Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2. Định lí cosin và định lí sin sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 1. Mời các bạn đón xem:
Nội dung bài viết
Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Định lí cosin và định lí sin
Phương pháp giải:
Với ˆA=90o ta sử dụng định lí Pytago.
Với ˆA≠90o: Áp dụng định lí cosin: a2=b2+c2−2bccosA
Lời giải
Áp dụng định lí Pytago, ta có:
BC2=AC2+AB2=32+42=25⇒BC=5
Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP, ta có:
NP2=MN2+MP2−2.MN.MPcosM
Mà MN=4,MP=3,ˆM=60o
⇒NP2=42+32−2.4.3cos60o=13⇔NP=√13≈3,6
1. Định lí cosin trong tam giác
Hãy thay ? bằng các chữ cáu thích hợp để chứng minh công thức a2=b2+c2−2bccosA theo gợi ý sau:
Xét tam giác vuông BCD, ta có: a2=d2+(c−x)2=d2+x2+c2−2xc (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: b2=d2+x2⇒d2=b2−x2 (2)
cosA=?b⇒?=bcosA. (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: a2=b2+c2−2bccosA
Lưu ý: Nếu ˆB>ˆC thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.
b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:
a2=b2+c2−2bccosA
Lưu ý: Vì A là góc tù nên cosA=−xb.
c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ coogn thức a2=b2+c2−2bccosA có thể viết là a2=b2+c2.
Lời giải
a) ? = x vì cosA=ADAC=xb⇒?=x.
b) Xét tam giác vuông BCD, ta có: a2=d2+(c+x)2=d2+x2+c2+2xc (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: b2=d2+x2⇒d2=b2−x2 (2)
cosA=−cos^DAC=−xb⇒x=−bcosA. (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: a2=b2+c2−2bccosA
c) Ta có: a2=b2+c2−2bccosA
Mà ˆA=90o⇒cosA=cos90o=0.
⇒a2=b2+c2
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
BC2=AC2+AB2−2AC.ABcosAcosB=AB2+BC2−AC22.AB.BC;cosC=AC2+BC2−AB22.AC.BC
Lời giải
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
BC2=AC2+AB2−2AC.ABcosA
Mà AB=14,AC=18,ˆA=62o
⇒BC2=182+142−2.18.14cos62o≈283,3863⇔BC≈16,834
Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:
cosB=AB2+BC2−AC22.AB.BC;cosC=AC2+BC2−AB22.AC.BC
⇒{cosB=142+16,8342−1822.14.16,834≈0,3297cosC=182+16,8342−1422.18.16,834≈0,6788
⇒{ˆB≈70o45′ˆC≈47o15′
Vậy BC≈16,834;ˆB≈70o45′;ˆC≈47o15′.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin a2=b2+c2−2bccosA
Lời giải
Kí hiệu hai vị trí đầu hồ và vị trí quan sát lần lượt bở các điểm A, B, C như hình dưới:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
BC2=AC2+AB2−2AC.ABcosA
Mà AB=800,AC=900,ˆA=70o
⇒BC2=9002+8002−2.900.800cos70o≈957490,9936⇔BC≈987,5147
Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu hồ là 987,5147 m.
2. Định lí sin trong tam giác
i) Tính sin^BDC theo a và R.
ii) Tìm mối liên hệ giữa hai góc ^BAC và ^BDC. Từ đó chứng minh rằng 2R=asinA.
b) Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức 2R=asinA.
Lời giải
a) Tam giác BDC vuông tại C nên sin^BDC=BCBD=a2R.
b)
TH1: Tam giác ABC có góc A nhọn
^BAC=^BDC do cùng chắn cung nhỏ BC.
⇒sin^BAC=sin^BDC=a2R.
TH2: Tam giác ABC có góc A tù
^BAC+^BDC=180o do ABDC là tứ giác nội tiếp (O).
⇒sin^BAC=sin(180o−^BAC)=sin^BDC=a2R.
Vậy với góc A nhọn hay tù ta đều có 2R=asinA.
b) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì BC là đường kính của (O).
Khi đó ta có: sinA=sin90o=1 và a=BC=2R
Do đó ta vẫn có công thức: 2R=asinA.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí sin cho tam giác MNP:
MNsinP=MPsinN=NPsinM
Lời giải
Ta có: NP=22,ˆP=180o−(112o+34o)=34o
Áp dụng định lí sin, ta có:
MNsinP=MPsinN=NPsinM
Suy ra:
MP=NP.sinNsinM=22.sin112osin34o≈36,48
MN=NP.sinPsinM=22.sin34osin34o=22.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí sin, tính khoảng cách từ bồn chứa nước A đến đám cháy.
Áp dụng định lí cosin, tính khoảng cách từ bồn chứa nước B đến đám cháy.
Lời giải
Đặt các điểm A, B, C, D lần lượt là vị trí bồn chứa nước A, bồn chứa nước B, tháp canh và đám cháy.
Ta có: CB=900,^CDB=180o−(125o+35o)=20o
Áp dụng định lí sin trong tam giác CBD, ta có:
CBsinD=BDsinC=CDsinB
Suy ra:
BD=CB.sinCsinD=900.sin35osin20o≈1509,3
CD=CB.sinBsinD=900.sin125osin20o=2155,5
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACD ta có:
AD2=AC2+CD2−2.AC.CD.cos^ACD⇔AD2=18002+2155,52−2.1800.2155,5.cos34o≈1453014,5⇔AD≈1205,4
Vì AD<BD nên khoảng cách từ bồn chứa nước A đến đám cháy là ngắn hơn.
Vậy nên dẫn nước từ bồn chứa nước A để dập tắt đám cháy nhanh hơn.
3. Các công thức tính diện tích tam giác
HĐ Khám phá 3 trang 70 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC như Hình 10.
a) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và ha
b) Tính ha theo b và sinC.
c) Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức S=12absinC
d) Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức S=abc4R
Lời giải
a) Diện tích S của tam giác ABC là: S=12a.ha
b) Xét tam giác vuông AHC ta có: sinC=AHAC=hab
⇒ha=b.sinC
c) Thay ha=b.sinC vào công thức diện tích, ta được: S=12absinC
d) Theo định lí sin ta có: csinC=2R⇒sinC=c2R
Thay vào công thức ở c) ta được: S=12abc2R=abc4R.
a) Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c.
b) Dùng kết quả trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC: S=r(a+b+c)2
Lời giải
a) Diện tích S1 của tam giác IAB là: S1=12r.AB=12r.c
Diện tích S2 của tam giác IAC là: S2=12r.AC=12r.b
Diện tích S3 của tam giác IBC là: S3=12r.BC=12r.a
b) Diện tích S của tam giác ABC là:
S=S1+S2+S3=12r.c+12r.b+12r.a=12r.(c+b+a)⇔S=r(a+b+c)2
a) Các cạnh b=14,c=35 và
b) Các cạnh
Phương pháp giải:
a) Áp dụng công thức:
b) Áp dụng công thức Heron
Lời giải
a) Áp dụng công thức: , ta có:
b) Ta có:
Áp dụng công thức Heron, ta có:
Phương pháp giải:
Bước 1: Áp dụng định lí sin tính AC.
Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức
Lời giải
Kí hiệu các điểm A, B, C như hình dưới
Đặt
Ta có:
Áp dụng định lí sin, ta có:
Áp dụng công thức ta có:
Bài tập
Bài 1 trang 72 Toán 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau:
Phương pháp giải
Áp dụng định lí cosin, tính x bằng công thức:
Lời giải
a) Áp dụng định lí cosin, ta có:
b) Áp dụng định lí cosin, ta có:
Bài 2 trang 72 Toán 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14.
Phương pháp giải
Áp dụng định lí sin:
Lời giải
Áp dụng định lí sin, ta có:
Phương pháp giải
Áp dụng định lí sin:
Lời giải
Đặt
Ta có:
Áp dụng định lí sin, ta có:
Suy ra:
Phương pháp giải
Áp dụng định lí cosin để tính góc:
Lời giải
Đặt
Ta có:
Áp dụng định lí cosin, ta có:
Suy ra:
Vậy
Phương pháp giải
Tính diện tích bằng công thức:
Lời giải
Kí hiệu các điểm A, B, C như hình trên.
Từ giả thiết ta có:
Áp dụng công thức , ta có:
Bài 6 trang 73 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có và
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC
Phương pháp giải
a) Tính diện tích bằng công thức:
b) Tìm a, từ đó suy ra R bằng định lí sin => Tính diện tích tam giác IBC
Lời giải
Đặt
a) Áp dụng công thức , ta có:
b) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta được:
Xét tam giác IBC ta có:
Góc (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)
a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác GBC.
Phương pháp giải
a) Tính r bằng công thức: . Trong đó S tính bởi công thức heron.
b) Tìm a, từ đó suy ra R bằng định lí sin => Tính diện tích tam giác IBC
Lời giải
a) Đặt
Ta có:
Áp dụng công thức heron, ta có:
Và
b) Gọi, H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và G xuống BC, M là trung điểm BC.
G là trọng tâm tam giác ABC nên
Xét tam giác IBC ta có:
Góc (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Phương pháp giải
Bước 1: Tính theo b và sinC
Bước 2: Tính b theo R và sinB. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải
Đặt
Ta có:
Theo định lí sin, ta có:
Bài 9 trang 73 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.
a) Chứng minh
b) Biết rằng và Tính và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phương pháp giải
a) Tính diện tích bằng công thức
b)
Lời giải
a) Áp dụng công thức cho tam giác ABC và BED, ta có:
b) Ta có:
Mà
+) Xét tam giác ABC và tam giác DEB ta có:
và góc B chung
(cgc)
Ta có: (do B là góc nhọn)
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
a) Chứng minh
b) Nêu kết quả trong trường hợp
Phương pháp giải
a) Tính diện tích 4 tam giác nhỏ theo .
Chú ý:
b) thì
Lời giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
a) Áp dụng công thức , ta có:
Mà
b) Nếu thì
Lý thuyết Bài 2. Định lí cosin và định lí sin
1. Định lí cosin trong tam giác
Trong tam giác ABC:
Hệ quả
2. Định lí sin trong tam giác
Trong tam giác ABC:
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
Hệ quả
3. Các công thức tính diện tích tam giác
1)
2)
3)
4)
5) (Công thức Heron)
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.