Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai sách Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

1. Dấu của tam thức bậc hai

Câu hỏi trang 19 Toán 10

HĐ1 trang 19 SGK Toán 10 Tập 2: Hãy chỉ ra một đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:

$A=0,5x^2$    

$B=1-x^2$   

$C=x^2+x+1$     

$D=(1-x)(2x+1)$

Lời giải:

Ta có :

$A=0,5x^2$

$B=1-x^2$

$C=x^2+x+1$

$D=(1-x)(2x+1)=2x+1-2x^2-x=-2x^2+x+1$

=> Các biểu thức đều có dạng $a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$, a,b,c là các số thực.

Luyện tập 1 trang 19 SGK Toán 10 Tập 2: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai.

$A=3x+2\sqrt{x}+1$ 

$B=-5x^4-3x^2+4$

$C=-\frac{2}{3}{x}^2+7x-4$

$D={\left(\frac{1}{x}\right)}^2+2.\frac{1}{x}+3$

Phương pháp giải:

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng $a{x}^2+bx+c$, trong đó a,b,c là những số cho trước $\left(a\ne 0\right)$

Lời giải:

Biểu thức $C=-\frac{2}{3}{x}^2+7x-4$ là tam thức bậc hai

Biểu thức A không là tam thức bậc hai vì chứa $\sqrt{x}$

Biểu thức B không là tam thức bậc hai vì chứa $x^4$

Biểu thức D không là tam thức bậc hai vì chứa ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2$

HĐ2 trang 19 SGK Toán 10 Tập 2: Cho hàm số bậc hai $y=f(x)=x^2-4x+3$

a) Xác định hệ số a. Tính $f(0);f(1);f(2);f(3);f(4)$ và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a

b) Cho đồ thị hàm số y=f(x) (H.6.17). Xét từng khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right);\left(1;3\right);\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$, đồ thị nằm phía trên hay phía dưới trục Ox?

c) Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Lời giải:

a) Hệ số a là: a=1

$f(0)=0^2-4.0+3=3$

$f(1)=1^2-4.1+3=0$

$f(2)=2^2-4.2+3=-1$

$f(3)=3^2-4.3+3=0$

$f(4)=4^2-4.4+3=3$

=> f(0); f(4) cùng dấu với hệ số a; f(2) khác dấu với hệ số a

b) Nhìn vào đồ thị ta thấy

- Trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ đồ thị nằm phía trên trục hoành

- Trên khoảng $\left(1;3\right)$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành

- Trên khoảng $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$, đồ thị nằm phía trên trục hoành

c) - Trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ đồ thị nằm phía trên trục hoành => f(x)>0, cùng dầu với hệ số a

- Trên khoảng $\left(1;3\right)$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành => f(x) <0, khác dấu với hệ số a

- Trên khoảng $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$, đồ thị nằm phía trên trục hoành => f(x)>0, cùng dấu với hệ số a

Câu hỏi trang 20 Toán 10

HĐ3 trang 20 SGK Toán 10 Tập 2: Cho đồ thị hàm số $y=g(x)=-2x^3+x+3$ như Hình 6.18

a) Xét trên từng khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right),\left(-1;\frac{3}{2}\right),\left(\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }\right)$, đồ thị nằm phía trên trục Ox hay nằm phía dưới trục Ox

b) Nhận xét về dấu của g(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó

Lời giải:

Ta có: hệ số a=-2<0

a) Nhìn vào đồ thị ta thấy

- Trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ đồ thị nằm phía dưới trục hoành

- Trên khoảng $\left(-1;\frac{3}{2}\right)$, đồ thị nằm phía trên trục hoành

- Trên khoảng $\left(\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }\right)$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành

c) - Trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ đồ thị nằm phía dưới trục hoành => f(x)<0, cùng dầu với hệ số a

- Trên khoảng $\left(-1;\frac{3}{2}\right)$, đồ thị nằm phía trên trục hoành => f(x) >0, khác dấu với hệ số a

- Trên khoảng $\left(\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }\right)$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành => f(x)<0, cùng dấu với hệ số a

HĐ4 trang 20 SGK Toán 10 Tập 2: Nêu nội dung thay vào các ô có dấu “?” trong bảng sau cho thích hợp

Trường hợp a>0

Trường hợp a<0

Lời giải:

Câu hỏi trang 22 Toán 10

Luyện tập 2 trang 22 SGK Toán 10 Tập 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $-3x^2+x-\sqrt{2}$ 

b) $x^2+8x+16$ 

c) $-2x^2+7x-3$

Phương pháp giải:

Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$

Bước 1: Tính $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2:

-  Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với a với mọi $x\in \mathbb{R}$

-  Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì $f(x)$có nghiệm kép là  $x_0$ . Vậy $f(x)$cùng dấu với a với $x\ne x_0$

-  Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì $f(x)$có 2 nghiệm là $x_1;x_2$$(x_1<x_2)$. Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải:

a) $f(x)=-3x^2+x-\sqrt{2}$có $\mathrm{\Delta }=1-12\sqrt{2}<0$và a=-3<0 nên $f(x)<0$với mọi $x\in \mathbb{R}$

b) $g(x)=x^2+8x+16$ có $\mathrm{\Delta }=0$và a=1>0 nên g(x) có nghiệm kép $x=-4$ và g(x) >0 với mọi $x\ne -4$

c) $h(x)=-2x^2+7x-3$ có $\mathrm{\Delta }=25$>0 và a=-2<0 và có 2 nghiệm phân biệt $x_1=\frac{1}{2};x_2=3$

Do đó ta có bảng xét dấu h(x)

Suy ra h(x) <0 với mọi $x\in \left(-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}\right)\cup \left(3;+\mathrm{\infty }\right)$ và h(x)>0 với mọi $x\in \left(\frac{1}{2};3\right)$

2. Bất phương trình bậc hai

HĐ5 trang 22 SGK Toán 10 Tập 2: Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 $m^2$, hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích $S(x)=-2x^2+20x$với 48

Lời giải:

Để diện tích của mảnh vườn không nhỏ hơn 48 $m^2$thì

$S(x)\ge 48\Rightarrow -2x^2+20x\ge 48\iff -2x^2+20x-48\ge 0$

Câu hỏi trang 23 Toán 10

Luyện tập 3 trang 23 SGK Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:

a) $-5x^2+x-1\le 0$

b) $x^2-8x+16\le 0$

c) $x^2-x+6>0$

Phương pháp giải:

Để giải bất phương trình bậc hai, ta cần xét dấu tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+x(a\ne 0)$

từ đó suy ra tập nghiệm.

Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$

Bước 1: Tính $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2:

-  Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với a với mọi $x\in \mathbb{R}$

-  Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì $f(x)$có nghiệm kép là  $x_0$ . Vậy $f(x)$cùng dấu với a với $x\ne x_0$

-  Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì $f(x)$có 2 nghiệm là $x_1;x_2$$(x_1<x_2)$. Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải:

a) Tam thức $f(x)=-5x^2+x-1$ có $\mathrm{\Delta }=-19<0$, hệ số $a=-5<0$ nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi x, tức là $$$-5x^2+x-1<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm

b) Tam thức $g(x)=x^2-8x+16$ có $\mathrm{\Delta }=0$, hệ số a=1>0 nên g(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi $x\ne 4$, tức là $x^2-8x+16>0$ với mọi $x\ne 4$

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất là x=4

c) Tam thức $h(x)=x^2-x+6$ có $\mathrm{\Delta }=-23<0$, hệ số a=1>0 nên h(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là $x^2-x+6>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm

Vận dụng trang 23 SGK Toán 10 Tập 2: Độ cao so với mặt đất của một quá bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai $h(t)=-4,9t^2+20t+1$, ở độ cao $h(t)$tính bằng mét và thời gian t tình bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất.

Phương pháp giải:

Tìm khoảng thời gian t để $h(t)>5$, bài toán đưa về xét dấu tam thức $f(t)=h(t)-5$

Các bước xét dấu tam thức bậc hai $f(t)=a{t}^2+bt+c$

Bước 1: Tính $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2:

-  Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì $f(t)$ luôn cùng dấu với a với mọi $t\in \mathbb{R}$

-  Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì $f(t)$có nghiệm kép là  $t_0$ . Vậy $f(t)$cùng dấu với a với $t\ne t_0$

-  Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì $f(t)$có 2 nghiệm là $t_1;t_2$$(t_1<t_2)$. Ta lập bảng xét dấu.

Kết luận khoảng chứa t thỏa mãn $f(t)>0$

Lời giải:

Để quả bóng ở độ cao trên 5m so với mặt đất thì:

$\begin{array}{l}h(t)>5\\ \Rightarrow -4,9t^2+20t+1>5\\ \Rightarrow -4,9t^2+20t-4>0\end{array}$

Đặt $f(t)=-4,9t^2+20t-4$có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac={10}^2-(-4,9).(-4)=80,4>0$nên $f(t)$có 2 nghiệm: $\begin{array}{l}{t}_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}=\frac{-10+\sqrt{80,4}}{-4,9}=\frac{10-\sqrt{80,4}}{4,9}\\ t_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}=\frac{-10-\sqrt{80,4}}{-4,9}=\frac{10+\sqrt{80,4}}{4,9}\end{array}$

Mặt khác $a=-4,9<0$, do đó ta có bảng xét dấu sau

Do đó để $h(t)>5$thì $t\in \left(\frac{10-\sqrt{80,4}}{4,9};\frac{10+\sqrt{80,4}}{4,9}\right)$

Vậy để quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất thì $t\in \left(\frac{10-\sqrt{80,4}}{4,9};\frac{10+\sqrt{80,4}}{4,9}\right)$

Bài tập

Câu hỏi trang 24 Toán 10

Bài 6.15 trang 24 SGK Toán 10 Tập 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $3x^2-4x+1$ 

b) $x^2+2x+1$

c) $-x^2+3x-2$   

d) $-x^2+x-1$

Phương pháp giải:

Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$

Bước 1: Tính $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2:

-   Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với a với mọi $x\in \mathbb{R}$

-   Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì $f(x)$có nghiệm kép là  $x_0$ . Vậy $f(x)$cùng dấu với a với $x\ne x_0$

-   Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì $f(x)$có 2 nghiệm là $x_1;x_2$$(x_1<x_2)$. Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải:

a) $f(x)=3x^2-4x+1$có $\mathrm{\Delta }=4$>0, $a=3>0$và có hai nghiệm phân biệt $x_1=1;x_2=\frac{1}{3}$. Do đó ta có bảng xét dấu $f(x)$:

Suy ra $f(x)>0$với mọi $x\in \left(-\mathrm{\infty };\frac{1}{3}\right)\cup \left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ và $f(x)<0$với mọi $x\in \left(\frac{1}{3};1\right)$

b) $g(x)=x^2+2x+1$ có $\mathrm{\Delta }=0$ và a=1>0 nên $g(x)$có nghiệm kép $x=-1$ và $g(x)>0$với $x\ne -1$

c) $h(x)=-x^2+3x-2$ có $\mathrm{\Delta }=1>0$, $a=-1$<0 và có hai nghiệm phân biệt  $x_1=1;x_2=2$. Do đó ta có bảng xét dấu $h(x)$:

Suy ra $h(x)>0$ với mọi $x\in (1;2)$và $h(x)<0$với mọi $x\in (-\mathrm{\infty };1)\cup (2;+\mathrm{\infty })$

d) $k(x)=-x^2+x-1$ có $\mathrm{\Delta }=-3$<0 và $a=-1$<0 nên $f(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Bài 6.16 trang 24 SGK Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai:

a) $x^2-1\ge 0$ 

b) $x^2-2x-1<0$

c) $-3x^2+12x+1\le 0$   

d) $5x^2+x+1\ge 0$

Phương pháp giải:

Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$

Bước 1: Tính $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2:

-   Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với a với mọi $x\in \mathbb{R}$

-   Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì $f(x)$có nghiệm kép là  $x_0$ . Vậy $f(x)$cùng dấu với a với $x\ne x_0$

-   Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì $f(x)$có 2 nghiệm là $x_1;x_2$$(x_1<x_2)$. Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải:

a) Tam thức $f(x)=x^2-1$ có $\mathrm{\Delta }=4>0$nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt $x_1=-1;x_2=1$

Mặt khác a=1>0, do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-\mathrm{\infty };-1\right]\cup \left[1;+\mathrm{\infty }\right)$

b) Tam thức $g(x)=x^2-2x-1$ có $\mathrm{\Delta }=8>0$ nên g(x) có 2 nghiệm phân biệt $x_1=1-\sqrt{2};x_2=1+\sqrt{2}$

Mặt khác a=1>0, do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là $\left(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right)$

c) Tam thức $h(x)=-3x^2+12x+1$ có${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=39>0$nên h(x) có 2 nghiệm phân biệt $x_1=\frac{6-\sqrt{39}}{3};x_2=\frac{6+\sqrt{39}}{3}$

Mặt khác a=-3<0, do đó ta có bảng xét dấu:

d) Tam thức $k(x)=5x^2+x+1$ có $\mathrm{\Delta }=-19<0$, hệ số a=5>0 nên k(x) luôn dương ( cùng dấu với a) với mọi x, tức là $5x^2+x+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm

Bài 6.17 trang 24 SGK Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x\in \mathbb{R}$:

$x^2+(m-1)x+2m+3$

Phương pháp giải:

Lời giải:

Để tam thức bậc hai $x^2+(m-1)x+2m+3>0$với mọi $x\in \mathbb{R}$

Ta có: a=1>0 nên $\mathrm{\Delta }<0$

$\begin{array}{l}\iff (m-1{)}^2-4.(2m+3)<0\\ \iff m^2-2m+1-8m-12<0\\ \iff m^2-10m-11<0\end{array}$

Tam thức $f(m)=m^2-10m-11$ có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=36>0$nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt $m_1=-1;m_2=11$

Mặt khác a=1>0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Bài 6.18 trang 24 SGK Toán 10 Tập 2: Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu $v_0=20m/s$. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể

Phương pháp giải:

Tìm hàm tính độ cao so với mặt đất của vật $h(t)$,

Tìm khoảng thời gian t để $320-h(t)\le 100$, bài toán đưa về xét dấu tam thức $f(t)=a{t}^2+bt+c$

Bước 1: Tính $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2:

-         Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì $f(t)$ luôn cùng dấu với a với mọi $t\in \mathbb{R}$

-         Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì $f(t)$có nghiệm kép là  $t_0$ . Vậy $f(t)$cùng dấu với a với $t\ne t_0$

-         Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì $f(t)$có 2 nghiệm là $t_1;t_2$$(t_1<t_2)$. Ta lập bảng xét dấu.

Kết luận khoảng chứa t thỏa mãn

Lời giải:

Quãng đường vật rơi được sau t(s) là: $h(t)=20t+\frac{1}{2}.9,8.t^2=4,9.t^2+20t$

Để vật cách mặt đất không quá 100m thì $320-h(t)\le 100\iff h(t)\ge 220\iff 4,9t^2+20t-220\ge 0$

Tam thức $f(t)=4,9t^2+20t-220$ có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1178>0$ nên f(t) có 2 nghiệm phân biệt $t_1=\frac{-10-\sqrt{1}178}{4,9};t_2=\frac{-10+\sqrt{1}178}{4,9}$ (t>0)

Mặt khác a=1>0 nên ta có bảng xét dấu:

Do t>0 nên $t\ge \frac{-10+\sqrt{1}178}{4,9}\approx 5$

Vậy sau ít nhất khoảng 5 $s$ thì vật đó cách mặt đất không quá 100m

Bài 6.19 trang 24 SGK Toán 10 Tập 2: Xét đường tròn đường kính AB=4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM=x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính diện tích hình tròn đường kính AB, AM, MB theo x

Bước 2: Tính diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ theo x

Bước 3: Lập bất phương trình từ dữ kiện bài toán

Lời giải:

Ta có: AM0<x<4

Diện tích hình tròn đường kính AB là $S_0=\pi .{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=4\pi$

Diện tích hình tròn đường kính AM là $S_1=\pi .{\left(\frac{AM}{2}\right)}^2=\frac{\pi .x^2}{4}$

Diện tích hình tròn đường kính MB là $S_2=\pi .{\left(\frac{MB}{2}\right)}^2=\pi .\frac{{\left(4-x\right)}^2}{4}$

Diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ là $S(x)=S_0-S_1-S_2=4\pi -\frac{x^2}{4}\pi -\frac{{\left(4-x\right)}^2}{4}\pi =\frac{-x^2+4x}{2}\pi$

Vì diện tich S(x) không vượt quá 1 nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ nên:

$S(x)\le \frac{1}{2}\left(S_1+S_2\right)$

Khi đó : $\frac{-x^2+4x}{2}\pi \le \frac{1}{2}.\frac{x^2-4x+8}{2}\pi$

$\iff -x^2+4x\le \frac{x^2-4x+8}{2}$

$\iff -2x^2+8x\le x^2-4x+8$

$\iff 3x^2-12x+8\ge 0$

Xét tam thức $3x^2-12x+8$ có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=12>0$ nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt $x_1=\frac{6-2\sqrt{3}}{3};x_2=\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$

Mặt khác a=3>0, do đó ta có bảng xét dấu:

Do đó $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in \left(-\mathrm{\infty };\frac{6-2\sqrt{3}}{3}\right]\cup \left[\frac{6+2\sqrt{3}}{3};+\mathrm{\infty }\right)$

Mà 0<x<4 nên $x\in \left(-\mathrm{\infty };\frac{6-2\sqrt{3}}{3}\right]\cup \left[\frac{6+2\sqrt{3}}{3};+\mathrm{\infty }\right)$