Toán 10 Chân trời sáng tạo: Bài tập cuối chương 3

Hoàng Huyền Trang Ngày: 11-01-2023 Lớp 10

810

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương III sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 1. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo: Bài tập cuối chương 3

Bài 1 trang 59 Toán 10 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = 4 x^{2} - 1$

b) $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$

c) $y = 2 + \frac{1}{x}$

Phương pháp giải

Tập xác định của hàm số $y = f (x)$ là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức $f (x)$ có nghĩa.

$\frac{A}{B}$ có nghĩa $\Leftrightarrow B \neq 0$

Lời giải

a) Biểu thức $4 x^{2} - 1$ có nghĩa với mọi $x \in R$

Vậy tập xác định của hàm số này là $D = R$

b) Biểu thức $f (x)$ có nghĩa khi và chỉ khi $x^{2} + 1 \neq 0,$ tức là với mọi $x \in R$

Vậy tập xác định của hàm số này là $D = R$

c) Biểu thức $f (x)$ có nghĩa khi và chỉ khi $\frac{1}{x}$ có nghĩa, tức là khi $x \neq 0,$

Vậy tập xác định của hàm số này là $D = R ∖ {0}$

Bài 2 trang 59 Toán 10 Tập 1: Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai:

a) $y = (1 - 3 m) x^{2} + 3$

b) $y = (4 m - 1) (x - 7)^{2}$

c) $y = 2 (x^{2} + 1) + 11 - m$

Phương pháp giải

Hai số bậc hai (biến x) có dạng $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ với $a, b, c \in R$ và $a \neq 0$

Điều kiện: là đa thức bậc hai với hệ số thực, hệ số a khác 0.

Lời giải

a) Để hàm số $y = (1 - 3 m) x^{2} + 3$ là hàm số bậc hai thì: $1 - 3 m \neq 0$ tức là $m \neq \frac{1}{3}$

Vây $m \neq \frac{1}{3}$ thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

b) Để hàm số $y = (m - 2) x^{3} + (m - 1) x^{2} + 5$ là hàm số bậc hai thì:

${\begin{cases} m - 2 = 0 \\ m - 1 \neq 0 \end{cases}$ tức là $m = 2.$

Khi đó $y = (2 - 1) x^{2} + 5 = x^{2} + 5$

Vậy $m = 2$ thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai $y = x^{2} + 5$

Bài 3 trang 59 Toán 10 Tập 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y = x^{2} - 4 x + 3$

b) $y = - x^{2} - 4 x + 5$

c) $y = x^{2} - 4 x + 5$

d) $y = - x^{2} - 2 x - 1$

Lời giải a

a) $y = x^{2} - 4 x + 3$

Phương pháp giải:

+ Xác định đỉnh $S (\frac{- b}{2 a}; f (\frac{- b}{2 a}))$

+ Trục đối xứng $x = \frac{- b}{2 a}$

+ Bề lõm: quay lên trên (nếu a>0), quay xuống dưới nếu a<0.

+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0; c).

Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y = x^{2} - 4 x + 3$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_{S} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- (- 4)}{2.1} = 2; y_{S} = 2^{2} - 4.2 + 3 = - 1.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x = 2$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì $a = 1 > 0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

Bài 3 trang 59 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải b

b) $y = - x^{2} - 4 x + 5$

Phương pháp giải:

+ Xác định đỉnh $S (\frac{- b}{2 a}; f (\frac{- b}{2 a}))$

+ Trục đối xứng $x = \frac{- b}{2 a}$

+ Bề lõm: quay lên trên (nếu a>0), quay xuống dưới nếu a<0.

+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0; c).

Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y = - x^{2} - 4 x + 5$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_{S} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- (- 4)}{2. (- 1)} = - 2; y_{S} = - (- 2)^{2} - 4. (- 2) + 5 = 9.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x = - 2$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay xuống dưới vì $a = - 1 < 0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

Bài 3 trang 59 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Lời giải c

c) $y = x^{2} - 4 x + 5$

Phương pháp giải:

+ Xác định đỉnh $S (\frac{- b}{2 a}; f (\frac{- b}{2 a}))$

+ Trục đối xứng $x = \frac{- b}{2 a}$

+ Bề lõm: quay lên trên (nếu a>0), quay xuống dưới nếu a<0.

+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0; c).

Lời giải

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y = x^{2} - 4 x + 5$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_{S} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- (- 4)}{2.1} = 2; y_{S} = 2^{2} - 4.2 + 5 = 1.$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x = 2$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì $a = 1 > 0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

Bài 3 trang 59 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 3)

Lời giải d

d) $y = - x^{2} - 2 x - 1$

Phương pháp giải:

+ Xác định đỉnh $S (\frac{- b}{2 a}; f (\frac{- b}{2 a}))$

+ Trục đối xứng $x = \frac{- b}{2 a}$

+ Bề lõm: quay lên trên (nếu a>0), quay xuống dưới nếu a<0.

+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0; c).

Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y = - x^{2} - 2 x - 1$ là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ: $x_{S} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- (- 2)}{2. (- 1)} = - 1; y_{S} = - (- 1)^{2} - 2. (- 1) - 1 = 0$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng $x = - 1$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay xuống dưới vì $a = - 1 < 0$

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua gốc tọa độ (0; -1).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

Bài 3 trang 59 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 4)

Bài 4 trang 59 Toán 10 Tập 1: Một vận động viên chạy xe đạp trong 1 giờ 30 phút đầu với vận tốc trung bình là 42km/h. Sau đó người này nghỉ tại chỗ 15 phút và tiếp tục đạp xe 2 giờ liền với vận tốc 30 km/h.

a) Hãy biểu thị quãng đường s (tính bằng kilômét) mà người này đi được sau t phút bằng một hàm số.

b) Vẽ đồ thị biểu diễn hàm số s theo t.

Lời giải

a) Đổi: 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ; 15 phút = 0,25 giờ; t phút = $\frac{t}{60}$ giờ

Nếu $t \leq 90$ (phút) thì quãng đường s mà người đó đi được là: $42. \frac{t}{60} = 0, 7 t$ (km)

Nếu $90 < t \leq 90 + 15 = 105$ (phút) thì quãng đường s mà người đó đi được là: $42.1, 5 = 63$ (km)

Nếu $105 < t \leq 105 + 120 = 225$ (phút) thì quãng đường s mà người đó đi được là: $42.1, 5 + (\frac{t}{60} - 1, 5 - 0, 25) .30 = 0, 5 t + 10, 5.$ (km)

Như vậy hàm số tính quãng đường s (km) sau t phút là:

$s = {\begin{cases} 0, 7 t (0 \leq t \leq 90) \\ 63 (90 < t \leq 105) \\ 0, 5 t + 10, 5 (105 < t \leq 225) \end{cases}$

Với $0 \leq t \leq 90$ thì $s = 0, 7 t$

Trên đoạn [0;90] ta vẽ đường thẳng $s = 0, 7 t$

Bài 4 trang 59 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Với $90 < t \leq 105$ thì $s = 63 (k m)$

Trên nửa khoảng (90;105] ta vẽ đường thẳng $s = 63$

Bài 4 trang 59 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Với $105 < t \leq 225$ (phút) thì $s = 0, 5 t + 10, 5.$ (km)

Trên nửa khoảng (105;225] ta vẽ đường thẳng $s = 0, 5 t + 10, 5.$

Bài 4 trang 59 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 3)

Như vậy ta được đồ thị biểu diễn hàm số s theo t như hình trên.

Bài 5 trang 59 Toán 10 Tập 1: Biết rằng hàm số giảm trên khoảng tăng trên khoảng và có tập giá trị là . Xác định giá trị của m và n.

Phương pháp giải

Từ tập giá trị suy ra GTNN của hàm số bằng 9.

Lập bảng biến thiên, xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải

Đỉnh S có tọa độ: $x_{S} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- m}{2.2} = - \frac{m}{4}; y_{S} = f (- \frac{m}{4})$

Vì hàm số bậc hai có $a = 2 > 0$ nên ta có bảng biến thiên sau:

Bài 5 trang 59 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $f (- \frac{m}{4}) .$

Hàm số giảm trên $(- \infty; - \frac{m}{4})$ và tăng trên $(- \frac{m}{4}; + \infty)$

Theo giả thiết, ta có:

Hàm số giảm trên khoảng $(- \infty; 1)$ $\Rightarrow (- \infty; 1) \subset (- \infty; - \frac{m}{4}) \Leftrightarrow 1 \leq - \frac{m}{4} .$

Tương tự hàm số tăng trên khoảng $(1; + \infty)$ $\Rightarrow (1; + \infty) \subset (- \frac{m}{4}; + \infty) \Leftrightarrow - \frac{m}{4} \leq 1.$

Do đó: $- \frac{m}{4} = 1$ hay $m = - 4$

Lại có: Tập giá trị là $[9; + \infty)$ $\Rightarrow$ Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 9.

$\Leftrightarrow f (1) = f (- \frac{m}{4}) = 9 \Leftrightarrow {2.1}^{2} - (- 4) .1 + n = 9 \Leftrightarrow n = 3.$

Vậy $m = - 4, n = 3.$

Bài 6 trang 59 Toán 10 Tập 1: Nhảy bungee là một trò chơi mạo hiểm. Trong trò chơi này, người chơi đứng ở vị trí trên cao, thắt dây an toàn và nhảy xuống. Sợi dây này có tính đàn hồi và được tính toán chiều dài để nó kéo người chơi lại khi gần chạm đất (hoặc mặt nước). Chiếc cầu trong Hình 1 có bộ phận chống đỡ dạng parabol. Một người muốn thực hiện một cú nhày bungee từ giữa cầu xuống với dây an toàn. Người này cần trang bị sợi dây an toàn dài bao nhiêu mét? Biết rằng chiều dài của sợi dây đó bằng một phần ba khoảng cách từ vị trí bắt đầu nhảy đến mặt nước.

Bài 6 trang 59 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ, gọi công thức của hàm số có đồ thị là hình ảnh của bộ phận chống đỡ.

Xác định hàm số và xác định tung độ của đỉnh.

Lời giải

Gọi $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ là công thức của hàm số có đồ thị là hình ảnh của bộ phận chống đỡ.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình dưới:

Bài 6 trang 59 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Gọi S là đỉnh của parabol, dưới vị trí nhảy 1m.

A, B là các điểm như hình vẽ.

Dễ thấy: A (48; 46,2) và B (117+48; 0) = (165; 0).

Các điểm O, A, B đều thuộc đồ thị hàm số.

Do đó:

$f (0) = a {.0}^{2} + b .0 + c = 0 \Leftrightarrow c = 0$

$f (48) = a {.48}^{2} + b .48 + c = 46, 2 \Leftrightarrow a {.48}^{2} + b .48 = 46, 2$

$f (165) = a {.165}^{2} + b .165 + c = 0 \Leftrightarrow a {.165}^{2} + b .165 = 0 \Leftrightarrow a .165 + b = 0$

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} a {.48}^{2} + b .48 = 46, 2 \\ a .165 + b = 0 \end{cases}$ ta được $a = - \frac{77}{9360}; b = \frac{847}{624}$

Vậy $y = f (x) = - \frac{77}{9360} x^{2} + \frac{847}{624} x$

Đỉnh S có tọa độ là $x_{S} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- \frac{847}{624}}{2. (- \frac{77}{9360})} = 82, 5; y_{S} = - \frac{77}{9360} .82, 5^{2} + \frac{847}{624} .82, 5 \approx 56$