SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 103: Bài tập cuối chương 5

Giang Ngày: 15-02-2023 Lớp 10

237

Với giải Câu hỏi trang 101 SBT Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo trong Bài tập cuối chương 5 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 103: Bài tập cuối chương 5

Bài 4 trang 103 SBT Toán 10: Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , ta có:

$| \vec{a} | - | \vec{b} | \leq | \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$

Lời giải:

TH1: $\vec{a} = \vec{0}$

$\Rightarrow | \vec{a} | - | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} | = | \vec{b} |$

TH2: $\vec{b} = \vec{0}$

$\Rightarrow | \vec{a} | - | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} | = | \vec{a} |$

TH3: $\vec{a} \neq \vec{0}$ và $\vec{b} \neq \vec{0}$

Lấy A bất kì, vẽ $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ . Dựng hình bình hành ABCD, đặt $\vec{c} = \vec{A C}$

Ta có: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} = \vec{c}$

Xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$A B - B C < A C < A B + B C$

Mà $| \vec{a} | = | \vec{A B} | = A B; | \vec{b} | = | \vec{A D} | = A D = B C; | \vec{c} | = | \vec{A C} | = A C;$

$\Rightarrow | \vec{a} | - | \vec{b} | < | \vec{a} + \vec{b} | < | \vec{a} | + | \vec{b} |$

Vậy $| \vec{a} | - | \vec{b} | \leq | \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$

Bài 5 trang 103 SBT Toán 10: Cho hình ngũ giác đều ABCDE có tâm O. Chứng minh rằng: $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} = \vec{0}$

Lời giải:

Không mất tính tổng quát giả sử $O A = O B = O C = O D = O E = 1$

Ta có: $\hat{A O B} = \hat{B O C} = \hat{C O D} = \hat{D O E} = \hat{E O A} = 360^{\circ} : 5 = 72^{\circ}$

+ Dựng hình bình hành OEHB.

Vì OE=OB nên OEHB là hình thoi, suy ra H thuộc tia phân giác của $\hat{E O B}$ hay H thuộc OA.

$\Rightarrow \vec{O A} + (\vec{O B} + \vec{O E}) = \vec{O A} + \vec{O H} = \vec{O M}$ với M thuộc OA sao cho OM = OH +OA.

+ Tính OM:

Xét tam giác OHE, ta có:

$\hat{H O E} = 72; O E = H E = 1$ $\Rightarrow \hat{O H E} = 72^{o} \Rightarrow \hat{O E H} = 180^{\circ} - 72^{o} - 72^{o} = 36^{\circ}$

Áp dụng định lí cosin: $O H^{2} = O E^{2} + E H^{2} - 2. O E . O H . \cos E$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow O H^{2} = 1 + 1 - 2. \cos 36^{\circ} \approx 0, 382 \\ \Rightarrow O H = 0, 618 \\ \Rightarrow O M = O H + O A = 0, 618 + 1 = 1, 618 \end{array}$

+ Dựng hình bình hành OCKD, ta có: $\vec{O C} + \vec{O D} = \vec{O K}$

Vì OC=OD nên OCKD là hình thoi => OK là tia phân giác của $\hat{C O D}$

$\Rightarrow \hat{C O K} = \frac{1}{2} \hat{C O D} = \frac{1}{2} {.72}^{o} = 36^{o}$

$\Rightarrow \hat{K O A} = \hat{K O C} + \hat{C O B} + \hat{B O A} = 36^{\circ} + 72^{\circ} + 72^{\circ} = 180^{\circ}$

Hay K, O, A thẳng hàng, do đó K, O, M thẳng hàng (do M thuộc OA).

+Tính OK:

Xét tam giác OCK, ta có:

$\begin{array}{l} O C = C K = 1; \hat{C O K} = 36^{o} \Rightarrow \hat{C K O} = 36^{o} \\ \Rightarrow \hat{O C K} = 180^{o} - 36^{o} - 36^{o} = 108^{o} \\ \Rightarrow O K^{2} = O C^{2} + C K^{2} - 2. O C . C K . \cos \hat{O C K} \\ \Leftrightarrow O K^{2} = 1 + 1 - 2. \cos 108^{o} \approx 2, 618 \\ \Rightarrow O K = 1, 618 = O M \end{array}$

Vậy O là trung điểm KM hay $\vec{O K} + \vec{O M} = \vec{0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} = (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O E}) + (\vec{O C} + \vec{O D}) \\ = \vec{O M} + \vec{O K} = \vec{0} (d p c m) \end{array}$