Lời giải 

a) $\{a\}\in \{a;b;c;d\}$ là mệnh đề sai, vì không có quan hệ $\in$ giữa hai tập hợp.

b) $\mathrm{\varnothing }=\{0\}$ là mệnh đề sai, vì tập rỗng là tập không có phần tử nào, còn tập {0} có một phần tử là 0.

c) $\{a;b;c;d\}=\{b;a;d;c\}$ là mệnh đề đúng (có thể thay đổi tùy ý vị trí các phần tử trong một tập hợp).

d) $\{a;b;c\}\subset \{a;b;c\}$ là mệnh đề đúng, vì các phần tử a,b,c đều thuộc tập hợp $\{a;b;c\}$

Bài 2 trang 27 Toán 10 Tập 1: Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) Nếu $2a-1>0$ thì $a>0$ (a là số thực cho trước).

b) $a-2>b$ nếu và chỉ nếu $a>b+2$ (a, b là hai số thực cho trước).

Lời giải 

a) Mệnh đề có dạng $P\Rightarrow Q$ với P: “$2a-1>0$” và Q: “$a>0$”

Ta thấy khi P đúng (tức là $a>\frac{1}{2}$) thì Q cũng đúng. Do đó, $P\Rightarrow Q$ đúng.

b) Mệnh đề có dạng $P\iff Q$ với P: “$a-2>b$” và Q: “$a>b+2$”

Khi P đúng thì Q cũng đúng, do đó, $P\Rightarrow Q$ đúng.

Khi Q đúng thì P cũng đúng, do đó, $Q\Rightarrow P$ đúng.

Vậy mệnh đề $P\iff Q$ đúng.

Bài 3 trang 27 Toán 10 Tập 1: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, phát biểu lại các định lí sau:

a) Nếu $B\subset A$ thì $A\cup B=A$ (A, B là hai tập hợp);

b) Nếu hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó là hình thoi.

Phương pháp giải

Mệnh đề trên có dạng “Nếu P thì Q” là mệnh đề kéo theo, có thể phát biểu là:

P là điều kiện đủ để có Q

Q là điều kiện cần để có P.

Lời giải 

a) Mệnh đề trên có dạng “Nếu P thì Q” là mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$, với:

P: “$B\subset A$” và Q: “$A\cup B=A$”. Có thể phát biểu dưới dạng:

$B\subset A$ là điều kiện đủ để có $A\cup B=A$

$A\cup B=A$ là điều kiện cần để có $B\subset A$

b) Mệnh đề trên có dạng “Nếu P thì Q” là mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$, với:

P: “Hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau” và Q: “ABCD là hình thoi”. Có thể phát biểu dưới dạng:

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện đủ để ABCD là hình thoi.

ABCD là hình thoi là điều kiện cần để có ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Bài 4 trang 27 Toán 10 Tập 1: Cho định lí: “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x\in \mathbb{Z}$ nếu và chỉ nếu $x+1\in \mathbb{Z}$”.

Phát biểu lại định lí này sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”.

Phương pháp giải 

Mệnh đề trên có dạng “P nếu và chỉ nếu Q”, là một mệnh đề tương đương.

Có thể phát biểu là: “P là điều kiện cần và đủ để có Q” (hoặc “Q là điều kiện cần và đủ để có P”)

Lời giải 

Mệnh đề trên có dạng “P nếu và chỉ nếu Q”, là một mệnh đề tương đương với P: “$x\in \mathbb{Z}$” và Q: “$x+1\in \mathbb{Z}$” ($x\in \mathbb{R}$)

Phát biểu:

 “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x\in \mathbb{Z}$ là điều kiện cần và đủ để có $x+1\in \mathbb{Z}$”

Hoặc “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x+1\in \mathbb{Z}$ là điều kiện cần và đủ để có $x\in \mathbb{Z}$”

Bài 5 trang 27 Toán 10 Tập 1: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N},x^3>x$

b) $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{Z},x\notin \mathbb{N}$

c) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},$ nếu $x\in \mathbb{Z}$ thì $x\in \mathbb{Q}$

Lời giải 

a) Mệnh đề “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N},x^3>x$” sai vì $0\in \mathbb{N}$ nhưng $0^3=0.$

b) Mệnh đề “$\mathrm{\exists }x\in \mathbb{Z},x\notin \mathbb{N}$” đúng, chẳng hạn $-2\in \mathbb{Z},-2\notin \mathbb{N}.$

c) Mệnh đề “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},$ nếu $x\in \mathbb{Z}$ thì $x\in \mathbb{Q}$” đúng vì $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}.$

Bài 6 trang 27 Toán 10 Tập 1: Xét quan hệ bao hàm giữa các tập hợp dưới đây. Vẽ biểu đồ Ven thể hiện các quan hệ bao hàm đó.

A là tập hợp các hình tứ giác;

B là tập hợp các hình bình hành;

C là tập hợp các hình chữ nhật;

D là tập hợp các hình vuông;

E là tập hợp các hình thoi.

Phương pháp giải

Tìm mối liên hệ bao hàm giữa các tập hợp.

Lời giải 

Ta có:

Mỗi hình chữ nhật là một hình bình hành đặc biệt (có một góc vuông). Do đó: $C\subset B$

Mỗi hình thoi là một hình bình hành đặc biệt (có hai cạnh kề bằng nhau). Do đó: $E\subset B$

Mỗi hình bình hành là một hình tứ giác (có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau). Do đó: $B\subset A$

$C\cap E$là tập hợp các hình vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi, hay là hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau (hình vuông). Do đó: $C\cap E=D$

Kết hợp lại ta có: $\{\begin{array}{l}D\subset C\subset B\subset A,\\ D\subset E\subset B\subset A,\\ C\cap E=D\end{array}$

Biểu đồ Ven:

Bài 7 trang 27 Toán 10 Tập 1: a) Hãy viết tất cả các tập hợp con của tập hợp $A=\{a;b;c\}$

b) Tìm tất cả các tập hợp B thỏa mãn điều kiện $\{a;b\}\subset B\subset \{a;b;c;d\}$

Phương pháp giải 

B $\subset$A  nếu mọi phần tử của B cũng là phần tử của A.

Lời giải 

a) Các tập hợp con của tập hợp $A=\{a;b;c\}$gồm:

+) Tập rỗng: $\mathrm{\varnothing }$

+) Tập con có 1 phần tử: $\{a\},\{b\},\{c\}.$

+) Tập con có 2 phần tử: $\{a;b\},\{b;c\},\{c;a\}.$

+) Tập hợp A.

b) Tập hợp B thỏa mãn $\{a;b\}\subset B\subset \{a;b;c;d\}$là:

+) $B=\{a;b\}$

+) $B=\{a;b;c\}$

+) $B=\{a;b;d\}$

+) $B=\{a;b;c;d\}$

Chú ý

Mọi tập hợp A luôn có hai tập con là $\mathrm{\varnothing }$ và A.

Bài 8 trang 27 Toán 10 Tập 1: Cho $A=\{x\in \mathbb{R}|x^2-5x-6=0\},$$B=\{x\in \mathbb{R}|x^2=1\}.$

Tìm $A\cap B,A\cup B,A\mathrm{\setminus }B,B\mathrm{\setminus }A.$

Phương pháp giải

Liệt kê các phần tử của A và B.

$A\cap B=\left\{x\in A|x\in B\right\}$

$A\cup B=\{x|x\in A$ hoặc $x\in B\}.$

$A\mathrm{\setminus }B=\left\{x\in A|x\notin B\right\}$

$B\mathrm{\setminus }\mathrm{A}=\left\{x\in B|x\notin A\right\}$