Toptailieu.vn giới thiệu Giải SGK Toán 10 Bài 4 (Kết nối tri thức): Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn với cuộc sống giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu hỏi trang 26 Toán 10

Câu hỏi mở đầu trang 26 Toán lớp 10: Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà điều hoà hai chiều và điều hoà một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỷ đồng.

 Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy đề lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. $x,y\in \mathbb{N}$

Do nhu cầu thị trường không quá 100 máy cả 2 loại nên $x+y\le 100$

Do chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên: $20x+10y\le 1200$

Tổng số tiền lãi là 3,5x+2y (triệu đồng).

+) x = 0, y = 100 thì tiền lãi là 200 triệu đồng

+) x = 50, y = 0 thì tiền lãi là 175 triệu đồng

+) x = 20, y = 80 thì tiền lãi là 230 triệu đồng

Vậy cửa hàng cần nhập 20 máy điều hoà loại hai chiều và 80 máy một chiều thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.

1. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Hoạt động 1 trang 26 Toán lớp 10: Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hoà theo x và y.

a) Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên x và y cần thoả mãn điều kiện gì?

b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên x và y phải

thoả mãn điều kiện gì?

c) Tính số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo x và y.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính số tiền mua x chiếc điều hòa hai chiều.

Bước 2: Tính số tiền mua y chiếc điều hòa một chiều.

Bước 3: Số tiền vốn bằng tổng số tiền mua x điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều.

a) Nhu cầu thị trường không quá 100 máy cả 2 loại có nghĩa là tổng số điều hòa nhập vào cũng không quá 100 máy.

b) Lập bất phương trình thể hiện số vốn không vượt quá 1,2 tỉ đồng.

c) Dựa vào lợi nhuận dự kiến của mỗi loại điều hòa, lập công thức thể hiện số tiền lãi.

Bước 1: Tính số tiền lãi khi bán x chiếc điều hòa hai chiều.

Bước 2: Tính số tiền lãi khi bán y chiếc điều hòa một chiều.

Bước 3: Số tiền lãi của cửa hàng bằng tổng số tiền lãi x điều hòa hai chiều cộng với số tiền lãi khi bán y chiếc điều hòa một chiều.

Lời giải:

Bước 1: Số tiền mua x chiếc điều hòa hai chiều là 20x (triệu đồng)

Bước 2: Số tiền mua y chiếc điều hòa một chiều là 10y (triệu đồng).

Bước 3: Số tiền khi mua x chiếc điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều là 20x+10y (triệu đồng).

a) Nhu cầu thị trường không quá 100 máy cả 2 loại có nghĩa là tổng số điều hòa nhập vào cũng không quá 100 máy.

Tổng số máy mua vào là x+y.

Khi đó do nhu cầu thị trường không quá 100 máy cả 2 loại nên $x+y\le 100$

b) 1,2 tỉ đồng =1200 (triệu đồng)

Số vốn mua x điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều là 20x+10y (triệu đồng).

Do chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên ta có:

$20x+10y\le 1200$

$\iff 2x+y\le 120$

c) Bước 1: Số tiền lãi bán 1 chiếc điều hòa hai chiều là 3,5 triệu đồng nên số tiền lãi khi bán x chiếc điều hòa hai chiều là 3,5x (triệu đồng)

Bước 2: Số tiền lãi bán 1 chiếc điều hòa một chiều là 2 triệu đồng nên số tiền lãi khi bán y chiếc điều hòa một chiều là 2y (triệu đồng)

Bước 3: Tổng số tiền lãi là 3,5x+2y (triệu đồng).

Chú ý: Cửa hàng nhập x chiếc điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều có nghĩa là cửa hàng đã mua vào x máy điều hòa hai chiều với giá 20 triệu đồng/máy và y máy với giá 10 triệu đồng/máy.

Câu hỏi trang 27 Toán 10

Luyện tập 1 trang 27 Toán lớp 10: Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn x, y và chỉ ra một nghiệm của hệ này.

Phương pháp giải:

- Lập hệ:

+ Số điều hòa nhập vào phải là số tự nhiên

+ Nêu rõ các bất phương trình có ở HĐ 1. 

- Tìm nghiệm của hệ: Thử các cặp số (x;y) ngẫu nhiên vào hệ, nếu cặp số nào thỏa mãn hết các bất phương trình thì cặp số đó là nghiệm của hệ.

Lời giải:

- Lập hệ:

Do số lượng máy nhập vào phải là số tự nhiên nên ta có $x\ge 0,y\ge 0$.

Từ HĐ 1 ta có hai bất phương trình là $x+y\le 100$ và $2x+y\le 120$

Vậy hệ bất phương trình từ HĐ 1 là

$\{\begin{array}{l}x+y\le 100\\ 2x+y\le 120\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$_.

- Tìm nghiệm:

Thay cặp số (x;y)=(50;10) vào hệ ta được:  

$\{\begin{array}{l}50+10\le 100\text{(Đúng)}\\ 2.50+10\le 120\text{(Đúng)}\\ 50\ge 0\text{(Đúng)}\\ 10\ge 0\text{(Đúng)}\end{array}$

Ta thấy các bất phương trình trên đều đúng hết nên (50;10) là một nghiệm của hệ.

Chú ý: Ta có thể chọn cặp số khác (50;10), nếu sau khi thay cặp số đã chọn vào và thấy thỏa mãn cả 4 bất phương trình thì cặp số mà ta chọn là một nghiệm của hệ.

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ

Hoạt động 2 trang 27 Toán lớp 10: Cho đường thẳng d: x+y=150 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này cắt hai trục tọa độ Ox và Oy tại hai điểm A và B.

a) Xác định miền nghiệm $D_1,D_2,D_3$ của các bất phương trình tương ứng $x\ge 0;y\ge 0$ và $x+y\le 150$.

b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao điểm của các miền $D_1,D_2$ và $D_3$ hay không?

c) Lấy một điểm trong tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;2)) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;149)) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không:

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$

Phương pháp giải:

a) Biểu diễn các miền nghiệm của từng bất phương trình $x\ge 0;y\ge 0$ và $x+y\le 150$

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) $ax+by=c$.

Bước 2: Lấy điểm một điểm không thuộc đường thẳng $ax+by=c$ và thay vào bất phương trình cần xác định miền nghiệm.

Bước 3: Nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm đó.

b) Vẽ tất cả các miền miền $D_1,D_2$ và $D_3$ lên cùng một mặt phẳng.

Lời giải: 

a) Miền nghiệm của bất phương trình $x\ge 0$

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) $x=0$. Đây là trục Oy.

Bước 2: Lấy điểm A(150;0) không thuộc trục Oy và thay vào biểu thức $x$, ta được: $x=150\ge 0$.

Bước 3: Do điểm A thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm A.

Minh họa (phần không bị gạch chéo):

Miền nghiệm của bất phương trình $y\ge 0$

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) $y=0$. Đây là trục Ox.

Bước 2: Lấy điểm B(0;150) không thuộc trục Ox và thay vào biểu thức $y$, ta được: $y=150\ge 0$.

Bước 3: Do điểm B thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm B.

Minh họa (phần không bị gạch chéo):

Miền nghiệm của bất phương trình $y\ge 0$

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) $y=0$. Đây là trục Ox.

Bước 2: Lấy điểm B(0;150) không thuộc trục Ox và thay vào biểu thức $y$, ta được: $y=150\ge 0$.

Bước 3: Do điểm B thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm B.

Minh họa (phần không bị gạch chéo):

Miền nghiệm của bất phương trình $x+y\le 150$:

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) $x+y=150$.

Bước 2: Lấy điểm O(0;0) không thuộc đường thẳng $x+y=150$ và thay vào $x+y$, ta được: $0+0=0\le 150$

Bước 3: Do điểm O thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm O.

Minh họa (phần không bị gạch chéo):

Vậy $D_1$ là nửa trên mặt phẳng có bờ là trục Oy, $D_2$ là nửa bên phải mặt phẳng có bờ là trục Ox và $D_3$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x+y=150 chứa điểm O.

b) Vẽ tất cả các miền miền $D_1,D_2$ và $D_3$ lên cùng một mặt phẳng.

=>Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao điểm của các miền $D_1,D_2$ và $D_3$

c) Lấy một điểm trong tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;2)) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;149)) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không:

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$

Lấy điểm (1;2) trong tam giác OAB, thay vào hệ $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$

Ta được:

$\{\begin{array}{l}1\ge 0\\ 2\ge 0\\ 1+2\le 150\end{array}$ (luôn đúng)

Vậy điểm (1;2) là nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$

Lấy điểm (1;149), thay vào hệ $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$

Ta được: 

$\{\begin{array}{l}1\ge 0\\ 149\ge 0\\ 1+149\le 150\end{array}$ (luôn đúng)

Vậy điểm (1;149) là nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$

Câu hỏi trang 28 Toán 10

Luyện tập 2 trang 28 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:  $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y>0\\ x+y\le 100\\ 2x+y<120\end{array}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x\ge 0$

Bước 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y>0$

Bước 3: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x+y\le 100$

Bước 4: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $2x+y<120$

Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Lời giải:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x\ge 0$

Miền nghiệm của bất phương trình $x\ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

Bước 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y>0$

Miền nghiệm của bất phương trình $y>0$ là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) không kể trục Ox.

Bước 3: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x+y\le 100$

+ Vẽ đường thẳng d: x+y=100

+ Vì 0+0=0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x+y\le 100$ là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Bước 4: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $2x+y<120$

Tương tự miền nghiệm của bất phương trình $2x+y<120$ là nửa mặt phẳng bờ d’ chúa gốc tọa độ O. (không kể đường thẳng d’).

Khi đó miền không bị gạch là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho (Không kể đoạn thẳng OC và CD).

3. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Hoạt động 3 trang 28 Toán lớp 10: Xét biểu thức F(x, y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền tam giác OAB ở HĐ2. Toạ độ ba đình là O(0, 0), A(150, 0) và B(0; 150) (H.2.5). 

a) Tính giá trị của biểu thức F(x; y) tại mỗi đỉnh O, A và B.

b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ x và tung độ y của điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB.

c) Nêu nhận xét về tổng x + y của điểm (X; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của F(x, y) trên miền tam giác OAB.

Phương pháp giải:

a) Thay tọa độ điểm O, A, B vào F(x;y) và tính giá trị.

b) Lấy một điểm bất kì trong miền tam giác OAB.

Xác định dấu:

+ So sánh x với 0

+ So sánh y với 0

Đánh giá biểu thức F(x;y) dựa vào dấu của x và y, từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

c) Dựa vào biểu thức

Giá trị lớn nhất: Tách 2x+3y =2.(x+y)+y và dựa vào việc đánh giá x+y và y ở bước trên để tìm giá trị lớn nhất.

Lời giải:

a) Thay tọa độ điểm O, A, B vào F(x;y) ta được:

F(0;0)=2.0+3.0=0

F(150;0)=2.150+3.0=300

F(0;150)=2.0+3.150=450.

b) Lấy một điểm bất kì trong miền tam giác OAB.

Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$ nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn $x\ge 0$.

Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$ nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn $y\ge 0$.

Vậy $x\ge 0$ và $y\ge 0$.

=> $F\left(x;y\right)=2x+3y\ge 2.0+3.0=0$

Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x;y) trên miền OAB là 0.

c) Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$ nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn $x+y\le 150$

Như vậy với mỗi điểm trong miền tam giác OAB thì đều có tổng $x+y\le 150$

Quan sát miền OAB ta thấy điểm B(0;150) là điểm có tung độ lớn nhất nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB đều có $y\le 150$.

Vậy ta có: $F\left(x;y\right)=2x+3y$$=2.\left(x+y\right)+y$$\le 2.150+150=450$

Dấu “=” xảy ra khi x+y=150 và y=150. Hay x=0, y=150.

Giá trị lớn nhất trên miền OAB là 450 tại điểm B.

Câu hỏi trang 30 Toán 10

Câu hỏi vận dụng trang 30 Toán lớp 10: Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.