Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, ∠BAC = 60° . Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Phương Thảo Ngày: 15-11-2022 Lớp 10

334

Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài tập cuối chương IV Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, ∠BAC = 60° . Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Bài 72 trang 107 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, $\hat{B A C} = 60 °$ . Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp R;

c) Diện tích của tam giác ABC;

d) Độ dài đường cao xuất phát từ A;

e) $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A M} . \vec{A C}$ với M là trung điểm của BC.

Lời giải:

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

Xét tam giác ABC, có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos $\hat{B A C}$

= 4² + 6² – 2.4.6.cos60°

= 4² + 6² – 24

= 28

⇔ BC = $\sqrt{28}$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta được:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B}$

⇔ $\sin B = \frac{6. \sin 60 °}{\sqrt{28}} \approx 0, 98$

⇔ $\hat{B} \approx 79 °$ .

Vậy BC = $\sqrt{28}$ và $\hat{B} \approx 79 °$ .

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = 2 R$

⇔ $R = \frac{B C}{2 \sin A} = \frac{\sqrt{28}}{2 \sin 60 °} \approx 3$ .

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 3.

c) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta được:

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin \hat{B A C} = \frac{1}{2} .4.6. \sin 60 ° = 6 \sqrt{3}$ (đvdt)

Vậy diện tích của tam giác ABC là $6 \sqrt{3}$ (đvdt).

d) Gọi AH là đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A

Ngoài ra diện tích tam giác ABC là:

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B C . A H = \frac{1}{2} . \sqrt{28} . A H$

Theo ý c) ta tính được diện tích tam giác là $6 \sqrt{3}$

Do đó ta có: $\frac{1}{2} . \sqrt{28} . A H = 6 \sqrt{3}$

⇔ $A H = \frac{2.6 \sqrt{3}}{\sqrt{28}} \approx 4$

Vậy độ dài đường cao xuất phát từ A là 4.

e) Ta có:

$\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = 4.6. \cos 60 ° = 12.$

Vì M là trung điểm của BC nên $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

Khi đó:

$\vec{A M} . \vec{A C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{1}{2} . {\vec{A C}}^{2} = \frac{1}{2} .12 + \frac{1}{2} {.6}^{2} = 24$ .