SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Nguyễn Thanh Huyền Ngày: 16-02-2023 Lớp 10

446

Toptailieu biên soạn và giới thiệu giải sách bài tập Toán 10 Bài 17 (Kết nối tri thức): Dấu của tam thức bậc hai hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 10 Bài 17.

SBT Toán 10 Kết nối tri thức Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Câu hỏi trang 18 SBT Toán 10

Bài 6.21 trang 18 sách bài tập Toán 10: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $f (x) = - x^{2} + 6 x + 7$

b) $g (x) = 3 x^{2} - 2 x + 2$

c) $h (x) = - 16 x^{2} + 24 x - 9$

d) $k (x) = 2 x^{2} - 6 x + 1$

Lời giải:

a) $f (x) = - x^{2} + 6 x + 7$ có ∆’ = 16 > 0, a = -1 < 0 và có 2 nghiệm phân biệt $x_{1} = - 1$ ; $x_{2} = 7$

Do đó ta có bảng xét dấu f(x):

Suy ra $f (x) > 0$ với mọi $x \in (- 1; 7)$ và $f (x) < 0$ với mọi $x \in (- \infty; - 1) \cup (7; + \infty)$

b) $g (x) = 3 x^{2} - 2 x + 2$ có ∆’ = -5 < 0 và a = 3 > 0 nên g(x) > 0 với mọi $x \in R$

c) $h (x) = - 16 x^{2} + 24 x - 9$ có ∆’ = 0 và a = -16 < 0 nên h(x) có nghiệm kép $x = \frac{3}{4}$ và $h (x) < 0$ với mọi $x \neq \frac{3}{4}$

d) $k (x) = 2 x^{2} - 6 x + 1$ có ∆’ = 7 > 0, a = 2 > 0 và có 2 nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}; x_{2} = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$

Do đó ta có bảng xét dấu k(x):

Suy ra k(x) > 0 với mọi $x \in (- \infty; \frac{3 - \sqrt{7}}{2}) \cup (\frac{3 + \sqrt{7}}{2}; + \infty)$ và k(x) < 0 với mọi $x \in (\frac{3 - \sqrt{7}}{2}; \frac{3 + \sqrt{7}}{2})$

Bài 6.22 trang 18 sách bài tập Toán 10: Giải các bất phương trình sau:

a) $3 x^{2} - 36 x + 108 > 0$

b) $- x^{2} + 2 x - 2 \geq 0$

c) $x^{4} - 3 x^{2} + 2 \leq 0$

d) $\frac{1}{x^{2} - x + 1} \leq \frac{1}{2 x^{2} + x + 2}$

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 108$ có a = 3 > 0, ∆’ = 0 nên f(x) có nghiệm kép x = 6 và f(x) = $3 x^{2} - 36 x + 108$ > 0 với mọi $x \neq 6$

Vậy tập nghiệm của BPT $3 x^{2} - 36 x + 108 > 0$ là $R ∖ {6}$

b) Tam thức bậc hai $g (x) = - x^{2} + 2 x - 2 \geq 0$ có a = -1 < 0, ∆’ = -1 < 0 nên g(x) < 0 với mọi $x \in R$

Vậy BPT $- x^{2} + 2 x - 2 \geq 0$ vô nghiệm

c) Đặt t = x² (t ≥ 0) khi đó ta thu được BPT $t^{2} - 3 t + 2 \leq 0$

Tam thức bậc hai $h (x) = t^{2} - 3 t + 2$ có a = 1 > 0 và có hai nghiệm là $x_{1} = 1, x_{2} = 2$ nên ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta được nghiệm của BPT $t^{2} - 3 t + 2 \leq 0$ là 1 ≤ t ≤ 2

Suy ra 1 ≤ x² ≤ 2 $\Leftrightarrow {\begin{cases} x^{2} \geq 1 \\ x^{2} \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} [\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x \leq - 1 \end{array} \\ - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - \sqrt{2} \leq x \leq - 1 \\ 1 \leq x \leq \sqrt{2} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của BPT $x^{4} - 3 x^{2} + 2 \leq 0$ là $[- \sqrt{2}; - 1] \cup [1; \sqrt{2}]$

d) $\frac{1}{x^{2} - x + 1} \leq \frac{1}{2 x^{2} + x + 2}$ (*)

Ta có: Tam thức bậc hai $x^{2} - x + 1$ và $2 x^{2} + x + 2$ đều có a > 0, ∆ > 0 nên $x^{2} - x + 1$ > 0; $2 x^{2} + x + 2$ > 0 với mọi $x \in R$

Khi đó (*) $\Leftrightarrow x^{2} - x + 1 \geq 2 x^{2} + x + 2$ $\Leftrightarrow x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$

Tam thức bậc hai $k (x) = x^{2} + 2 x + 1$ có a = 1 > 0, ∆’ = 0 và có nghiệm kép x = -1

Suy ra k(x) > 0 với mọi x ≠ -1 và k(x) = 0 với x = -1

Vậy tập nghiệm của BPT $\frac{1}{x^{2} - x + 1} \leq \frac{1}{2 x^{2} + x + 2}$ là {-1}

Bài 6.23 trang 18 sách bài tập Toán 10: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x²−2(m−1)x+4m²−m=0 (1)

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có hai nghiệm trái dấu

Lời giải:

Tam thức bậc hai $x^{2} - 2 (m - 1) x + 4 m^{2} - m = 0$ có ∆’ = $(m - 1)^{2} - 4 m^{2} + m = - 3 m^{2} - m + 1$

a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆’ > 0 $\Leftrightarrow - 3 m^{2} - m + 1 > 0$ $\Leftrightarrow \frac{- 1 - \sqrt{13}}{6} < m < \frac{- 1 + \sqrt{13}}{6}$

Vậy với $m \in (\frac{- 1 - \sqrt{13}}{6}; \frac{- 1 + \sqrt{13}}{6})$ thì PT (1) có hai nghiệm phân biệt.

b) PT (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0 $\Leftrightarrow 4 m^{2} - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{4}$

Vậy với $m \in (0; \frac{1}{4})$ thì PT (1) có hai nghiệm trái dấu.

Bài 6.24 trang 18 sách bài tập Toán 10: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) −x²+ (m+1)x − 2m + 1 ≤ 0, ∀x∈R

b) x²− (2m+1)x + m + 2 > 0, ∀x∈R

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai $- x^{2} + (m + 1) x - 2 m + 1 \leq 0$ có ∆ = $(m + 1)^{2} + 4 (- 2 m + 1) = m^{2} - 6 m + 5$

Vì a = -1 < 0 nên $- x^{2} + (m + 1) x - 2 m + 1 \leq 0, \forall x \in R$ khi và chỉ khi ∆ ≤ 0

Ta có: ∆ ≤ 0 $\Leftrightarrow m^{2} - 6 m + 5 \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 5$

Vậy với $m \in [1; 5]$ thì $- x^{2} + (m + 1) x - 2 m + 1 \leq 0, \forall x \in R$

b) Tam thức bậc hai $x^{2} - (2 m + 1) x + m + 2 > 0$ có ∆ = $(2 m + 1)^{2} - 4 (m + 2) = 4 m^{2} - 7$

Vì a = 1 > 0 nên $x^{2} - (2 m + 1) x + m + 2 > 0, \forall x \in R$ khi và chỉ khi ∆ < 0

Ta có: ∆ < 0 $\Leftrightarrow 4 m^{2} - 7 < 0 \Leftrightarrow - \frac{\sqrt{7}}{2} < m < \frac{\sqrt{7}}{2}$

Vậy với $m \in (- \frac{\sqrt{7}}{2}; \frac{\sqrt{7}}{2})$ thì $x^{2} - (2 m + 1) x + m + 2 > 0, \forall x \in R$

Bài 6.25 trang 18 sách bài tập Toán 10: Một công ti đồ gia dụng sản xuất bình đựng nước thấy rằng khi đơn giá của bình đựng nước là x nghìn đồng thì doanh thu R (tính theo đơn vị nghìn đồng) sẽ là R(x) = −560x²+ 50000x

a) Theo mô hình doanh thu này, thì đơn giá nào là quá cao dẫn đến doanh thu từ việc bán bình đựng nước bằng 0 (tức là sẽ không có người mua)?

b) Với khoảng đơn giá nào của bình đựng nước thì doanh thu từ việc bán bình đựng nước vượt mức 1 tỉ đồng?

Lời giải:

a) Ta có: $R (x) = 0 \Leftrightarrow - 560 x^{2} + 50000 x = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{625}{7} \\ x = 0 \end{array}$ $\Rightarrow x \approx 89$

Vậy với đơn giá khoảng 89 nghìn đồng thì không có doanh thu bán bình đựng nước.

b) Ta có:

$R (x) > 1000000 \Leftrightarrow - 560 x^{2} + 50000 x > 1000000$ $\Leftrightarrow 7 x^{2} - 625 x + 12500 < 0 \Leftrightarrow 30, 25 < x < 59, 04$

Vậy với đơn giá từ khoảng 31 nghìn đồng đến 59 nghìn đồng thì doanh thu bán bình đựng nước vượt mức 1 tỉ đồng.

Bài 6.26 trang 18 sách bài tập Toán 10: Một viên đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu 500 m/s, hợp với phương ngang một góc bằng 45⁰. Biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên sẽ tuân theo phương trình: $y = \frac{- g}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α$

Trong đó x là khoảng cách (tính bằng mét) vật bay được theo phương ngang, vận tốc ban đầu v₀ của vật hợp với phương ngang một góc α và g = 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường.

a) Viết phương trình chuyển động của viên đạn

b) Để viên đạn bay qua một ngọn núi cao 4 000 mét thì khẩu pháp phải đặt cách chân núi một khoảng bao xa?

Lời giải:

a) Ta có: $y = \frac{- g}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α$ $= \frac{- 9, 8}{{2.500}^{2} . \cos^{2} 45^{0}} x^{2} + x . \tan 45^{0}$ $= \frac{- 9, 8}{250000} x^{2} + x$

b) Ta có: y > 4 000

$\Leftrightarrow \frac{- 9, 8}{250000} x^{2} + x > 4000 \Leftrightarrow 9, 8 x^{2} - 250000 x + 1000000000 < 0$ $\Leftrightarrow 4967, 17 < x < 20543, 03$

Vậy để viên đạn bay qua một ngọn núi cao 4 000 mét thì khẩu pháo phải đặt cách chân núi một khoảng từ 4967 mét đến 20543 mét

Bài 6.27 trang 19 sách bài tập Toán 10: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

$b^{2} x^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2}) x + c^{2} > 0, \forall x \in R$

Lời giải:

Tam thức bậc hai $b^{2} x^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2}) x + c^{2}$ có ∆ = $(b^{2} + c^{2} - a^{2})^{2} - 4 b^{2} c^{2}$

$= (b^{2} + c^{2} - a^{2} - 2 b c) (b^{2} + c^{2} - a^{2} + 2 b c)$

$= [{(b - c)}^{2} - a^{2}] [{(b + c)}^{2} - a^{2}]$

$= (b - c - a) (b - c + a) (b + c - a) (b + c + a)$

$= - (a + c - b) (a + b - c) (b + c - a) (a + b + c)$

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0 và a + b + c > 0

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$\begin{array}{l} a + b > c \Leftrightarrow a + b - c > 0 \\ b + c > a \Leftrightarrow b + c - a > 0 \\ a + c > b \Leftrightarrow a + c - b > 0 \end{array}$