Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương

Với giải Hoạt động 3 trang 68 Toán 10 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Hoạt động 3 trang 68 Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ .

a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho $\vec{O A} = \vec{u}, \vec{O B} = \vec{v} .$

b) Tính $A B^{2}, O A^{2}, O B^{2}$ theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\vec{O A} . \vec{O B}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải:

a) Vì $\vec{O A} = \vec{u} = (x; y)$ nên A(x; y).

Tương tự: do $\vec{O B} = \vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ nên B (x’; y’)

b) Ta có: $\vec{O A} = (x; y) \Rightarrow O A^{2} = {| \vec{O A} |}^{2} = x^{2} + y^{2} .$

Và $\vec{O B} = (x^{'}; y^{'}) \Rightarrow O B^{2} = {| \vec{O B} |}^{2} = x^{' 2} + y^{' 2} .$

Lại có: $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (x^{'}; y^{'}) - (x; y) = (x^{'} - x; y^{'} - y)$

$\Rightarrow A B^{2} = {| \vec{A B} |}^{2} = {(x^{'} - x)}^{2} + {(y^{'} - y)}^{2} .$

c) Theo định lí cosin trong tam giác OAB ta có:

$\cos \hat{O} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B}$

Mà $\vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) = O A . O B . \cos \hat{O}$

$\Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = O A . O B . \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = \frac{x^{2} + y^{2} + x^{' 2} + y^{' 2} - {(x^{'} - x)}^{2} - {(y^{'} - y)}^{2}}{2} \\ \Leftrightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = \frac{- (- 2 x^{'} . x) - (- 2 y^{'} . y)}{2} = x^{'} . x + y^{'} . y \end{array}$