Giải Toán 11 trang 21 Tập 1 (Cánh Diều)

Ngọc Nguyễn Ngày: 06-02-2024 Lớp 11

277

Với giải SGK Toán 11 Cánh Diều trang 21 chi tiết trong Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 trang 21 Tập 1 (Cánh Diều)

Bài 6 trang 21 Toán 11 Tập 1: Cho cos2a = $\frac{1}{3}$ với $\frac{π}{2}$ <a< $π$ . Tính: sina, cosa, tana.

Lời giải:

Do $\frac{π}{2}$ <a< $π$ nên cosa < 0 và sina > 0.

Áp dụng công thức hạ bậc ta có:

• sin²a = $\frac{1 - \cos 2 a}{2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow$ sina = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (do sina > 0).

• cos²a = $\frac{1 + \cos 2 a}{2} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow$ cosa = $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ (do cosa < 0).

Khi đó: tana = $\frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{- \frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy sina = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , cosa = $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ và tana = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Bài 7 trang 21 Toán 11 Tập 1: Cho cos2x = $\frac{1}{4}$ . Tính: A = cos $(x + \frac{π}{6})$ cos $(x - \frac{π}{6})$ ; B = sin $(x + \frac{π}{3})$ sin $(x - \frac{π}{3})$ .

Lời giải:

Ta có:

A = cos $(x + \frac{π}{6})$ cos $(x - \frac{π}{6})$

$= \frac{1}{2} (\cos (x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}) + \cos (x + \frac{π}{6} - x + \frac{π}{6}))$

$= \frac{1}{2} (\cos 2 x + \cos \frac{π}{3})$

$= \frac{1}{2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{3}{8}$ .

B = sin $(x + \frac{π}{3})$ sin $(x - \frac{π}{3})$

$= - \frac{1}{2} (\cos (x + \frac{π}{3} + x - \frac{π}{3}) - \cos (x + \frac{π}{3} - x + \frac{π}{3}))$

$= - \frac{1}{2} (\cos 2 x - \cos \frac{2 π}{3})$

$= - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} - (- \frac{1}{2})) = - \frac{3}{8}$ .

Vậy A = $\frac{3}{8}$ , B = - $\frac{3}{8}$ .

Bài 8 trang 21 Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức: A = $\frac{\sin x + \sin 2 x + \sin 3 x}{\cos x + \cos 2 x + \cos 3 x}$ .

Lời giải:

Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

A = $\frac{\sin x + \sin 2 x + \sin 3 x}{\cos x + \cos 2 x + \cos 3 x}$

$= \frac{(\sin 3 x + \sin x) + \sin 2 x}{(\cos 3 x + \cos x) + \cos 2 x}$

Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Các phép biến đổi lượng giác (ảnh 13)

Bài 9 trang 21 Toán 11 Tập 1: Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15 m (Hình 17).

Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Các phép biến đổi lượng giác (ảnh 14)

a) Tính tanα, ở đó α là góc giữa hai sợi cáp trên.

b) Tìm góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Lời giải:

a) Xét DAOH vuông tại H, ta có: tan $β = \frac{A H}{H O} = \frac{14}{15}$ .

Đặt $\hat{B O H} = γ$

Xét DBOH vuông tại H, ta có: tan $γ = \frac{B H}{H O} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ .

tan $α$ = tan( $β - \hat{B O H}$ ) = tan $(β - γ) = \frac{\tan β - \tan γ}{1 + \tan β \tan γ}$

$= \frac{\frac{14}{15} - \frac{4}{5}}{1 + \frac{14}{15} . \frac{4}{5}} = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{131}{75}} = \frac{10}{131}$ .

Vậy tan $α = \frac{10}{131}$ .

b) Từ tan $α = \frac{10}{131}$ , để tìm số đo góc α, ta sử dụng máy tính cầm tay ấn lần lượt các nút:

Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Các phép biến đổi lượng giác (ảnh 15)

Ta được kết quả làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ là 4°.

Vậy α ≈ 4°.

Bài 10 trang 21 Toán 11 Tập 1: Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là HK = 20 m. Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (Hình 18). Hãy tính số đo góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là CK = 32 m, AH = 6 m, BH = 24 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).

Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Các phép biến đổi lượng giác (ảnh 16)

Lời giải:

Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Các phép biến đổi lượng giác (ảnh 17)

Kẻ AM ⊥ CK, BN ⊥CK (hình vẽ) ta có:

BN = AM = HK = 20 (m);

CN = CK – NK = CK – BH = 32 – 24 = 8 (m);

MN = AB = BH – AH = 24 – 6 = 18 (m);

CM = CN + MN = 8 + 18 = 26 (m).

Đặt $\hat{B C N} = α, \hat{A C M} = β$ .

Xét $∆$ BCN vuông tại N có: tan $α = \frac{B N}{C N} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$ ;

Xét $∆$ ACM vuông tại M có: tan $β = \frac{A M}{C M} = \frac{20}{26} = \frac{10}{13}$ ;

Ta có: tan $\hat{A C B} = \tan (\hat{B C N} - \hat{A C M}) = \tan (α - β)$

$\Rightarrow \tan \hat{A C B} = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β} = \frac{\frac{5}{2} - \frac{10}{13}}{1 + \frac{5}{2} . \frac{10}{13}} = \frac{45}{76}$ .