Chứng minh rằng với mọi góc x ( 0 ∘ ≤ x ≤ 90 ∘ ) , ta đều có

Phương Thảo Ngày: 21-10-2022 Lớp 10

349

Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

Chứng minh rằng với mọi góc x ( 0 ∘ ≤ x ≤ 90 ∘ ) , ta đều có

Bài 5 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi góc $x (0^{\circ} \leq x \leq 90^{\circ})$ , ta đều có:

a) $\sin x = \sqrt{1 - \cos^{2} x}$

b) $\cos x = \sqrt{1 - \sin^{2} x}$

c) $\tan^{2} x = \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} (x \neq 90^{\circ})$ d) $\cot^{2} x = \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} (x \neq 0^{\circ})$

Lời giải:

a) Theo định nghĩa ta có $\sin x = y_{0}, \cos x = x_{0}$

Với $(x_{0}, y_{0})$ là tọa độ điểm M sao cho $\hat{x O M} = x$

Ta có $x^{2} + y^{2} = 1 \Leftrightarrow \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$

$\Rightarrow \sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$

Mà $0^{\circ} \leq x \leq 90^{\circ}$ nên $\sin x > 0$

$\Rightarrow \sin x = \sqrt{1 - \cos^{2} x}$

b) Tương tự câu a) ta có:

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 1 \Leftrightarrow \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \\ \Rightarrow \cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x \end{array}$

Mà $0^{\circ} \leq x \leq 90^{\circ}$ nên $\cos x > 0$ $\Rightarrow \cos x = \sqrt{1 - \sin^{2} x}$

c) Với $x_{0} \neq 0$ ta có

$\tan x = \frac{y_{0}}{x_{0}} = \frac{\sin x}{\cos x}, \cos x \neq 0$

$\Rightarrow \tan^{2} x = {(\frac{\sin x}{\cos x})}^{2} \Rightarrow \tan^{2} x = \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x}$ (với $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 90^{\circ}$ ) đpcm

c) Với $y_{0} \neq 0$ ta có

$\cot x = \frac{x_{0}}{y_{0}} = \frac{\cos x}{\sin x}, \sin x \neq 0$

$\Rightarrow \cot^{2} x = {(\frac{\cos x}{\sin x})}^{2} \Rightarrow \cot^{2} x = \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}$ (với $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0^{\circ}$ ) đpcm