Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 56 Bài 2: Hàm số bậc hai

Giang Ngày: 03-02-2023 Lớp 10

482

Với giải Câu hỏi trang 56 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Hàm số bạc hai giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 56 Bài 2: Hàm số bậc hai

Bài 1 trang 56 Toán 10 Tập 1: Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

a) $y = 9 x^{2} + 5 x + 4$

b) $y = 3 x^{3} + 2 x + 1$

c) $y = - 4 (x + 2)^{2} + 2 (2 x^{3} + 1) + x + 4$

d) $y = 5 x^{2} + \sqrt{x} + 2$

Phương pháp giải

Hai số bậc hai (biến x) có dạng $y = f (x) = a^{2} + b x + c v ớ i a, b, c \in ℝ v à a ≢ 0$

Lời giải

Hàm số ở câu a) $y = 9 x^{2} + 5 x + 4$ là hàm số bậc hai với $a = 9, b = 5, c = 4$

Hàm số ở câu b), c) không phải là hàm số bậc hai vì chứa $x^{3}$

Hàm số ở câu d) $y = 5 x^{2} + \sqrt{x} + 2$ không phải là hàm số bậc hai vì chứa $\sqrt{x}$

Bài 2 trang 56 Toán 10 Tập 1: Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai:

a) $y = m x^{4} + (m + 1) x^{2} + x + 3$

b) $y = (m - 2) x^{3} + (m - 1) x^{2} + 5$

Phương pháp giải

Hai số bậc hai (biến x) có dạng $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ với $a, b, c \in R$ và $a \neq 0$

Điều kiện: Bậc hai, hệ số a khác 0.

Lời giải

a) Để hàm số $y = m x^{4} + (m + 1) x^{2} + x + 3$ là hàm số bậc hai thì:

${\begin{cases} m = 0 \\ m + 1 \neq 0 \end{cases}$ tức là $m = 0.$

Khi đó $y = x^{2} + x + 3$

Vây $m = 0$ thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai $y = x^{2} + x + 3$

b) Để hàm số $y = (m - 2) x^{3} + (m - 1) x^{2} + 5$ là hàm số bậc hai thì:

${\begin{cases} m - 2 = 0 \\ m - 1 \neq 0 \end{cases}$ tức là $m = 2.$

Khi đó $y = (2 - 1) x^{2} + 5 = x^{2} + 5$

Vây $m = 2$ thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai $y = x^{2} + 5$

Bài 3 trang 56 Toán 10 Tập 1: Lập bảng biến thiên của hàm số Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.

Phương pháp giải

Với $a = 1 > 0$ , hàm số có bảng biến thiên dạng:

Bài 3 trang 56 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $f (- \frac{b}{2 a})$ tại $x = - \frac{b}{2 a} .$

Lời giải

Đỉnh S có tọa độ: $x_{S} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 2}{2.1} = - 1; y_{S} = {(- 1)}^{2} + 2. (- 1) + 3 = 2.$

Hay $S (- 1; 2) .$

Vì hàm số bậc hai có $a = 1 > 0$ nên ta có bảng biến thiên sau:

Bài 3 trang 56 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2$ .

Bài 4 trang 56 Toán 10 Tập 1: Cho hàm số bậc hai $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ có $f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = 5.$

a) Hãy xác định giá trị của các hệ số $a, b$ và $c .$

b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

Phương pháp giải

a) $f (0) = a {.0}^{2} + b .0 + c = 1$ , từ đó suy ra c.

Tương tự, sử dụng giả thiết $f (1) = 2, f (2) = 5,$ lập hệ phương trình 2 ẩn a, b.

b) Tập giá trị $T = {f (x) | x \in D}$ với D là tập xác định của hàm số $f (x) .$

Với $a = 1 > 0$ :
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - \frac{b}{2 a})$ và đồng biến trên khoảng $(- \frac{b}{2 a}; + \infty)$

Lời giải

a) Ta có: $f (0) = a {.0}^{2} + b .0 + c = 1 \Rightarrow c = 1.$

Lại có:

$f (1) = a {.1}^{2} + b .1 + c = 2 \Rightarrow a + b + 1 = 2$

$f (2) = a {.2}^{2} + b .2 + c = 5 \Rightarrow 4 a + 2 b + 1 = 5$

Từ đó ta có hệ phương trình ${\begin{cases} a + b + 1 = 2 \\ 4 a + 2 b + 1 = 5 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} a + b = 1 \\ 4 a + 2 b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện $a \neq 0$ )

Vậy hàm số bậc hai đó là $y = f (x) = x^{2} + 1$

b) Tập giá trị $T = {x^{2} + 1 | x \in R}$

Vì $x^{2} + 1 \geq 1 \forall x \in R$ nên $T = [1; + \infty)$

Đỉnh S có tọa độ: $x_{S} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 0}{2.1} = 0; y_{S} = f (0) = 1$

Hay $S (0; 1) .$

Vì hàm số bậc hai có $a = 1 > 0$ nên ta có bảng biến thiên sau:

Bài 4 trang 56 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ và đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$

Bài 5 trang 56 Toán 10 Tập 1: Cho hàm số . Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Phương pháp giải

Đỉnh S có tọa độ: $x_{S} = \frac{- b}{2 a}; y_{S} = f (\frac{- b}{2 a})$

$a = 2 > 0$ nên ta có bảng biến thiên sau:

Bài 5 trang 56 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $f (- \frac{b}{2 a})$ tại $x = - \frac{b}{2 a} .$

=> Tìm m để $f (- \frac{b}{2 a}) = 5$

Lời giải

Đỉnh S có tọa độ: $x_{S} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 1}{2.2} = - \frac{1}{4}; y_{S} = f (- \frac{1}{4}) = 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} + (- \frac{1}{4}) + m = m - \frac{1}{8}$

Ta có: $a = 2 > 0$ , hàm số có bảng biến thiên dạng:

Bài 5 trang 56 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $m - \frac{1}{8} = 5 \Leftrightarrow m = \frac{41}{8} .$

Vậy $m = \frac{41}{8}$ thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Bài 6 trang 56 Toán 10 Tập 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y = 2 x^{2} + 4 x - 1$

b) $y = - x^{2} + 2 x + 3$

c) $y = - 3 x^{2} + 6 x$

d) $y = 2 x^{2} - 5$

Lời giải

a) $y = 2 x^{2} + 4 x - 1$

Phương pháp giải:

+ Xác định đỉnh $S (\frac{- b}{2 a}; f (\frac{- b}{2 a}))$

+ Trục đối xứng $x = \frac{- b}{2 a}$

+ Bề lõm: quay lên trên (nếu a>0)

+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0; c).

Lời giải a

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y = 2 x^{2} + 4 x - 1$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_{S} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 4}{2.2} = - 1; y_{S} = 2. (- 1)^{2} + 4. (- 1) - 1 = - 3.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x = - 1$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì $a = 2 > 0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

Bài 6 trang 56 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải b

b) $y = - x^{2} + 2 x + 3$

Phương pháp giải:

+ Xác định đỉnh $S (\frac{- b}{2 a}; f (\frac{- b}{2 a}))$

+ Trục đối xứng $x = \frac{- b}{2 a}$

+ Bề lõm: quay xuống dưới (a=-1<0).

+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0; c).

Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y = - x^{2} + 2 x + 3$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_{S} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 2}{2. (- 1)} = 1; y_{S} = - 1^{2} + 2.1 + 3 = 4.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x = 1$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay xuống dưới vì $a = - 1 < 0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

Bài 6 trang 56 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Lời giải

c) $y = - 3 x^{2} + 6 x$

Phương pháp giải:

+ Xác định đỉnh $S (\frac{- b}{2 a}; f (\frac{- b}{2 a}))$

+ Trục đối xứng $x = \frac{- b}{2 a}$

+ Bề lõm: quay lên trên (nếu a>0), quay xuống dưới nếu a<0.

+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0; c).

Lời giải chi tiết:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y = - 3 x^{2} + 6 x$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_{S} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 6}{2. (- 3)} = 1; y_{S} = - {3.1}^{2} + 6.1 = 3$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x = 1$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay xuống dưới vì $a = - 3 < 0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 0, tức là đồ thị đi qua gốc tọa độ (0; 0).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

Bài 6 trang 56 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 3)

Lời giải d

d) $y = 2 x^{2} - 5$

Phương pháp giải:

+ Xác định đỉnh $S (\frac{- b}{2 a}; f (\frac{- b}{2 a}))$

+ Trục đối xứng $x = \frac{- b}{2 a}$

+ Bề lõm: quay lên trên (nếu a>0), quay xuống dưới nếu a<0.

+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0; c).

Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y = 2 x^{2} - 5$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_{S} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 0}{2.2} = 0; y_{S} = {2.0}^{2} - 5 = - 5.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x = 0$ (trùng với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì $a = 2 > 0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -5).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

Bài 6 trang 56 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 4)

Bài 7 trang 56 Toán 10 Tập 1: Hãy xác định đúng đồ thị của mỗi hàm số sau trên Hình 12.

$\begin{array}{l} (P_{1}) : y = - 2 x^{2} - 4 x + 2; \\ (P_{2}) : y = 3 x^{2} - 6 x + 5; \\ (P_{3}) : y = 4 x^{2} - 8 x + 7; \\ (P_{4}) : y = - 3 x^{2} - 6 x - 1. \end{array}$

Bài 7 trang 56 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải

+ Xác định tọa độ giao điểm với trục tung: điểm có tọa độ (0; c).

Lời giải

Vì 4 đồ thị hàm số cắt trục tung tại 4 điểm phân biệt nên ta chỉ cần xác định tọa độ giao điểm của mỗi hàm số với trục tung là có thể phân biệt 4 đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số $(P_{1}) : y = - 2 x^{2} - 4 x + 2$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 2) => Đồ thị là đường màu xanh lá.

Đồ thị hàm số $(P_{2}) : y = 3 x^{2} - 6 x + 5;$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5) => Đồ thị là đường màu xanh dương.

Đồ thị hàm số $(P_{3}) : y = 4 x^{2} - 8 x + 7;$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 7, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 7) => Đồ thị là đường màu nâu đỏ.

Đồ thị hàm số $(P_{4}) : y = - 3 x^{2} - 6 x - 1$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1) => Đồ thị là đường màu vàng.