Vì sao?

Lời giải:

a) Đường vừa nhận được là đường “màu đỏ” trong Hình 7.17.

b) Tổng khoảng cách từ đẩu bút đến các vị trí không thay đổi

Câu hỏi trang 49 Toán 10

Câu hỏi trang 49 SGK Toán 10 Tập 2: Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c?

Lời giải:

Cần điều điện a>c hay 2a>2c tức là $M F_{1} + M F_{2} > F_{1} F_{2}$ , nói cách khác là để điểm M nằm ngoài đoạn $F_{1} F_{2}$ , từ đó mới tạo thành elip.

Không tồn tại M để $M F_{1} + M F_{2} < F_{1} F_{2}$ (hay a <c)

Nếu $M F_{1} + M F_{2} = F_{1} F_{2}$ thì M thuộc đoạn $F_{1} F_{2}$ , cũng không tạo thành elip.

Luyện tập 1 trang 49 SGK Toán 10 Tập 2: Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bị tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bị đặt tại tiêu điểm còn lại của bạn, thì sau khi va vào thành bàn, bị sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bị hay không? Vì sao?.

Lời giải:

Quãng đường từ lúc bi lăn đến lúc về lỗ thu bi bằng tổng khoảng cách từ điểm bi chạm vào thành bàn tới hai tiêu điểm, dựa vào định nghĩa elip, tổng này luôn bằng 2a không đổi.

HĐ2 trang 49 SGK Toán 10 Tập 2: Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O là trung điểm của $F_{1} F_{2}$ , tia Ox trùng tia $O F_{2}$ (H721).

a) Nêu toạ độ của các tiêu điểm $F_{1}, F_{2}$ .

b) Giải thích vì sao điểm M(x;y) thuộc elip khi và chỉ khi $\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a$ .

Lời giải:

a) Tọa độ 2 tiêu điểm là: $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$ .

b) Ta có: $M F_{1} = \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}}, M F_{2} = \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}$ .Vậy để điểm M thuộc Elip thì khoảng cách $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ nên $\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a$

Câu hỏi trang 50 Toán 10

Luyện tập 2 trang 50 SGK Toán 10 Tập 2: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Phương pháp giải:

Tìm $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ , sau đó thay vào công thức xác định hai tiêu điểm và tiêu cự

Lời giải:

Ta có: $c = \sqrt{100^{2} - 64^{2}} = 6$ . Do đó (E) có hai tiêu điểm là $F_{1} (- 6; 0), F_{2} (6; 0)$ và có tiêu cự bằng 2c=12.

Vận dụng 1 trang 50 SGK Toán 10 Tập 2: Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ . Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế. Tinh chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng 75 cm.

Lời giải:

75 cm trên bản vẽ ứng với 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.

Gọi M là điểm trên vòm ô thoáng, có hoành độ 2,5 và tung độ là h.

M thuộc elip nên $\frac{2, 5^{2}}{16} + \frac{h^{2}}{4} = 1$

$\Leftrightarrow h = \sqrt{4. (1 - \frac{2, 5^{2}}{16})} = \frac{\sqrt{39}}{4} \approx 1, 56$

Vậy độ cao h trên thực tế là: $h = 1, 56.30 = 46, 8$ cm

2. Hypebol

Câu hỏi trang 50 SGK Toán 10 Tập 2: Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện a<c?

Lời giải:

Giả sử $M F_{1} > M F_{2}$ , ta có:

$| M F_{1} - M F_{2} | = M F_{1} - M F_{2} = M F_{1} + F_{1} F_{2} - (M F_{2} + F_{2} F_{1})$

Mà $M F_{2} + F_{2} F_{1} > M F_{1} \Rightarrow | M F_{1} - M F_{2} | < M F_{1} + F_{1} F_{2} - M F_{1} = F_{1} F_{2}$

Hay $2 a < 2 c \Leftrightarrow a < c$

Câu hỏi trang 51 Toán 10

Luyện tập 3 trang 51 SGK Toán 10 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD (H725). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Phương pháp giải:

Ta cần chỉ ra các điểm A, B, C, D thỏa mãn

$| A M - A N | = | B M - B N | = | C M - C N | = | D M - D N | < M N$ .

Lời giải:

Ta có: $A M = B M = C N = D N, A N = B N = C M = D M$ . Từ đó suy ra

$| A M - A N | = | B M - B N | = | C M - C N | = | D M - D N |$ .

Và $| A M - A N | < M N$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Vậy bốn điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường hyperbol với M,N là hai tiêu điểm.

HĐ3 trang 51 SGK Toán 10 Tập 2: Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O là trung điểm của $F_{1} F_{2}$ , tia Ox trùng tia $O F_{2}$ , (H.7.26). Nêu toạ độ của các tiêu điềm $F_{1}, F_{2}$ . Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi $| \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} | = 2 a$ .

Lời giải:

Ta có: $M F_{1} = \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}}, M F_{2} = \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}$ .Vậy để điểm M thuộc Hyperbol khi và chỉ khi $| M F_{1} - M F_{2} | = 2 a$ hay $| \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} | = 2 a$

Câu hỏi trang 52 Toán 10

Luyện tập 4 trang 52 SGK Toán 10 Tập 2: Cho (H): $\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H).

Phương pháp giải:

Tìm $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , sau đó thay vào công thức xác định hai tiêu điểm và tiêu cự.

Lời giải:

Ta có: $c = \sqrt{144 + 25} = 13$ .

Do đó (H) có hai tiêu điểm là $F_{1} (- 13; 0), F_{2} (13; 0)$ và có tiêu cự bằng $2 c = 26$ .

3. Parabol

HĐ4 trang 52 SGK Toán 10 Tập 2: Cho parabol (P): $y = \frac{1}{4} x^{2}$ . Xét F(0; 1) và đường thẳng $Δ : y + 1 = 0$ . Với điểm M(x;y) bất kì, chứng minh rằng $M F = d (M, Δ) \Leftrightarrow$ M(xy) thuộc (P).

Lời giải:

Ta có: $M F = \sqrt{x^{2} + {(y - 1)}^{2}}, d (M, Δ) = | y + 1 |$ .

Xét $M F = d (M, Δ) \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + {(y - 1)}^{2}} = | y + 1 | \Leftrightarrow x^{2} + {(y - 1)}^{2} = {(y + 1)}^{2} \Leftrightarrow x^{2} = 4 y \Leftrightarrow y = \frac{1}{4} x^{2}$ .

Vậy tập hợp điểm M để $M F = d (M, Δ)$ là parabol $y = \frac{1}{4} x^{2}$

HĐ5 trang 52 SGK Toán 10 Tập 2: Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn $Δ$ . Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên $Δ$ . Chọn hệ trục toạ độ Oxy Có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF (H7.27).

a) Nêu toạ độ của Fvà phương trình của $Δ$ .

b) Giải thích vì sao điềm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi $\sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}} = | x + \frac{p}{2} |$ .

Lời giải:

a) Tọa độ điểm F là: $F (\frac{p}{2}; 0)$ và phương trình đường chuẩn là: $Δ : x = - \frac{p}{2}$

b) Ta có: $M F = \sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}}, d (M, Δ) = | x + \frac{p}{2} |$ . Để M thuộc (P) thì $M F = d (M, Δ) \Leftrightarrow \sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}} = | x + \frac{p}{2} |$

Vận dụng 2 trang 53 SGK Toán 10 Tập 2: Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo (H.7.28). Coi bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gi? Vì sao?

Phương pháp giải:

Lấy d là đường thẳng song song với bờ biển cách bờ biển một khoảng bằng bán kính OA.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng nằm trong đất liền, song song với bờ biển và cách bờ biển một khoảng bằng bán kính OA.

Ta có: $d (M, d) = M H + R = M A + A O = M O$

Vậy tập hợp điểm M thuộc (P) có tiêu điểm là O. Đường chuẩn là d. Do đó đường ranh giới cần tìm là đường parabol (P).

4. Một số ứng dụng của ba đường conic

Câu hỏi trang 56 Toán 10

Vận dụng 3 trang 56 SGK Toán 10 Tập 2: Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H7.33) ứng với clip có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{400} + \frac{y^{2}}{76} = 1$ (theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

Lời giải:

Vị tri bắt đầu phát sóng của máy và vị trí viên sỏi được đặt ở hai tiêu điểm của gương elip, do đó khoảng cách cần tìm là tiêu cự của gương và bằng $2 c = 2 \sqrt{400 - 76} = 36 (c m)$ .

Bài tập

Bài 7.19 trang 56 SGK Toán 10 Tập 2: Cho Elip có phương trình $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Phương pháp giải:

Tính $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ ,

+ Tiêu điểm: $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$

+ Tiêu cự: $F_{1} F_{2} = 2 c$ .

Lời giải:

Ta có: $a^{2} = 36, b^{2} = 9 \Rightarrow c = \sqrt{36 - 9} = 3 \sqrt{3}$ nên elip có hai tiêu điểm là $F_{1} (- 3 \sqrt{3}; 0); F_{2} (3 \sqrt{3}; 0)$ và tiêu cự là $F_{1} F_{2} = 2 c = 6 \sqrt{3}$ .

Bài 7.20 trang 56 SGK Toán 10 Tập 2: Cho hyperbol có phương trình $\frac{x^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hyperbol.

Phương pháp giải:

Tính $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ,

+ tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$

+ tiêu cự $F_{1} F_{2} = 2 c$ .

Lời giải:

Ta có: $a^{2} = 7, b^{2} = 9 \Rightarrow c = \sqrt{7 + 9} = 4$ nên elip có hai tiêu điểm là $F_{1} (- 4; 0); F_{2} (4; 0)$ và tiêu cự là $F_{1} F_{2} = 2 c = 8$ .

Bài 7.21 trang 56 SGK Toán 10 Tập 2: Cho parabol có phương trình $y^{2} = 8 x$ . Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Phương pháp giải:

Tìm p, sau đó dựa vào công thức xác định tiêu điểm và đường chuẩn là để kết luận.

Lời giải:

Ta có: $2 p = 8 \Rightarrow p = 4$ nên (P) có tiêu điểm là $F (2; 0)$ và đường chuẩn là $x = - 2$ .

Bài 7.22 trang 56 SGK Toán 10 Tập 2: Lập phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm $A (5; 0)$ và có một tiêu điểm là $F_{2} (3; 0)$ .

Phương pháp giải:

Gọi phương trình chính tắc của (E), sau đó thay tọa điểm A vào phương trình (E) và sử dụng để tìm a,b.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ .

Elip đi qua $A (5; 0)$ nên ta có $\frac{5^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow a^{2} = 25$

Mặt khác elip có một tiêu điểm $F_{2} = (3; 0)$ nên ta có $c = 3$ , suy ra $b^{2} = c^{2} - a^{2} = 25 - 3^{2} = 16$

Vậy phương trình của elip là: $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ .

Bài 7.23 trang 56 SGK Toán 10 Tập 2: Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm $M (2; 4)$ .

Phương pháp giải:

Gọi phương trình chính tắc của (P), sau đó thay tọa điểm M vào phương trình (P) để tìm được tham số tiêu p.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (P) có dạng $y^{2} = 2 p x (p > 0)$

Vì (P) đi qua điểm $M (2; 4)$ nên ta có $4^{2} = 2 p .2 \Leftrightarrow p = 4$ .

Vậy phương trình chính tắc của (P) là $y^{2} = 8 x$ .

Bài 7.24 trang 56 SGK Toán 10 Tập 2: Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thuỷ thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thuỷ thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ, sau đó tìm phương trình hyperbol đi qua vị trí tàu thủy

Lời giải:

Gọi M là vị trí tàu thu tín hiệu. Gọi $t_{A}, t_{B}$ lần lượt là thời gian tín hiệu truyền từ trạm phát A,B đến M. Theo đề bài, ta có $t_{A} - t_{B} = - 0, 0005 s$ .

Suy ra $M A - M B = v . t_{A} - v . t_{B} = 292000. (- 0, 0005) = - 146 k m$ .

Gọi (H) là hyperbol ở dạng chính tắc nhận A,B làm hai tiêu điểm và đi qua M. Khi đó ta có:

${\begin{cases} 2 a = | M A - M B | = 146 \\ 2 c = A B = 300 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a = 73 \\ c = 150 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a = 73 \\ b^{2} = c^{2} - a^{2} = 17171 \end{cases}$