a) $x^2+y^2-6x-8y+21=0$

b) $x^2+y^2-2x+4y+2=0$

c) $x^2+y^2-3x+2y+7=0$

d) \(2{x^2} + 2{y^2} + x + y - 1 

Phương pháp giải

+) Phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^2+b^2-c>0$, khi đó nó có tâm I(a;b) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$

Lời giải 

a) Phương trình đã cho có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a=3,b=4,c=21$

Ta có $a^2+b^2-c=9+16-21=4>0$. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là $I(3;4)$ và có bán kính $R=\sqrt{4}=2$

b) Phương trình đã cho có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a=1,b=-2,c=2$

Ta có $a^2+b^2-c=1+4-2=3>0$. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là $I(1;-2)$ và có bán kính $R=\sqrt{3}$

c) Phương trình đã cho có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a=\frac{3}{2},b=-1,c=7$

Ta có $a^2+b^2-c=\frac{9}{4}+1-7=-\frac{15}{4}<0$. Vậy đây không là phương trình đường tròn.

d) Phương trình không có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ nên phương trình đã cho không là phương trình đường tròn.

Bài 2 trang 62 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) $(C)$ có tâm $I(1;5)$ và bán kính $r=4$

b) $(C)$ có đường kính MN với $M(3;-1)$và $N(9;3)$

c) $(C)$ có tâm $I(2;1)$ và tiếp xúc với đường thẳng $5x-12y+12=0$

d) $(C)$ có tâm $A(1;-2)$ và đi qua điểm $B(4;-5)$

Phương pháp giải

a) Phương trình đường tròn có dạng ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b)$ và bán kính R

b) Bước 1: Từ đường kính xác định bán kính của đường tròn

    Bước 2: Xác định tâm của đường tròn (là trung điểm của đường kính)

c, d) Bước 1: Xác định bán kính của đường tròn (là khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến)

   Bước 2: Viết phương trình đường tròn ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b)$ và bán kính R

Lời giải 

a) Đường tròn (C) tâm $I(1;5)$, bán kính $r=4$ có phương trình là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=16$

b) $MN=\sqrt{{\left(9-3\right)}^2+{\left(3-(-1)\right)}^2}=2\sqrt{13}$, suy ra bán kính là $\sqrt{13}$

Tâm của đường tròn là trung điểm của MN: $I(6;1)$

Đường tròn (C) tâm $I\left(6;1\right)$và bán kính là $\sqrt{13}$ có phương trình: ${\left(x-6\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=13$

c) Ta có bán kính của đường tròn $r=d\left(I,d\right)=\frac{\left|5.2-12.1+11\right|}{\sqrt{5^2+{12}^2}}=\frac{9}{13}$

Đường tròn (C) tâm $I\left(2;1\right)$và bán kính là $\frac{9}{13}$ có phương trình: ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=\frac{81}{169}$

d) Bán kính của đường tròn là $r=AB=\sqrt{{\left(4-1\right)}^2+{\left((-5)-(-2)\right)}^2}=3\sqrt{2}$

Đường tròn (C) tâm $A(1;-2)$và bán kính là $3\sqrt{2}$ có phương trình: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=18$

Bài 3 trang 62 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a) $M(2;5),N(1;2),P(5;4)$

b) $A(0;6),B(7;7),C(8;0)$

Phương pháp giải 

Bước 1: Xác định tâm của đường tròn (điểm cách đều ba đỉnh của tam giác, là giao điểm của 3 đường trung trực)

Bước 2: Tính bán kính của đường tròn (là khoảng cách từ tâm đến một trong ba đỉnh)

Bước 3: Viết phương trình đường tròn ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b)$ và bán kính R

Lời giải 

a) Gọi A,B lần lượt là trung điểm của MN, MP ta có: $A\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right),B\left(\frac{7}{2};\frac{9}{2}\right)$

Đường trung trực $\mathrm{\Delta }$của đoạn  thẳng MN  là đường thẳng đi qua  $A\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right)$ và nhận vt $\overrightarrow{MN}=(-1;-3)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  $-x-3y+12=0$

Đường trung trực d của đoạn thẳng MP  là đường thẳng đi qua  $B\left(\frac{7}{2};\frac{9}{2}\right)$ và nhận vt $\overrightarrow{MP}=(3;-1)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  $3x-y-6=0$

$\mathrm{\Delta }$ cắt d tại điểm $I(3;3)$ cách đều ba điểm M, N, P suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm $I(3;3)$ và có bán kính $R=IM=\sqrt{5}$. Vậy (C) có phương trình: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=5$

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: $M\left(\frac{7}{2};\frac{13}{2}\right),N\left(4;3\right)$

Đường trung trực $\mathrm{\Delta }$của đoạn  thẳng AB là đường thẳng đi qua  $M\left(\frac{7}{2};\frac{13}{2}\right)$ và nhận vt $\overrightarrow{BA}=(-7;-1)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  $-7x-y+31=0$

Đường trung trực d của đoạn thẳng AC  là đường thẳng đi qua  $N\left(4;3\right)$ và nhận vt $\overrightarrow{AC}=(8;-6)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình  $8x-6y-14=0$

$\mathrm{\Delta }$ cắt d tại điểm $I(4;3)$ cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm $I(4;3)$ và có bán kính $R=IA=5$. Vậy (C) có phương trình: ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=25$

Bài 4 trang 62 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm $A(4;2)$

Phương pháp giải

Bước 1: Gọi $I(a,b)$ là tâm của bán kính, giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}d\left(I,Ox\right)=IA\\ d\left(I,Oy\right)=IA\end{array}$

Bước 2: Viết phương trình đường tròn ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b)$ và bán kính R

Lời giải 

Gọi tâm của đường tròn là điểm $I(a;b)$

Ta có: $IA=\sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2},d\left(I,Ox\right)=b,d\left(I,Oy\right)=a$

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}d\left(I,Ox\right)=IA\\ d\left(I,Oy\right)=IA\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=\sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2}\\ a=\sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2}\end{array}$

Thay $a=b$ vào phương trình $a=\sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2}$ ta có:

$\begin{array}{l}a=\sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(a-2\right)}^2}\\ \Rightarrow a^2={\left(a-4\right)}^2+{\left(a-2\right)}^2\\ \Rightarrow a^2-12a+20=0\\ \Rightarrow [\begin{array}{l}a=10\\ a=2\end{array}\end{array}$

Với $a=b=2$ ta có phương trình đường tròn (C) là: ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=4$

Với $a=b=10$ ta có phương trình đường tròn (C) là: ${\left(x-10\right)}^2+{\left(y-10\right)}^2=100$