Với Giải SBT Toán 10 Tập 1 trong Bài 2: Hàm số bậc hai Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Hàm số bậc hai

Bài 1 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Hàm số nào trong các hàm sau đây không phải là hàm số bậc hai?

a) $y=3x^2+x-\sqrt{3}$

b) $y=x^2+\left|x+1\right|$

c) $y=\{\begin{array}{l}{x}^2+1\mathrm{v}ớ\mathrm{i}x\ge 0\\ -2x^2-x\mathrm{v}ớ\mathrm{i}x<0\end{array}$

d) $y=2\left(x^2+1\right)+3x-1$

Lời giải:

Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức có dạng

                   $y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ với a, b, c là các số thực và a khác 0

Từ đó suy ra hàm số $y=x^2+\left|x+1\right|$ và hàm số $y=\{\begin{array}{l}{x}^2+1\mathrm{v}ớ\mathrm{i}x\ge 0\\ -2x^2-x\mathrm{v}ớ\mathrm{i}x<0\end{array}$ không phải là hàm số bậc hai vì hàm số $y=x^2+\left|x+1\right|$ có chứa dấu trị tuyệt đối và hàm số $y=\{\begin{array}{l}{x}^2+1\mathrm{v}ớ\mathrm{i}x\ge 0\\ -2x^2-x\mathrm{v}ớ\mathrm{i}x<0\end{array}$ thì được cho bởi hai công thức

Câu hỏi trang 55 Toán 10

Bài 2 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có đỉnh S , đi qua các điểm A, B, $C\left(0;-1\right)$ được cho trong hình 10

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Tìm tập giá trị của hàm số và chỉ ra các khoảng biến thiên của hàm số

Lời giải:

a) Parabol là đồ thị dạng đối xứng, đi qua các điểm đã cho và đỉnh $S\left(-1;-3\right)$ có đồ thị hàm số như hình dưới

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số quay bề lõm về phía trên có đình là $S\left(-1;-3\right)$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-3$. Suy ra tập giá trị của hàm số là $D=\left[-3;+\mathrm{\infty }\right)$

Ta thấy từ trái qua phải hàm số đi xuống tới đỉnh, sau đó hàm số đi lên. Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(-1;+\mathrm{\infty }\right)$

Bài 3 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm công thức của hàm số có đồ thị vẽ được ở bài tập 2

Lời giải:

Gọi công thức tổng quát của hàm số bậc hai có dạng $y=a{x}^2+bx+c$  với   a, b, c là các số thực và a khác 0

Đồ thị hàm số có đỉnh $S\left(-1;-3\right)$ nên ta có : $-1=-\frac{b}{2a}\Rightarrow b=2a$                 (1)

Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $C\left(0;-1\right)$nên $c=-1$       (2)

Đồ thị hàm số đi qua điểm S nên thay tọa độ điểm S vào ta được phương trình:

$-3=a{\left(-1\right)}^2+b\left(-1\right)+c\Rightarrow a-b+c=-3$               (3)

Từ (1), (2) và (3) ta tìm được $a=2,b=4$ và $c=-1$

Vậy hàm số cần tìm có công thức là $y=2x^2+4x-1$

Bài 4 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm công thức hàm số bậc hai biết:

a) Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm $A\left(1;-3\right),B\left(0;-2\right),C\left(2;-10\right)$

b) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng $x=3$, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-16$ và một trong hai giao điểm với trục hoành có hoành độ là $-2$

Lời giải:

a) Giả sử phương trình bậc 2 cần tìm có dạng tổng quát $y=a{x}^2+bx+c$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $B\left(0;-2\right)$ nên $c=-2$. Vậy phương trình có dạng $y=a{x}^2+bx-2$

Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left(1;-3\right),C\left(2;-10\right)$ thay tọa độ hai điểm vào phương trình $y=a{x}^2+bx-2$ta có hệ sau:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}-3=a{.1}^2+b-2\\ -10=a{.2}^2+b.2-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a+b=-1\\ 4\mathrm{a}+2b=-8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-3\\ b=2\end{array}\end{array}$

Vậy hàm số cần tìm có công thức là $y=-3x^2+2x-2$

b) Giả sử phương trình bậc 2 cần tìm có dạng tổng quát $y=a{x}^2+bx+c$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-16$ suy ra $c=-16$

Suy ra hàm số có công thức dạng $y=a{x}^2+bx-16$

Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng $x=3\Rightarrow -\frac{b}{2a}=3\Rightarrow b=-6\mathrm{a}$ (1)

Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-2$nên $0=a{\left(-2\right)}^2+b\left(-2\right)-16\iff 4a-2b=16$ (2)

Từ (1) và (2) ta tìm được $a=1,b=-6$

Vậy hàm số cần tìm có dạng $y=x^2-6x-16$

Bài 5 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm khoảng biến thiên và tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y=f\left(x\right)=-2x^2-4x+7$   

b) $y=f\left(x\right)=x^2-6x+1$ 

Lời giải:

a) Hàm số $y=f\left(x\right)=-2x^2-4x+7$ có $a=-2<0$ và tọa độ đỉnh gồm $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2.\left(-2\right)}=-1,y_S=-2.{\left(-1\right)}^2-4.\left(-1\right)+7=9$

Ta có bảng biến thiên sau

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và nghịch biến $\left(-1;+\mathrm{\infty }\right)$

Hàm số có tập giá trị $T=\left(-\mathrm{\infty };9\right]$

b) Hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-6x+1$ có $a=1>0$ và tọa độ đỉnh gồm $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2.1}=3,y_S=3^2-6.3+1=-8$

Ta có bảng biến thiên sau

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left(-\mathrm{\infty };3\right)$ và đồng biến $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$

Hàm số có tập giá trị $T=\left(-8;+\mathrm{\infty }\right]$

Bài 6 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm tập xác định, giá trị lớn nhất của hàm số, tập giá trị và các khoảng biến thiên của hàm số biết đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S như hình 11

Lời giải:

Hàm số có đồ thị là một parabol nê đó là hàm số bậc hai, suy có có tập xác định $D=\mathbb{R}$

Từ đồ thị hàm số ta thấy rằng, parabol quay bề lõm xuống dưới và có đỉnh $S\left(2;-1\right)$ nên có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên ta có: giá trị lớn nhất của hàm số là $-1$, tập giá trị của hàm số là $T=\left(-\mathrm{\infty };-1\right]$, đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-1;+\mathrm{\infty }\right)$

Bài 7 trang 56 SBT Toán 10 Tập 1: Giả sử hàm số bậc hai mô phỏng vòm phía trong một trụ của cầu nhật tân là:

                             $y=f\left(x\right)=-\frac{187}{856}{x}^2+\frac{8041}{856}x$ (đơn vị đo: mét)

a) Hãy tính chiêu dài đoạn dây dọi sử dụng nếu khoảng cách từ chân của trụ cầu đễn quả nặng là 30 cm

b) Hãy tính khoảng cách từ chân trụ cầu đến quả nặng nếu biết chiều dài đoạn dây dọi sử dụng là 15 m

Lời giải:

Mô phỏng các giả thiết bài toán bằng hình vẽ dưới đây

a) Khoảng cách từ chân trụ của cầu tới quả dọi là 30 cm tương ứng với  $OA=0,3\Rightarrow x_B=0,3$, chiều dài dây dọi tương ứng với  $y_B$

Thay $x=0,3$ vào phương trình $y=f\left(x\right)=-\frac{187}{856}{x}^2+\frac{8041}{856}x$ ta tìm được:

$y=f\left(0,3\right)=-\frac{187}{856}{\left(0,3\right)}^2+\frac{8041}{856}\left(0,3\right)\simeq 2,8$

Vậy khi khoảng cách từ chân trụ của cầu tới quả dọi là 30 cm thì chiều dại dây dọi gần bằng 2,8 m

b) Chiều dài dây dọi tương ứng với  $y_B=15$ và khoảng cách từ chân trụ của cầu tới quả dọi tương ứng với  $x_B$

Thay $y_B=15$ vào phương trình $y=f\left(x\right)=-\frac{187}{856}{x}^2+\frac{8041}{856}x$ ta có:

$15=-\frac{187}{856}{\left(x_B\right)}^2+\frac{8041}{856}\left(x_B\right)\Rightarrow [\begin{array}{l}{x}_B\simeq 1,6\\ x_B\simeq 41,3\end{array}$

Vậy khoảng cách từ chân trụ cầu đến quả nặng khi chiều dài dây dọi có thể là 1,6m và 41,3 m tính từ chân cầu bên trái