Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8)

Phương Thảo Ngày: 15-09-2022 Lớp 10

557

Với giải Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Luyện tập 4 trang 70 Toán 10: Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

a) $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$

b) Lập hệ PT biết $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ .

c) Nếu vectơ $\vec{A B} (x; y)$ thì $| \vec{A B} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Lời giải: Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1 I Kết nối tri thức (ảnh 2)

a) $A H ⊥ B C$ và $B H ⊥ C A$

$\Rightarrow (\vec{A H}, \vec{B C}) = 90^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{A H}, \vec{B C}) = 0$ . Do đó $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$

Tương tự suy ra $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ .

b) Gọi H có tọa độ (x; y)

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{A H} = (x - (- 1); y - 2) = (x + 1; y - 2) \\ \vec{B H} = (x - 8; y - (- 1)) = (x - 8; y + 1) \end{cases}$

Ta có: $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B C} = (8 - 8; 8 - (- 1)) = (0; 9)$

$(x + 1) .0 + (y - 2) .9 = 0 \Leftrightarrow 9. (y - 2) = 0 \Leftrightarrow y = 2.$

Lại có: $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ và $\vec{C A} = (- 1 - 8; 2 - 8) = (- 9; - 6)$

$\begin{array}{l} (x - 8) . (- 9) + (y + 1) . (- 6) = 0 \\ \Leftrightarrow - 9 x + 72 + 3. (- 6) = 0 \\ \Leftrightarrow - 9 x + 54 = 0 \\ \Leftrightarrow x = 6. \end{array}$

Vậy H có tọa độ (6; 2)

c) Ta có: $\vec{A B} = (8 - (- 1); - 1 - 2) = (9; - 3)$ $\Rightarrow A B = | \vec{A B} | = \sqrt{9^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{10}$

Và $\vec{B C} = (0; 9) \Rightarrow B C = | \vec{B C} | = \sqrt{0^{2} + 9^{2}} = 9$ ;

$\vec{C A} = (- 9; - 6)$ $\Rightarrow A C = | \vec{C A} | = \sqrt{{(- 9)}^{2} + {(- 6)}^{2}} = 3 \sqrt{13} .$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{{(3 \sqrt{13})}^{2} + {(3 \sqrt{10})}^{2} - {(9)}^{2}}{2.3 \sqrt{13} .3 \sqrt{10}} \approx 0, 614$ $\Rightarrow \hat{A} \approx 52, 125^{o}$

$\cos \hat{B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{{(9)}^{2} + {(3 \sqrt{10})}^{2} - {(3 \sqrt{13})}^{2}}{2.9.3 \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ $\Rightarrow \hat{B} \approx 71, 565^{o}$

$\Rightarrow \hat{C} \approx 56, 31^{o}$

Vậy tam giác ABC có: $a = 9; b = 3 \sqrt{13}; c = 3 \sqrt{10}$ ; $\hat{A} \approx 52, 125^{o}; \hat{B} \approx 71, 565^{o}; \hat{C} \approx 56, 31^{o} .$