Toán 10 Kết nối tri thức trang 57 Bài 9: Tích của một vecto với một số

Giang Ngày: 12-02-2023 Lớp 10

281

Với giải Câu hỏi trang 57 Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức trong 9: Tích của một vecto với một số học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức trang 57 Bài 9: Tích của một vecto với một số

Hoạt động 3 trang 57 Toán lớp 10: Với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $| k t | . | \vec{u} |$

b) Nếu $k t \geq 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$

c) Nếu $k t < 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$

d) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ bằng nhau.

Phương pháp giải:

Vecto $k \vec{a}$ (với $k > 0, \vec{a} \neq \vec{0}$ ) cùng hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ đài bằng $k | \vec{a} |$ .

Vecto $k \vec{a}$ (với $k < 0, \vec{a} \neq \vec{0}$ ) ngược hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ đài bằng $| k | | \vec{a} |$ .

Lời giải:

a) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $| k t | . | \vec{u} |$

Ta có: $| t \vec{u} | = | t | | \vec{u} | \Rightarrow | k (t \vec{u}) | = | k | | (t \vec{u}) | = | k | . | t | | \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$

Và $| (k t) \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$

$\Rightarrow | k (t \vec{u}) | = | (k t) \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$

b) Nếu $k t \geq 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $k \geq 0, t \geq 0$

Vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k \geq 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t \geq 0$ )

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ .

Trường hợp 2: $k < 0, t < 0$

Vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k < 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t < 0$ )

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ .

Vậy vecto $k (t \vec{u})$ luôn cùng hướng với vecto $\vec{u}$ nếu $k t \geq 0$ .

Lại có: $k t \geq 0$ nên $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$

Vậy $k t \geq 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$

c) Nếu $k t < 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $k > 0, t < 0$

Vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k > 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t < 0$ )

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ .

Trường hợp 2: $k < 0, t > 0$

Vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k < 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t > 0$ )

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ .

Vậy vecto $k (t \vec{u})$ luôn ngược hướng với vecto $\vec{u}$ nếu $k t < 0$ .

Lại có: $k t < 0$ nên $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$

Vậy $k t < 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$

d) Từ ý b) và c), ra suy ra hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ luôn cùng hướng.

Theo câu a) ta có: $| k (t \vec{u}) | = | (k t) \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$

$\Rightarrow$ Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ bằng nhau

Hoạt động 4 trang 57 Toán lớp 10: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vecto $3 (\vec{u} + \vec{v})$ và $3 \vec{u} + 3 \vec{v}$ . Từ đó, nêu mối quan hệ giữa $3 (\vec{u} + \vec{v})$ và $3 \vec{u} + 3 \vec{v}$

Lời giải:

Hoạt động 4 trang 57 Toán lớp 10 Tập 1 I Kết nối tri thức với cuộc sống (ảnh 1)

Kí hiệu O, E, F là các điểm như trên hình vẽ.

Dễ thấy: tứ giác OEMF là hình bình hành nên $\vec{O E} + \vec{O F} = \vec{O M}$ hay $\vec{v} + \vec{u} = \vec{O M}$

Và $\vec{O C} = 3. \vec{O M} \Rightarrow 3 (\vec{v} + \vec{u}) = 3. \vec{O M} = \vec{O C}$

Mặt khác: $\vec{O A} = 3. \vec{O F} = 3 \vec{u}; \vec{O B} = 3. \vec{O E} = 3 \vec{v}$

Và $\vec{O B} + \vec{O A} = \vec{O C}$ hay $3 \vec{v} + 3 \vec{u} = \vec{O C}$

$\Rightarrow 3 (\vec{v} + \vec{u}) = 3 \vec{v} + 3 \vec{u}$

Luyện tập 2 trang 57 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có

$\vec{O B} + \vec{O A} + \vec{O C} = 3 \vec{O G}$ .

Phương pháp giải:

G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{G B} + \vec{G A} + \vec{G C} = \vec{0}$

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn có $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

Lời giải:

Ta có: $\vec{O A} = \vec{O G} + \vec{G A}$ ; $\vec{O B} = \vec{O G} + \vec{G B}$ ; $\vec{O C} = \vec{O G} + \vec{G C}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O B} + \vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O G} + \vec{G A} + \vec{O G} + \vec{G B} + \vec{O G} + \vec{G C} \\ \Leftrightarrow \vec{O B} + \vec{O A} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) \end{array}$

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G B} + \vec{G A} + \vec{G C} = \vec{0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O B} + \vec{O A} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} + \vec{0} \\ \Leftrightarrow \vec{O B} + \vec{O A} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} \end{array}$

Luyện tập 3 trang 57 Toán lớp 10: Trong hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto $\vec{u}, \vec{v}$ theo hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ , tức là tìm các số $x, y, z, t$ để $\vec{u} = x \vec{a} + y \vec{b}, \vec{v} = t \vec{a} + z \vec{b} .$ .

Luyện tập 3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 1 I Kết nối tri thức với cuộc sống (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Phân tích vecto $\vec{u}, \vec{v}$ theo hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ cho trước.

Lời giải:

Bước 1: Dựng hình bình hành có cạnh song song với giá của vecto $\vec{a}, \vec{b}$ và đường chéo là vecto $\vec{u}, \vec{v}$ .

Luyện tập 3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 1 I Kết nối tri thức với cuộc sống (ảnh 2)

Ta dựng được hình hình hành ABCD và DEGH. Trong đó: DC và DE nằm trên giá của vecto $\vec{a}$ , DA và DH nằm trên giá của vecto $\vec{b}$ , còn vecto $\vec{u}, \vec{v}$ lần lượt là hai dường chéo.