SBT Toán 10 Cánh Diều trang 107: Bài tập cuối chương 4

Giang Ngày: 17-02-2023 Lớp 10

111

Với giải Câu hỏi trang 107 SBT Toán 10 Tập 1 Cánh Diều trong Bài tập cuối chương 4 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

SBT Toán 10 Cánh Diều trang 107: Bài tập cuối chương 4

Bài 72 trang 107 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, $\hat{B A C} = 60 °$ . Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp R;

c) Diện tích của tam giác ABC;

d) Độ dài đường cao xuất phát từ A;

e) $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A M} . \vec{A C}$ với M là trung điểm của BC.

Lời giải:

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

Xét tam giác ABC, có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos $\hat{B A C}$

= 4² + 6² – 2.4.6.cos60°

= 4² + 6² – 24

= 28

⇔ BC = $\sqrt{28}$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta được:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B}$

⇔ $\sin B = \frac{6. \sin 60 °}{\sqrt{28}} \approx 0, 98$

⇔ $\hat{B} \approx 79 °$ .

Vậy BC = $\sqrt{28}$ và $\hat{B} \approx 79 °$ .

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = 2 R$

⇔ $R = \frac{B C}{2 \sin A} = \frac{\sqrt{28}}{2 \sin 60 °} \approx 3$ .

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 3.

c) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta được:

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin \hat{B A C} = \frac{1}{2} .4.6. \sin 60 ° = 6 \sqrt{3}$ (đvdt)

Vậy diện tích của tam giác ABC là $6 \sqrt{3}$ (đvdt).

d) Gọi AH là đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A

Ngoài ra diện tích tam giác ABC là:

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B C . A H = \frac{1}{2} . \sqrt{28} . A H$

Theo ý c) ta tính được diện tích tam giác là $6 \sqrt{3}$

Do đó ta có: $\frac{1}{2} . \sqrt{28} . A H = 6 \sqrt{3}$

⇔ $A H = \frac{2.6 \sqrt{3}}{\sqrt{28}} \approx 4$

Vậy độ dài đường cao xuất phát từ A là 4.

e) Ta có:

$\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = 4.6. \cos 60 ° = 12.$

Vì M là trung điểm của BC nên $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

Khi đó:

$\vec{A M} . \vec{A C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{1}{2} . {\vec{A C}}^{2} = \frac{1}{2} .12 + \frac{1}{2} {.6}^{2} = 24$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = 12$ và $\vec{A M} . \vec{A C} = 24$ .

Bài 73 trang 107 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$ .

Lời giải:

Ta có: $\frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$

$= \frac{1}{2} ({\vec{A B}}^{2} + {\vec{A C}}^{2} - {\vec{B C}}^{2})$

$= \frac{1}{2} ((\vec{A B} - \vec{B C}) (\vec{A B} + \vec{B C}) + {\vec{A C}}^{2})$

$= \frac{1}{2} ((\vec{A B} - \vec{B C}) \vec{A C} + {\vec{A C}}^{2})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A C} - \vec{B C} . \vec{A C} + {\vec{A C}}^{2})$ .

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A C} - (\vec{B A} + \vec{A C}) . \vec{A C} + {\vec{A C}}^{2})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A C} - \vec{B A} . \vec{A C} - {\vec{A C}}^{2} + {\vec{A C}}^{2})$

$= \frac{1}{2} .2 \vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A B} . \vec{A C}$

Bài 74 trang 107 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính:

a) $\sin \hat{A B C}$ ;

b) Diện tích tam giác ABC;

c) Độ dài đường trung tuyến AM.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính: a) sin ∠ABC; b) Diện tích tam giác ABC; c) Độ dài đường trung tuyến AM

a) Xét tam giác ABC, có:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta được:

$cos \hat{A B C} = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2 A B . B C} = \frac{5^{2} + 6^{2} - 7^{2}}{2.5.6} = \frac{1}{5}$

Ta có: ${cos}^{2} \hat{A B C} + \sin^{2} \hat{A B C} = 1$

⇔ $\sin^{2} \hat{A B C} = 1 - {cos}^{2} \hat{A B C} = 1 - {(\frac{1}{5})}^{2} = \frac{24}{25}$

Vì $\hat{A B C}$ là góc trong tam giác nên $0 ° < \hat{A B C} < 180 °$

⇒ $\sin \hat{A B C} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

Vậy $\sin \hat{A B C} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

b) Diện tích tam giác ABC là:

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . B C . \sin \hat{A B C} = \frac{1}{2} .5.6. \frac{2 \sqrt{6}}{5} = 6 \sqrt{6}$ (đvdt)

Vậy diện tích tam giác ABC là $6 \sqrt{6} .$

c) Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}$ BC = $\frac{1}{2}$ .6 = 3.

Xét tam giác ABM:

Áp dụng định lí cos, ta có:

AM² = AB² + BM² – 2.AM.BM.cosB

⇔ AM² = 5² + 3² – 2.5.3. $\frac{1}{5}$

⇔ AM² = 28

⇔ AM = $2 \sqrt{7}$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM là $2 \sqrt{7}$ .

Bài 75 trang 107 SBT Toán 10: Cho ba điểm I, A, B và số thực k ≠ 1 thỏa mãn . Chứng minh với O là điểm bất kì ta có: $\vec{O I} = (\frac{1}{1 - k}) \vec{O A} - (\frac{k}{1 - k}) \vec{O B}$ .

Lời giải:

Ta có: $\vec{I A} = k \vec{I B} \Leftrightarrow \vec{I A} - k \vec{I B} = \vec{0}$

Xét vế phải của đẳng thức ta có:

$(\frac{1}{1 - k}) \vec{O A} - (\frac{k}{1 - k}) \vec{O B} = (\frac{1}{1 - k}) (\vec{O I} + \vec{I A}) - (\frac{k}{1 - k}) (\vec{O I} + \vec{I B})$

$= \frac{1}{1 - k} \vec{O I} + \frac{1}{1 - k} \vec{I A} - \frac{k}{1 - k} \vec{O I} - \frac{k}{1 - k} \vec{I B}$

$= (\frac{1}{1 - k} \vec{O I} - \frac{k}{1 - k} \vec{O I}) + (\frac{1}{1 - k} \vec{I A} - \frac{k}{1 - k} \vec{I B})$

$= \vec{O I} (\frac{1}{1 - k} - \frac{k}{1 - k}) + \frac{1}{1 - k} (\vec{I A} - k \vec{I B})$

$= \vec{O I} + \frac{1}{1 - k} \vec{0}$

$= \vec{O I}$ .

Bài 76 trang 107 SBT Toán 10: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, $\hat{B A C} = 120 °$ . Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, điểm D thỏa mãn $\vec{A D} = \frac{2}{5} \vec{A C}$ . Tính tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A C}$ và chứng minh AM ⊥ BD.

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c os (\vec{A B}, \vec{A C}) = 4.5. c os120 ° = - 10$

Ta lại có: $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

Và $\vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} = - \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$

⇒ $\vec{A M} . \vec{B D} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . (- \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C})$

⇔ $\vec{A M} . \vec{B D} = - \frac{1}{2} {\vec{A B}}^{2} + \frac{1}{5} \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A C} . \vec{A B} + \frac{1}{5} {\vec{A C}}^{2}$

⇔ $\vec{A M} . \vec{B D} = - \frac{1}{2} {.4}^{2} + \frac{1}{5} (- 10) - \frac{1}{2} (- 10) + \frac{1}{5} {.5}^{2} = 0$

Suy ra AM vuông góc BD.

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = - 10$ và AM vuông góc BD.

Bài 77 trang 107 SBT Toán 10: Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ sông song song).

Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đứng (ảnh 1)

Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đi dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50m và tiếp tục đo được góc nghiêng β = 65° so với bờ sông tới vị trí C đã chọn (Hình 53). Hỏi độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đứng (ảnh 2)

Kẻ CH vuông góc với bờ AB.

Xét tam giác ABC, có:

$\hat{A B C} + \hat{B A C} + \hat{A C B} = 180 °$

⇒ $\hat{A C B} = 180 ° - (\hat{A B C} + \hat{B A C}) = 180 ° - (35 ° + 115 °) = 30 °$

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta được:

$\frac{A B}{\sin \hat{A C B}} = \frac{B C}{\sin \hat{C A B}}$

⇔ $\frac{50}{\sin 30 °} = \frac{B C}{\sin 35 °}$

⇔ $B C = \frac{50 \sin 35 °}{\sin 30 °} \approx 57, 36$

Xét tam giác CHB vuông tại B, có:

$\sin \hat{C B H} = \frac{C H}{B C} \Leftrightarrow C H = \sin \hat{C B H} . B C \approx \sin 65 ° .57, 36 \approx 51, 98$ .

Vậy độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát khoảng 51,98 mét.

Bài 78 trang 107 SBT Toán 10: Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ và $|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 5, (\vec{a}, \vec{b}) = 135 °$ .

Tính $(\vec{a} + 2 \vec{b}) (2 \vec{a} - \vec{b})$ .

Lời giải:

$(\vec{a} + 2 \vec{b}) (2 \vec{a} - \vec{b})$

$= 2 {\vec{a}}^{2} - \vec{a} . \vec{b} + 4 \vec{a} . \vec{b} - 2 {\vec{b}}^{2} = 2 {\vec{a}}^{2} + 3 \vec{a} . \vec{b} - 2 {\vec{b}}^{2}$

$= 2 {\vec{a}}^{2} + 3 |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b}) - 2 {\vec{b}}^{2}$

$= {2.4}^{2} + 3.4.5. c o s 135 ° - {2.5}^{2} = - 18 - 30 \sqrt{2}$

Bài 79 trang 108 SBT Toán 10:

a) Chứng minh đẳng thức ${|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} + 2. \vec{a} . \vec{b}$ với $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ bất kì.

b) Cho $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3, |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{7}$ . Tính $\vec{a} . \vec{b}$ và $(\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải:

a) ${|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} = {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + {\vec{b}}^{2} + 2. \vec{a} . \vec{b} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} + 2. \vec{a} . \vec{b}$