Với giải Câu hỏi trang 24 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức trong Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem: 

Toán 10 Kết nối tri thức trang 24 Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 6.15 trang 24 SGK Toán 10 Tập 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $3x^2-4x+1$ 

b) $x^2+2x+1$

c) $-x^2+3x-2$   

d) $-x^2+x-1$

Phương pháp giải:

Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$

Bước 1: Tính $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2:

-   Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với a với mọi $x\in \mathbb{R}$

-   Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì $f(x)$có nghiệm kép là  $x_0$ . Vậy $f(x)$cùng dấu với a với $x\ne x_0$

-   Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì $f(x)$có 2 nghiệm là $x_1;x_2$$(x_1<x_2)$. Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải:

a) $f(x)=3x^2-4x+1$có $\mathrm{\Delta }=4$>0, $a=3>0$và có hai nghiệm phân biệt $x_1=1;x_2=\frac{1}{3}$. Do đó ta có bảng xét dấu $f(x)$:

Suy ra $f(x)>0$với mọi $x\in \left(-\mathrm{\infty };\frac{1}{3}\right)\cup \left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ và $f(x)<0$với mọi $x\in \left(\frac{1}{3};1\right)$

b) $g(x)=x^2+2x+1$ có $\mathrm{\Delta }=0$ và a=1>0 nên $g(x)$có nghiệm kép $x=-1$ và $g(x)>0$với $x\ne -1$

c) $h(x)=-x^2+3x-2$ có $\mathrm{\Delta }=1>0$, $a=-1$<0 và có hai nghiệm phân biệt  $x_1=1;x_2=2$. Do đó ta có bảng xét dấu $h(x)$:

Suy ra $h(x)>0$ với mọi $x\in (1;2)$và $h(x)<0$với mọi $x\in (-\mathrm{\infty };1)\cup (2;+\mathrm{\infty })$

d) $k(x)=-x^2+x-1$ có $\mathrm{\Delta }=-3$<0 và $a=-1$<0 nên $f(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Bài 6.16 trang 24 SGK Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai:

a) $x^2-1\ge 0$ 

b) $x^2-2x-1<0$

c) $-3x^2+12x+1\le 0$   

d) $5x^2+x+1\ge 0$

Phương pháp giải:

Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$

Bước 1: Tính $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2:

-   Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với a với mọi $x\in \mathbb{R}$

-   Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì $f(x)$có nghiệm kép là  $x_0$ . Vậy $f(x)$cùng dấu với a với $x\ne x_0$

-   Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì $f(x)$có 2 nghiệm là $x_1;x_2$$(x_1<x_2)$. Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải:

a) Tam thức $f(x)=x^2-1$ có $\mathrm{\Delta }=4>0$nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt $x_1=-1;x_2=1$

Mặt khác a=1>0, do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-\mathrm{\infty };-1\right]\cup \left[1;+\mathrm{\infty }\right)$

b) Tam thức $g(x)=x^2-2x-1$ có $\mathrm{\Delta }=8>0$ nên g(x) có 2 nghiệm phân biệt $x_1=1-\sqrt{2};x_2=1+\sqrt{2}$

Mặt khác a=1>0, do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là $\left(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right)$

c) Tam thức $h(x)=-3x^2+12x+1$ có${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=39>0$nên h(x) có 2 nghiệm phân biệt $x_1=\frac{6-\sqrt{39}}{3};x_2=\frac{6+\sqrt{39}}{3}$

Mặt khác a=-3<0, do đó ta có bảng xét dấu:

d) Tam thức $k(x)=5x^2+x+1$ có $\mathrm{\Delta }=-19<0$, hệ số a=5>0 nên k(x) luôn dương ( cùng dấu với a) với mọi x, tức là $5x^2+x+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm

Bài 6.17 trang 24 SGK Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x\in \mathbb{R}$:

$x^2+(m-1)x+2m+3$

Phương pháp giải:

Lời giải:

Để tam thức bậc hai $x^2+(m-1)x+2m+3>0$với mọi $x\in \mathbb{R}$

Ta có: a=1>0 nên $\mathrm{\Delta }<0$

$\begin{array}{l}\iff (m-1{)}^2-4.(2m+3)<0\\ \iff m^2-2m+1-8m-12<0\\ \iff m^2-10m-11<0\end{array}$

Tam thức $f(m)=m^2-10m-11$ có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=36>0$nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt $m_1=-1;m_2=11$

Mặt khác a=1>0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Bài 6.18 trang 24 SGK Toán 10 Tập 2: Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu $v_0=20m/s$. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể

Phương pháp giải:

Tìm hàm tính độ cao so với mặt đất của vật $h(t)$,

Tìm khoảng thời gian t để $320-h(t)\le 100$, bài toán đưa về xét dấu tam thức $f(t)=a{t}^2+bt+c$

Bước 1: Tính $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2:

-         Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì $f(t)$ luôn cùng dấu với a với mọi $t\in \mathbb{R}$

-         Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì $f(t)$có nghiệm kép là  $t_0$ . Vậy $f(t)$cùng dấu với a với $t\ne t_0$

-         Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì $f(t)$có 2 nghiệm là $t_1;t_2$$(t_1<t_2)$. Ta lập bảng xét dấu.

Kết luận khoảng chứa t thỏa mãn

Lời giải:

Quãng đường vật rơi được sau t(s) là: $h(t)=20t+\frac{1}{2}.9,8.t^2=4,9.t^2+20t$

Để vật cách mặt đất không quá 100m thì $320-h(t)\le 100\iff h(t)\ge 220\iff 4,9t^2+20t-220\ge 0$

Tam thức $f(t)=4,9t^2+20t-220$ có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1178>0$ nên f(t) có 2 nghiệm phân biệt $t_1=\frac{-10-\sqrt{1}178}{4,9};t_2=\frac{-10+\sqrt{1}178}{4,9}$ (t>0)

Mặt khác a=1>0 nên ta có bảng xét dấu:

Do t>0 nên $t\ge \frac{-10+\sqrt{1}178}{4,9}\approx 5$

Vậy sau ít nhất khoảng 5 $s$ thì vật đó cách mặt đất không quá 100m

Bài 6.19 trang 24 SGK Toán 10 Tập 2: Xét đường tròn đường kính AB=4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM=x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính diện tích hình tròn đường kính AB, AM, MB theo x

Bước 2: Tính diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ theo x

Bước 3: Lập bất phương trình từ dữ kiện bài toán

Lời giải:

Ta có: AM0<x<4

Diện tích hình tròn đường kính AB là $S_0=\pi .{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=4\pi$

Diện tích hình tròn đường kính AM là $S_1=\pi .{\left(\frac{AM}{2}\right)}^2=\frac{\pi .x^2}{4}$

Diện tích hình tròn đường kính MB là $S_2=\pi .{\left(\frac{MB}{2}\right)}^2=\pi .\frac{{\left(4-x\right)}^2}{4}$

Diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ là $S(x)=S_0-S_1-S_2=4\pi -\frac{x^2}{4}\pi -\frac{{\left(4-x\right)}^2}{4}\pi =\frac{-x^2+4x}{2}\pi$

Vì diện tich S(x) không vượt quá 1 nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ nên:

$S(x)\le \frac{1}{2}\left(S_1+S_2\right)$

Khi đó : $\frac{-x^2+4x}{2}\pi \le \frac{1}{2}.\frac{x^2-4x+8}{2}\pi$

$\iff -x^2+4x\le \frac{x^2-4x+8}{2}$

$\iff -2x^2+8x\le x^2-4x+8$

$\iff 3x^2-12x+8\ge 0$

Xét tam thức $3x^2-12x+8$ có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=12>0$ nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt $x_1=\frac{6-2\sqrt{3}}{3};x_2=\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$

Mặt khác a=3>0, do đó ta có bảng xét dấu:

Do đó $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in \left(-\mathrm{\infty };\frac{6-2\sqrt{3}}{3}\right]\cup \left[\frac{6+2\sqrt{3}}{3};+\mathrm{\infty }\right)$

Mà 0<x<4 nên $x\in \left(-\mathrm{\infty };\frac{6-2\sqrt{3}}{3}\right]\cup \left[\frac{6+2\sqrt{3}}{3};+\mathrm{\infty }\right)$