a) Chứng tỏ rằng điểm $M(4;6)$ thuộc đường tròn $(C)$

b) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M(4;6)$

c) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$song song với đường thẳng $4x+3y+2022=0$

Phương pháp giải 

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn

                +) Nếu biểu thức đó bằng 0 thì M thuộc đường tròn

                +) Nếu biểu thức khác 0 thì M không thuộc đường tròn

b) Phương trình tiếp tuyến của đường trong tâm $I(a;b)$ tại điểm $M(x_0;y_0)$nằm trên đường tròn là: $\left(a-x_0\right)\left(x-x_0\right)+\left(b-y_0\right)\left(y-y_0\right)=0$

c)            Bước 1: Xác định pt tổng quát của tiếp tuyến (biết hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng vt pháp tuyến)

                Bước 2: Xác định tiếp tuyến (biết khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính)

Lời giải 

a) Thay điểm $M(4;6)$vào phương trình đường tròn $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ta có:

$4^2+6^2-2.4-4.6-20=0$

Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (C)

b) Đường tròn có tâm $I(1;2)$

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $M(4;6)$ là:

$\begin{array}{l}\left(4-1\right)\left(x-4\right)+\left(6-2\right)\left(y-6\right)=0\\ \iff 3x+4y+16=0\end{array}$

c) Tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng $4x+3y+2022=0$ nên phương trình có dạng $d:4x+3y+c=0$

Ta có tâm và bán kính của đường tròn là: $I(1;2),r=\sqrt{1^2+2^2+20}=5$

Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính nên: $d\left(I,d\right)=\frac{\left|4.1+3.2+c\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5\Rightarrow [\begin{array}{l}c=15\\ c=-35\end{array}$

Vậy đường tròn (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng $4x+3y+2022=0$ là $d_1:4x+3y+15=0,d_2:4x+3y-35=0$

Bài 6 trang 63 Toán 10 Tập 2: Một cái cầu hình bán nguyệt rộng 8,4 m cao 4,2 m như hình 5. Mặt đường dưới cộng được chia thành hai làn cho xe ra vào.

a) Vết phương trình mô phỏng cái cổng.

b) Một chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6 m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng và không làm hư hỏng cổng hay không?

Phương pháp giải

a) Bước 1: Gắn hệ trục tọa độ vào đường

    Bước 2: Viết phương trình đường tròn với điều kiện ràng buộc

b) Bước 1: Xác định khoảng cách điểm xa nhất tới tâm đường tròn

   Bước 2: So sánh kết quả vừa tìm được với bán kinh

      +) Nếu nhỏ hơn hoặc bán kính thì có thể đi qua và không làm hỏng cổng

      +) Ngược lại, nếu lớn hơn bánh kình thì không thể đi qua cổng

Lời giải 

a) Ta thấy cổng có hình bán nguyệt và chiều cao của cổng bằng một nửa chiều rộng của đường nên nó có dạng nửa đường tròn

Gắn trục tọa độ tại tim đường, ta có phương trình mô phỏng cái cổng là : $x^2+y^2=4,2^2$ (với điều kiện $y>0$ vì cổng luôn nằm trên mặt đường)

b) Vì xe đi đúng làn nên ta có $x=2,2;y=2,6$

Khoảng cách từ điểm xa nhất của chiếc xe tài tới tim đường là: $\sqrt{2,2^2+2,6^2}\simeq 3,41$

Ta thấy rằng $3,41<4,2$, nên chiếc xe có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng.