Với giải Bài 4 trang 19 Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 3: Phép đối xứng trục giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25

Bài 4 trang 19 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 3)² + (y – 4)² = 25 và đường thẳng ∆: 2x + 3y + 4 = 0.

a) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục Ox.

b) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục Oy.

c) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục d: x – y – 3 = 0.

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(3; 4), bán kính R = 5.

a)

⦁ Gọi (C₁) là ảnh của (C) qua Đ_Ox, khi đó (C₁) có tâm I₁ là ảnh của I(3; 4) Đ_Ox và bán kính R₁ = R = 5.

Ta có I₁ = Đ_Ox(I).

Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn II₁

Do đó hai điểm I(3; 4) và I₁ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ I₁(3; –4).

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua Đ_Ox là đường tròn (C₁) có phương trình là:

(x – 3)² + (y + 4)² = 25.

⦁ Trục Ox: y = 0.

Với y = 0, ta có 2x + 3.0 + 4 = 0 ⇔ x = –2.

Suy ra giao điểm của ∆ và trục Ox là điểm P(–2; 0).

Khi đó P = Đ_Ox(P).

Chọn M(1; –2) ∈ ∆.

Gọi M₁ và ∆₁ theo thứ tự là ảnh của M và ∆ qua Đ_Ox.

Ta thấy Ox là đường trung trực của đoạn MM₁.

Do đó hai điểm M(1; –2) và M₁ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ M₁(1; 2).

Ta có $\overrightarrow{M_{1}P}=\left(-3;-2\right)$.

Đường thẳng ∆₁ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{M_{1}P}=\left(-3;-2\right)$.

Suy ra ∆₁ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{{\Delta }_1}=\left(2;-3\right)$.

Vậy đường thẳng ∆₁ đi qua P(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{{\Delta }_1}=\left(2;-3\right)$ nên có phương trình là:

2(x + 2) – 3(y – 0) = 0 hay 2x – 3y + 4 = 0.

b)

⦁ Gọi (C₂) là ảnh của (C) qua Đ_Oy, khi đó (C₂) có tâm I₂ là ảnh của I(3; 4) qua Đ_Oy và bán kính R₂ = R = 5.

Ta có I₂ = Đ_Oy(I).

Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn II₂.

Do đó hai điểm I(3; 4) và I₂ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ I₂(–3; 4).

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua Đ_Oy là đường tròn (C₂) có phương trình là:

(x + 3)² + (y – 4)² = 25.

⦁ Trục Oy: x = 0.

Với x = 0, ta có 2.0 + 3y + 4 = 0 ⇔ $y=-\frac{4}{3}$.

Suy ra giao điểm của ∆ và trục Oy là điểm $Q\left(0;-\frac{4}{3}\right)$.

Khi đó Q = Đ_Oy(Q).

Chọn M(1; –2) ∈ ∆.

Gọi M₂ và ∆₂ theo thứ tự là ảnh của M và ∆ qua Đ_Oy.

Ta thấy Oy là đường trung trực của đoạn MM₂.

Do đó hai điểm M(1; –2) và M₂ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ M₂(–1; –2).

Ta có $\overrightarrow{M_{2}Q}=\left(1;\frac{2}{3}\right)$.

Đường thẳng ∆₂ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_2=3\overrightarrow{M_{2}Q}=\left(3;2\right)$.

Suy ra ∆₂ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{{\Delta }_2}=\left(2;-3\right)$.

Vậy đường thẳng ∆₂ đi qua M₂(–1; –2) và có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{{\Delta }_2}=\left(2;-3\right)$ nên có phương trình là:

2(x + 1) – 3(y + 2) = 0 hay 2x – 3y – 4 = 0.

c)

⦁ Gọi (C₃) là ảnh của (C) qua Đ_d, khi đó (C₂) có tâm I₃ là ảnh của I(3; 4) qua Đ_d và bán kính R₃ = R = 5.

Ta có I₃ = Đ_d(I).

Suy ra d là đường trung trực của đoạn II₃ nên II₃ ⊥ d tại trung điểm của II₃.

Mà đường thẳng d: x – y – 3 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_d=\left(1;-1\right)$.

Suy ra đường thẳng II₃ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{n}}_d=\left(1;-1\right)$.

Do đó đường thẳng II₃ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)$.

Vì vậy đường thẳng II₃ đi qua điểm I(3; 4) và nhận $\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

1(x – 3) + 1(y – 4) = 0 ⇔ x + y – 7 = 0.

Gọi H là giao điểm của II₃ và đường thẳng d.

Suy ra tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}-3=0\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}-7=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5\\ \mathrm{y}=2\end{array}\right.$

Do đó tọa độ H(5; 2).

Ta có H là trung điểm II₃.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{{\mathrm{I}}_3}=2{\mathrm{x}}_{\mathrm{H}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{I}}=2.5-3=7\\ {\mathrm{y}}_{{\mathrm{I}}_3}=2{\mathrm{y}}_{\mathrm{H}}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{I}}=2.2-4=0\end{array}\right.$

Do đó tọa độ I₃(7; 0).

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua Đ_d là đường tròn (C₃) có phương trình là:

(x – 7)² + y² = 25.

⦁ Gọi R là giao điểm của ∆ và d.

Suy ra tọa độ R thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+3\mathrm{y}+4=0\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}-3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{y}=-2\end{array}\right.$

Do đó tọa độ R(1; –2).

Khi đó R = Đ_d(R).

Chọn N(–2; 0) ∈ ∆: 2x + 3y + 4 = 0.

Gọi N’ và ∆₃ theo thứ tự là ảnh của N và ∆ qua Đ_d.

Ta thấy d là đường trung trực của đoạn NN’.

Mà đường thẳng d: x – y – 3 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_d=\left(1;-1\right)$.

Suy ra đường thẳng NN’ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{n}}_d=\left(1;-1\right)$.

Do đó đường thẳng NN’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)$.

Vì vậy đường thẳng NN’ đi qua N(–2; 0) và nhận $\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

1(x + 2) + 1(y – 0) = 0 ⇔ x + y + 2 = 0.

Gọi K là giao điểm của NN’ và đường thẳng d.

Suy ra tọa độ K thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}+2=0\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}-3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{1}{2}\\ \mathrm{y}=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$

Do đó tọa độ $K\left(\frac{1}{2};-\frac{5}{2}\right)$.

Ta có K là trung điểm NN’.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{{\mathrm{N}}^{\text{'}}}=2{\mathrm{x}}_{\mathrm{K}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{N}}=2.\frac{1}{2}+2=3\\ {\mathrm{y}}_{{\mathrm{N}}^{\text{'}}}=2{\mathrm{y}}_{\mathrm{K}}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{N}}=2.\left(-\frac{5}{2}\right)-0=-5\end{array}\right.$

Do đó tọa độ N’(3; –5).

Với R(1; –2), ta có $\overrightarrow{N^{\text{'}}R}=\left(-2;3\right)$.

Đường thẳng ∆₃ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{N^{\text{'}}R}=\left(-2;3\right)$.

Suy ra ∆₃ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{{\Delta }_3}=\left(3;2\right)$.

Vậy đường thẳng ∆₃ đi qua N’(3; –5) và nhận ${\overrightarrow{n}}_{{\Delta }_3}=\left(3;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

3(x – 3) + 2(y + 5) = 0 hay 3x + 2y + 1 = 0.