a) Khi nào thì hàm số đồng biến?

b) Khi nào thì hàm số nghịch biến?

Lời giải:

a) Hàm số đồng biến khi $a>0$

b) Hàm số nghịch biến khi $a<0$

Hai đường thẳng $y=ax+b$ và $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ với $(a,a^{\prime }\ne 0)$

   - Cắt nhau khi và chỉ khi $a\ne a^{\prime }$

   - Song song với nhau khi và chỉ khi $a=a^{\prime },b\ne b^{\prime }$

   - Trùng nhau khi và chỉ khi $a=a^{\prime },b=b^{\prime }$

Bài tập trang 61-62 SGK Toán 9

b) Với những giá trị nào của k thì hàm số bậc nhất$y=(5–k)x+1$nghịch biến?

Phương pháp giải:

Hàm số có dạng $y=ax+b$ với $a\ne 0$ được gọi là hàm số bậc nhất đối với biến số x.

Hàm số bậc nhất $y=ax+b$ xác định với mọi giá trị của x và có tính chất:

Hàm số đồng biến trên R khi $a>0$

Hàm số nghịch biến trên R khi $a<0.$  

Lời giải:

a) Hàm số $y=(m–1)x+3$ là hàm số bậc nhất khi $m–1\ne 0$ hay $m\ne 1,$

Khi đó, hàm số đồng biến khi $m–1>0$ hay $m>1.$ 

Vậy với $m>1$ thì hàm số đồng biến.

b) Hàm số $y=(5–k)x+1$ là hàm số bậc nhất khi $5–k\ne 0$ hay $k\ne 5$

Khi đó, hàm số nghịch biến khi $5–k<0$ hay $k>5$ thì hàm số nghịch biến.

Vậy với $k>5$ thì hàm số nghịch biến.

Phương pháp giải:

Hai đồ thị hàm số $y=ax+b$ và $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung nếu$\{\begin{array}{l}a\ne a^{\prime }\\ b=b^{\prime }\end{array}$ .

Lời giải:

Hàm số $y=2x+\left(3+m\right)$ có $a=2$ và $b=3+m$

Hàm số $y=3x+\left(5-m\right)$ có $a^{\prime }=3$ và $b^{\prime }=5-m$ 

Hai đồ thị hàm số $y=2x+\left(3+m\right)$ và $y=3x+\left(5-m\right)$ cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung khi$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}a\ne a^{\prime }\\ b=b^{\prime }\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2\ne 3\left(luônđúng\right)\\ 3+m=5-m\end{array} \\ \Rightarrow 2m=2\iff m=1 \end{gathered}$$

Vậy $m=1$ thì hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.

Cách khác:

Đồ thị hai hàm số $y=2x+(3+m)$ và $y=3x+(5–m)$ cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên giao điểm của hai đồ thị hàm số có hoành độ $x=0$

+ Ta thay hoành độ $x=0$ vào hàm số $y=2x+(3+m)$ ta được tung độ: $y=3+m$

+ Ta thay hoành độ $x=0$ vào hàm số $y=3x+(5–m)$ ta được tung độ: $y=5–m$

Vì cùng là tung độ của giao điểm nên:

   $3+m=5–m\Rightarrow m=1$

Vậy khi $m=1$ thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

(Lưu ý: Điểm trên trục tung có hoành độ là 0

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng  $y=ax+b$ và $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ song song với nhau khi $\{\begin{array}{l}a=a^{\prime }\\ b\ne b^{\prime }\end{array}$  

Lời giải:

Hai đường thẳng $y=\left(a-1\right)x+2\left(a\ne 1\right)$ và đường thẳng $y=\left(3-a\right)x+1\left(a\ne 3\right)$ song song với nhau khi $\{\begin{array}{l}a-1=3-a\\ 2\ne 1\left(luônđúng\right)\end{array}\Rightarrow 2a=4\iff a=2$

Vậy $a=2$ thì hai đường thẳng đã cho song song với nhau.

$y=kx+(m–2)(k\ne 0);$

$y=(5–k)x+(4–m)(k\ne 5)$.

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng $y=ax+b(d)$ và $y=a^{\prime }x+b^{\prime }(d^{\prime }),$ trong đó a và a' khác 0, ta có:

(d) và (d') trùng nhau khi và chỉ khi  $a=a^{\prime },b=b^{\prime }$ 

Lời giải:

Hai đường thẳng $y=kx+(m–2)$  và  $y=(5–k)x+(4–m)$ trùng nhau khi và chỉ khi:

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}k=5-k\\ m-2=4-m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2k=5\\ 2m=6\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{l}k={\displaystyle \frac{5}{2}}\left(thỏamãn\right)\\ m=3\left(thỏamãn\right)\end{array} \end{gathered}$$ 

Vậy điều kiện để hai đường thẳng trùng nhau là $k={\displaystyle \frac{5}{2}}$ và $m=3.$

a) Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau?

b) Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng cắt nhau?

c) Hai đường thẳng nói trên có thể trùng nhau được không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Với hai đường thẳng $y=ax+b$ (d) và $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ (d'), trong đó $a$ và $a^{\prime }$ khác 0, ta có:

+) TH1: (d) và (d') cắt nhau khi và chỉ khi $a\ne a^{\prime }$

+) TH2: (d) và (d') song song với nhau khi và chỉ khi $a=a^{\prime }$ và $b\ne b^{\prime }$

+) TH3: (d) và (d') trùng nhau khi và chỉ khi $a=a^{\prime }$ và $b=b^{\prime }.$

Lời giải:

Hàm số $y=\left(k+1\right)x+3$ có các hệ số $a=k+1,b=3$ 

Hàm số $y=\left(3-2k\right)x+1$ có các hệ số $a^{\prime }=3-2k,b^{\prime }=1$

a) Vì hai hàm số đã cho là hàm số bậc nhất và để hai đường thẳng $y=\left(k+1\right)x+3$ và $y=\left(3-2k\right)x+1$ song song với nhau thì:

$\{\begin{array}{c}k+1\ne 0\hfill \\ 3-2k\ne 0\hfill \\ k+1=3-2k\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}k\ne -1\hfill \\ k\ne \frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 2}}\hfill \\ k=\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}\hfill \end{array}$

${\displaystyle \Rightarrow k=\frac{2}{3}}$ (thỏa mãn điều kiện )

b) Vì hai hàm số đã cho là hàm số bậc nhất và để hai đường thẳng $y=\left(k+1\right)x+3$ và $y=\left(3-2k\right)x+1$ cắt nhau thì:

$\{\begin{array}{c}k+1\ne 0\hfill \\ 3-2k\ne 0\hfill \\ k+1\ne 3-2k\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}k\ne -1\hfill \\ k\ne \frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 2}}\hfill \\ k\ne \frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}\hfill \end{array}$ 

c) Hai đường thẳng trên không trùng nhau vì chúng có tung độ gốc khác nhau $b\ne b^{\prime }(3\ne 1).$

y = 0,5x + 2 (1);                                    y = 5 – 2x (2)

b) Gọi giao điểm của các đường thẳng y = 0,5x + 2 và y = 5 – 2x với trục hoành theo thứ tự là A, B và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là C.

Tìm tọa độ của các điểm A, B, C

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC và BC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

d) Tính các góc tạo bởi các đường thẳng có phương trình (1) và (2) với trục Ox (làm tròn đến phút).

Phương pháp giải:

+) Muốn tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng ta viết phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng sau đó tìm được hoành độ từ đó tìm được tung độ.

+) Cách tính góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (gắn góc cần tìm vào 1 tam giác vuông bất kỳ, sử dụng tỉ số lượng giác $\tan$ ta sẽ tìm được góc).

+) Sử dụng định lý Pytago để tính độ dài các cạnh. 

Lời giải:

a) +) Hàm số $y=0,5x+2$

Cho $x=0\Rightarrow y=0,5.0+2=2$. Suy ra điểm $(0;2)$

Cho $y=0\Rightarrow 0=0,5.x+2\Rightarrow x=-4$. Suy ra điểm $(-4;0)$

Đồ thị hàm số $y=0,5x+2$ là đường thẳng đi qua các điểm $(0;2)$ và $(-4;0)$

+) Hàm số $y=5-2x$

Cho $x=0\Rightarrow y=5-2.0=5$. Suy ra điểm $(0;5)$

Cho $y=0\Rightarrow 0=5-2x\Rightarrow x=2,5$. Suy ra điểm $(2,5;0)$

Đồ thị hàm số $y=5–2x$ là đường thẳng đi qua các điểm $(0;5)$ và $(2,5;0)$

b) Từ câu a ta có giao điểm của đường thẳng $y=0,5x+2$ với trục hoành là điểm $A(-4;0),$ giao điểm của đường thẳng $y=5-2x$ với trục hoành là điểm $B(2,5;0)$

Tìm tọa độ điểm $C.$

Ta có: phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=0,5x+2$ và $y=5–2x$ là

$0,5x+2=5–2x\iff 2,5x=3$

                               $\iff x=1,2$

Suy ra $y=0,5.1,2+2=2,6.$ Vậy $C(1,2;2,6)$

c) Gọi $D$ là hình chiếu của $C$ trên $Ox$ ta có $D(1,2;0)$

$CD=2,6;AB=AO+OB=4+2,5=6,5(cm)$

$∆ACD$ vuông tại $D$ nên $A{C}^2=C{D}^2+D{A}^2$ (định lý Pytago) 

$\Rightarrow AC=\sqrt{C{D}^2+D{A}^2}$$=\sqrt{2,6^2+5,2^2}=\sqrt{33,8}\approx 5,81(cm)$

Tương tự $∆BCD$ vuông tại $D$ nên $B{C}^2=B{D}^2+D{C}^2$ (định lý Pytago) :

$\Rightarrow BC=\sqrt{B{\mathrm{D}}^2+C{\mathrm{D}}^2}$

                       $=\sqrt{1,3^2+2,6^2}=\sqrt{8,45}\approx 2,91(cm)$

d) +) Đường thẳng y = 0,5x+2 có hệ số góc là 0,5 nên $\tan \widehat{CAD}=0,5$

 $\Rightarrow \widehat{CA\mathrm{D}}\approx {26}^0{34}^{\prime }$. Góc tạo bởi đường thẳng ${\displaystyle y=0,5x+2}$ và trục Ox là ${26}^0{34}^{\prime }$

+) Đường thẳng y = 5 - 2x có hệ số góc là -2 nên ${\displaystyle \tan \widehat{CB\mathrm{D}}=2\Rightarrow \widehat{CB\mathrm{D}}\approx {63}^0{26}^{\prime }}$

Góc tạo bởi đường thẳng $y=5–2x$ và trục $Ox$ là ${180}^0–{63}^0{26}^{\prime }\approx {116}^0{34}^{\prime }.$ 

y = 2x (1);

y = 0,5x (2);

y = -x + 6 (3)

b) Gọi các giao điểm của đường thẳng có phương trình (3) với hai đường thẳng có phương trình (1) và (2) theo thứ tự là A và B. Tìm tọa độ của hai điểm A và B.

c) Tính các góc của tam giác OAB.

Hướng dẫn câu c)

Tính OA, OB rồi chứng tỏ tam giác OAB là tam giác cân.

Tính $\widehat{AOB}=\widehat{AOx}-\widehat{BOx}$

Phương pháp giải:

a) Cách vẽ đường thẳng y = ax + b (trường hợp $a\ne 0$ và $b\ne 0$)

- Cho x = 0 thì y = b, được điểm $P(0;b)$ thuộc trục tung Oy.

- Cho y = 0 thì $x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$, được điểm $Q\left(-{\displaystyle \frac{b}{a}};0\right)$ thuộc trục hoành Ox.

- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q. 

b) Tìm hoành độ giao điểm (bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm) rồi thay vào một trong hai hàm số để tìm giá trị của tung độ giao điểm.

c) -  Chứng minh tam giác đã cho là tam giác cân.

- Tìm độ lớn của góc ở đỉnh.

- Tìm độ lớn hai góc kề cạnh đáy.

Lời giải:

a) Đồ thị xem hình dưới

+) Hàm số $y=2x$

Cho $x=1\Rightarrow y=2.1=2$. Suy ra điểm $(1;2)$

Cho $x=2\Rightarrow y=2.2=4$. Suy ra điểm $(2;4)$

Đồ thị hàm số y = 2x đi qua điểm (1;2) và (2;4)

+) Hàm số $y=0,5x$

Cho $x=2\Rightarrow y=0,5.2=1$. Suy ra điểm $(2;1)$

Cho $x=4\Rightarrow y=0,5.4=2$. Suy ra điểm $(4;2)$

Đồ thị hàm số y = 0,5 x  đi qua điểm (2;1) và (4;2)

+) Hàm số $y=-x+6$

Cho $x=0\Rightarrow y=-0+6=6$. Suy ra điểm $(0;6)$

Cho $x=6\Rightarrow y=-6+6=0$. Suy ra điểm $(6;0)$

Đồ thị hàm số y =  - x + 6  đi qua điểm (0;6) và (6;0)

b) Tìm tọa độ điểm A.

Phương trình hoành độ giao điểm của (1) và (3) là:

$-x+6=2x\iff 6=2x+x\iff x=2$

Với $x=2$ thì $y=-2+6=4$ nên $A(2;4)$

Tìm tọa độ điểm B.

Phương trình hoành độ giao điểm của (2) và (3) là:

$-x+6=0,5x\iff 6=0,5x+x\iff x=4$

Với $x=4$ thì $y=-4+6=2$ nên $B(4;2).$

c)  

$\begin{array}{rl}& O{A}^2=2^2+4^2=20\Rightarrow OA=\sqrt{20}\\ & O{B}^2=4^2+2^2=20\Rightarrow OB=\sqrt{20}\\ & OA=OB\left(=\sqrt{20}\right)\end{array}$ 

$\Rightarrow ∆OAB$ cân tại $O$

Ta có ${\displaystyle \tan \widehat{BOx}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BOx}\approx {26}^0{34}^{\prime }}$

và  ${\displaystyle \tan \widehat{AOx}=\frac{4}{2}=2\Rightarrow \widehat{AOx}\approx {63}^0{26}^{\prime }}$

Do đó $\widehat{AOB}=\widehat{AOx}-\widehat{BOx}={36}^0{52}^{\prime }$

Xét tam giác cân $OAB$, ta có: ${\displaystyle \widehat{OAB}+\widehat{OBA}+\widehat{BOA}={180}^0}$

$\Rightarrow \widehat{OAB}+\widehat{OBA}={180}^0-\widehat{BOA}$

$\Rightarrow 2.\widehat{OAB}={180}^0-{36}^0{52}^{\prime }$

Nên ${\displaystyle \widehat{OAB}=\frac{{180}^0-{36}^0{52}^{\prime }}{2}={71}^0{34}^{\prime }}$

Lý thuyết Ôn tập chương 2

1. Hàm số

+ Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng $x$ sao cho với mỗi giá trị của $x$ ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của $y$ thì $y$ được gọi là hàm số của $x$ và $x$ được gọi là biến số.

+ Hàm số thường được cho bằng bảng hoặc bằng công thức.

+ Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các tập giá trị tương ứng $\left(x;f\left(x\right)\right)$trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ được gọi là đồ thị của hàm số.

+ Tính đồng biến và nghịch biến của  hàm số:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định với mọi giá trị với bất kì thuộc $D:$

+) Nếu $x_1<x_2$ mà $f(x_1)<f(x_2)$ thì hàm số đồng biến trên $D.$

+)  Nếu $x_1<x_2$ mà $f(x_1)>f(x_2)$ thì hàm số nghịch biến trên $D.$

2. Hàm số bậc nhất

+ Hàm số bậc nhất  là hàm số được cho bởi công thức $y=ax+b$ trong đó $a,b$ là các số cho trước và $a\ne 0$.

+ Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị và:

- Đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>0.$

- Nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $a<0.$

+ Đồ thị của hàm số bậc nhất $y=ax+b(a\ne 0)$ là một đường thẳng và $a$ là hệ số góc của đường thẳng.

+ Cho hai đường thẳng $y=a_{1}x+b_1(a_1\ne 0);y=a_{2}x+b_2(a_2\ne 0)$

Ta có:

+) $d_1;d_2$ song song $\iff \{\begin{array}{l}{a}_1=a_2\\ b_1\ne b_2\end{array}$.

+) $d_1;d_2$ trùng nhau $\iff \{\begin{array}{l}{a}_1=a_2\\ b_1=b_2\end{array}$.

+) $d_1;d_2$ cắt nhau $\iff a_1\ne a_2$.

+) $d_1;d_2$ vuông góc với nhau $\iff a_1.a_2=-1$.