Chứng minh các hệ thức sau sin^2 an pha + cos^2 an pha=1

Phương Thảo Ngày: 14-09-2022 Lớp 10

1.7 K

Với giải Bài 3.3 trang 37 Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống chi tiết trong Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ $0 °$ đến $180 °$ giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 3.3 trang 37 Toán lớp 10: Chứng minh các hệ thức sau:

a) $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

b) $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} (α \neq 90^{o})$

c) $1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} (0^{o} < α < 180^{o})$

Lời giải a

a) $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ đường tròn lượng giác, lấy điểm M biểu diễn góc $α$ bất kì.

Bước 2: Xác định $\sin α, \cos α$ ( tương ứng với tung độ và hoành độ của điểm M).

Bước 3: Suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Lời giải:

Bài 3.3 trang 37 Toán lớp 10 Tập 1 I Kết nối tri thức với cuộc sống (ảnh 1)

Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α$ . Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: ${\begin{cases} x = \cos α \\ y = \sin α \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} \cos^{2} α = x^{2} \\ \sin^{2} α = y^{2} \end{cases}$ (1)

Mà ${\begin{cases} | x | = O N \\ | y | = O P = M N \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x^{2} = {| x |}^{2} = O N^{2} \\ y^{2} = {| y |}^{2} = M N^{2} \end{cases}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\sin^{2} α + \cos^{2} α = O N^{2} + M N^{2} = O M^{2}$ (do $Δ O M N$ vuông tại N)

$\Rightarrow \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ (vì OM =1). (đpcm)

Lời giải b

b) $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} (α \neq 90^{o})$

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết $\tan α$ dưới dạng $\frac{\sin α}{\cos α} (α \neq 90^{o})$ , thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

Lời giải:

Ta có: $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} (α \neq 90^{o})$

$\Rightarrow 1 + \tan^{2} α = 1 + \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{\cos^{2} α}{\cos^{2} α} + \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\cos^{2} α}$

Mà theo ý a) ta có $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ với mọi góc $α$

$\Rightarrow 1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α}$ (đpcm)

Lời giải c

c) $1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} (0^{o} < α < 180^{o})$

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết $\cot α$ dưới dạng $\frac{\cos α}{\sin α}$ , thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

Lời giải:

Ta có: $\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} (0^{o} < α < 180^{o})$

$\Rightarrow 1 + \cot^{2} α = 1 + \frac{\cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{\sin^{2} α}{\sin^{2} α} + \frac{\cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\sin^{2} α}$