SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 97 Bài 3: Tích của một số với một vecto

Giang Ngày: 15-02-2023 Lớp 10

433

Với giải Câu hỏi trang 97 SBT Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo trong Bài 3: Tích của một số với một vecto giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Nội dung bài viết

Bài 2 trang 97 SBT Toán 10
Bài 3 trang 97 SBT Toán 10
Bài 4 trang 97 SBT Toán 10
Bài 5 trang 97 SBT Toán 10
Bài 6 trang 97 SBT Toán 10

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 97 Bài 3: Tích của một số với một vecto

Bài 2 trang 97 SBT Toán 10: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:

a) $2 \vec{D A} + \vec{D B} + \vec{D C} = \vec{0}$

b) $2 \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 4 \vec{O D}$ với O là điểm tùy ý

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trung điểm $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$ với I là trung điểm của AB

Lời giải:

a) AM là trung tuyến của tam giác ABC, suy ra M là trung điểm của BC

$2 \vec{D A} + \vec{D B} + \vec{D C} = 2 \vec{D A} + (\vec{D B} + \vec{D C}) = 2 \vec{D A} + 2 \vec{D M} = 2 (\vec{D A} + \vec{D M}) = \vec{0}$

(D là trung điểm của AM nên $\vec{D A} + \vec{D M} = \vec{0}$ )

b) $\begin{array}{l} 2 \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 2 \vec{O A} + (\vec{O B} + \vec{O C}) = 2 \vec{O A} + 2 \vec{O M} \\ = 2 (\vec{O A} + \vec{O M}) = 2.2 \vec{O D} = 4 \vec{O D} \end{array}$

Bài 3 trang 97 SBT Toán 10: Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$

b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\vec{M A} + \vec{M B} = (\vec{M I} + \vec{I A}) + (\vec{M I} + \vec{I B}) = 2 \vec{M I} + (\vec{I A} + \vec{I B}) = 2 \vec{M I}$ (đpcm)

(I là trung điểm của AB nên $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\begin{array}{l} \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = (\vec{M G} + \vec{G A}) + (\vec{M G} + \vec{G B}) + (\vec{M G} + \vec{G C}) \\ = 3 \vec{M G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = 3 \vec{M G} \end{array}$ (đpcm)

(G là trọng tâm của ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ )

Bài 4 trang 97 SBT Toán 10: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho $3 \vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$ .

Lời giải:

Từ giả thiết ta có:

$3 \vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{K A} = - \frac{2}{3} \vec{K B}$

Suy ra hai vectơ $\vec{K A}; \vec{K B}$ ngược hướng và có tỉ lệ độ dài $K A = \frac{2}{3} K B$

Ta có hình vẽ mô tả dưới đây

Bài 5 trang 97 SBT Toán 10: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Gọi O là trọng tâm của tam giác MPR

Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC nên $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A C}$

Tương tự PQ và RS cũng là đường trung bình của tam giác CDE và EFA nên

$\vec{P Q} = \frac{1}{2} \vec{C E}; \vec{R S} = \frac{1}{2} \vec{E A}$

Từ đó suy ra $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R S} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{C E} + \frac{1}{2} \vec{E A} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{C E} + \vec{E A}) = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R S} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (\vec{M O} + \vec{O N}) + (\vec{P O} + \vec{O Q}) + (\vec{R O} + \vec{O S}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{O N} + \vec{O Q} + \vec{O S} = \vec{O M} + \vec{O P} + \vec{O R}$

Mà ta có O là trọng tâm của tam giác MPR nên $\vec{O M} + \vec{O P} + \vec{O R} = \vec{0}$

Suy ra $\vec{O N} + \vec{O Q} + \vec{O S} = \vec{O M} + \vec{O P} + \vec{O R} = \vec{0}$

Vậy O vừa trọng tâm của tam giác MPR vừa là trọng tâm của tam giác NQS

Bài 6 trang 97 SBT Toán 10: Máy bay A bay với vận tốc $\vec{a}$ , máy bay B bay cùng hướng có vận tốc chỉ bằng một nửa máy A. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{b}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\vec{a}$ của máy bay A.