Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp)

Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp) | Giải Toán lớp 9

Mẫn Thị Ngọc Tuyết Ngày: 20-05-2022 Lớp 9

489

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc 2 (tiếp)

chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Căn bậc hai lớp 9.

Giải bài tập Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc 2 (tiếp)

Trả lời câu hỏi giữa bài:

Trả lời câu hỏi 1 trang 28 SGK Toán 9 Tập 1:Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) $\sqrt{\frac{4}{5}}$

\sqrt{\frac{3}{125}}

\sqrt{\frac{3}{2 a^{3}}}

với a > 0

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

Với các biểu thức $A, B$ mà $A . B \geq 0; B \neq 0$ ta có $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A B}}{| B |} = {\begin{cases} \frac{\sqrt{A B}}{B} k h i B > 0 \\ - \frac{\sqrt{A B}}{B} k h i B < 0 \end{cases}$

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{4.5}{5.5}} = \frac{\sqrt{4.5}}{\sqrt{5^{2}}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

\sqrt{\frac{3}{125}} = \sqrt{\frac{3.125}{125.125}} = \frac{\sqrt{3.125}}{\sqrt{125^{2}}}

= \frac{\sqrt{3.5.25}}{\sqrt{125^{2}}} = \frac{5 \sqrt{15}}{125} = \frac{\sqrt{15}}{25}

\sqrt{\frac{3}{2 a^{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2 a^{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^{2} .2 a}} = \frac{\sqrt{3}}{| a | \sqrt{2 a}} = \frac{\sqrt{3}}{a \sqrt{2 a}}

= \frac{\sqrt{3} . \sqrt{2 a}}{a \sqrt{2 a} . \sqrt{2 a}} = \frac{\sqrt{6 a}}{2 a^{2}}

Trả lời câu hỏi 2 trang 29 SGK Toán 9 Tập 1:Trục căn thức ở mẫu:

a) $\frac{5}{3 \sqrt{8}}; \frac{2}{\sqrt{b}}$ với b > 0

\frac{5}{5 - 2 \sqrt{3}}; \frac{2 a}{1 - \sqrt{a}}

với

a \geq 0

và

a \neq 1

\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}; \frac{6 a}{2 \sqrt{a} - \sqrt{b}}

với a > b > 0

Phương pháp giải:

a) Với hai biểu thức A, B mà $B > 0,$ ta có

$\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B} .$

b,c ) Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0$ và $A \neq B^{2}$ , ta có

$\frac{C}{\sqrt{A} \pm B} = \frac{C (\sqrt{A} \mp B)}{A - B^{2}} .$

Lời giải:

+) $\frac{5}{3 \sqrt{8}} = \frac{5 \sqrt{8}}{3 \sqrt{8} . \sqrt{8}} = \frac{5 \sqrt{8}}{3.8} = \frac{5}{24} \sqrt{8}$

+) $\frac{2}{\sqrt{b}} = \frac{2 \sqrt{b}}{\sqrt{b} . \sqrt{b}} = \frac{2}{b} \sqrt{b}$

$\frac{5}{5 - 2 \sqrt{3}} = \frac{5 (5 + 2 \sqrt{3})}{(5 - 2 \sqrt{3}) (5 + 2 \sqrt{3})} = \frac{5 (5 + 2 \sqrt{3})}{25 - 12} = \frac{5 (5 + 2 \sqrt{3})}{13}$

$\frac{2 a}{1 - \sqrt{a}} = \frac{2 a (1 + \sqrt{a})}{(1 - \sqrt{a}) (1 + \sqrt{a})} = \frac{2 a (1 + \sqrt{a})}{1 - a}$

$\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{4 (\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5}) (\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{4 (\sqrt{7} - \sqrt{5})}{7 - 5} = 2 (\sqrt{7} - \sqrt{5})$

$\frac{6 a}{2 \sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{6 a (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})}{(2 \sqrt{a} - \sqrt{b}) (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{6 a (2 \sqrt{a} + \sqrt{b})}{4 a - b}$

Bài tập trang 29-30 SGK Toán 9

Bài 48 trang 29 sgk Toán 9 - tập 1:Khử mẫu của biểu thức lấy căn

$\sqrt{\frac{1}{600}}; \sqrt{\frac{11}{540}}; \sqrt{\frac{3}{50}}; \sqrt{\frac{5}{98}}; \sqrt{\frac{(1 - \sqrt{3})^{2}}{27}} .$

Phương pháp giải:

+ $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $a \geq 0; b > 0$ .

+ $\sqrt{a . b} = \sqrt{a} . \sqrt{b}$ , $(a, b \geq 0)$ .

+ Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu:

$\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B},$ $(B > 0)$ .

Lời giải:

+ $\sqrt{\frac{1}{600}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{600}}$ $= \frac{1}{\sqrt{6.100}}$ $= \frac{1}{\sqrt{{6.10}^{2}}}$

$= \frac{1}{\sqrt{6} . \sqrt{10^{2}}}$ $= \frac{1}{10 \sqrt{6}}$ $= \frac{1. \sqrt{6}}{10.6}$ $= \frac{\sqrt{6}}{60}$

+ $\sqrt{\frac{11}{540}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{540}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{36.15}}$

$= \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{36} . \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6^{2}} . \sqrt{15}}$

$= \frac{\sqrt{11}}{6 \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{11} . \sqrt{15}}{6.15}$

$= \frac{\sqrt{11.15}}{90} = \frac{\sqrt{165}}{90}$ .

+ $\sqrt{\frac{3}{50}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{25.2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{25} . \sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5^{2}} . \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{5 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} . \sqrt{2}}{5.2}$

$= \frac{\sqrt{3.2}}{10} = \frac{\sqrt{6}}{10}$

+ $\sqrt{\frac{5}{98}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{98}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{49.2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{49} \sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7^{2}} . \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{7 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} . \sqrt{2}}{7. 2}$

$= \frac{\sqrt{5. 2}}{14} = \frac{\sqrt{10}}{14}$ .

+ $\sqrt{\frac{(1 - \sqrt{3})^{2}}{27}} = \frac{\sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2}}}{\sqrt{27}} = \frac{\sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2}}}{\sqrt{9.3}}$

$= \frac{\sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2}}}{\sqrt{3^{2} .3}}$ $= \frac{| 1 - \sqrt{3} |}{3 \sqrt{3}}$

Vì $1 < 3 \Leftrightarrow \sqrt{1} < \sqrt{3} \Leftrightarrow 1 < \sqrt{3}$ $\Leftrightarrow 1 - \sqrt{3} < 0$

$\Leftrightarrow | 1 - \sqrt{3} | = - (1 - \sqrt{3}) = - 1 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1.$

Do đó: $\frac{| 1 - \sqrt{3} |}{3 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} - 1)}{9} = \frac{3 - \sqrt{3}}{9} .$

Bài 49 trang 29 sgk Toán 9 - tập 1:Khử mẫu của biểu thức lấy căn

$a b \sqrt{\frac{a}{b}}; \frac{a}{b} \sqrt{\frac{b}{a}}; \sqrt{\frac{1}{b} + \frac{1}{b^{2}}}; \sqrt{\frac{9 a^{3}}{36 b}}; 3 x y \sqrt{\frac{2}{x y}} .$

(Giả thiết các biểu thức có nghĩa).

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức sau:

+ $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ , với $a \geq 0, b > 0$ .

+ $\sqrt{a^{2}} = | a |$

+ Nếu $a \geq 0$ thì $| a | = a$

+ Nếu $a < 0$ thì $| a | = - a$

+ $\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \sqrt{b}}{b}$ , $(b > 0)$ .

Lời giải:

Theo đề bài các biểu thức đều có nghĩa.

+ Ta có

$a b \sqrt{\frac{a}{b}} = a b \sqrt{\frac{a . b}{b . b}} = a b \sqrt{\frac{a b}{b^{2}}} = a b \frac{\sqrt{a b}}{\sqrt{b^{2}}} = a b \frac{\sqrt{a b}}{| b |} .$

*) Nếu $b > 0$ thì $| b | = b \Rightarrow a b \frac{\sqrt{a b}}{| b |} = a b \frac{\sqrt{a b}}{b} = a \sqrt{a b}$ .

*) Nếu $b < 0$ thì $| b | = - b \Rightarrow a b \frac{\sqrt{a b}}{| b |} = - a b \frac{\sqrt{a b}}{b} = - a \sqrt{a b}$ .

+ Ta có:

$\frac{a}{b} \sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{a}{b} \sqrt{\frac{b . a}{a . a}} = \frac{a}{b} \sqrt{\frac{a b}{a^{2}}}$

$= \frac{a}{b} . \frac{\sqrt{a b}}{\sqrt{a^{2}}}$ $= \frac{a}{b} . \frac{\sqrt{a b}}{| a |}$ $= \frac{a \sqrt{a b}}{b | a |}$

*) Nếu $a > 0$ thì $| a | = a \Rightarrow \frac{a \sqrt{a b}}{b | a |} = \frac{a \sqrt{a b}}{a b} = \frac{\sqrt{a b}}{b} .$

*) Nếu $a < 0$ thì $| a | = - a \Rightarrow \frac{a \sqrt{a b}}{b | a |} = - \frac{a \sqrt{a b}}{a b} = - \frac{\sqrt{a b}}{b} .$

+ Ta có:

$\sqrt{\frac{1}{b} + \frac{1}{b^{2}}} = \sqrt{\frac{b}{b^{2}} + \frac{1}{b^{2}}} = \sqrt{\frac{b + 1}{b^{2}}}$

$= \frac{\sqrt{b + 1}}{\sqrt{b^{2}}} = \frac{\sqrt{b + 1}}{| b |}$ .

*) Nếu $b > 0$ thì $| b | = b \Rightarrow \frac{\sqrt{b + 1}}{| b |} = \frac{\sqrt{b + 1}}{b}$ .

*) Nếu $- 1 \leq b < 0$ thì $| b | = - b \Rightarrow \frac{\sqrt{b + 1}}{| b |} = - \frac{\sqrt{b + 1}}{b}$ .

+ Ta có:

$\sqrt{\frac{9 a^{3}}{36 b}} = \sqrt{\frac{9}{36}} . \sqrt{\frac{a^{3}}{b}} = \sqrt{\frac{1}{4}} . \sqrt{\frac{a^{3} . b}{b . b}}$

$= \frac{1}{2} . \sqrt{\frac{a^{2} . a b}{b^{2}}}$ $= \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{a^{2}} . \sqrt{a b}}{\sqrt{b^{2}}}$

$= \frac{1}{2} . \frac{| a | \sqrt{a b}}{| b |} = \frac{| a | \sqrt{a b}}{2 | b |}$ .

*) Nếu $a \geq 0, b > 0$ thì $| a | = a, | b | = b \Rightarrow \frac{| a | \sqrt{a b}}{2 | b |} = \frac{a \sqrt{a b}}{2 b}$ .

*) Nếu $a < 0, b < 0$ thì $| a | = - a, | b | = - b \Rightarrow \frac{| a | \sqrt{a b}}{2 | b |} = \frac{a \sqrt{a b}}{2 b}$ .

(Chú ý: Theo đề bài $\sqrt{\frac{9 a^{3}}{36 b}}$ có nghĩa nên $a, b$ cùng dấu, do đó chỉ cần xét 2 trường hợp $a, b$ cùng âm hoặc cùng dương).

+ Ta có:

$3 x y \sqrt{\frac{2}{x y}} = 3 x y . \sqrt{\frac{2. x y}{x y . x y}} = 3 x y . \frac{\sqrt{2 x y}}{\sqrt{(x y)^{2}}}$

$= 3 x y . \frac{\sqrt{2 x y}}{| x y |}$ $= \frac{3 x y . \sqrt{2 x y}}{x y} = 3 \sqrt{2 x y}$ .

(Vì theo đề bài $\sqrt{\frac{2}{x y}}$ có nghĩa nên $\frac{2}{x y} > 0 \Leftrightarrow x y > 0 \Rightarrow | x y | = x y$ .)

Bài 50 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1:Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

$\frac{5}{\sqrt{10}}; \frac{5}{2 \sqrt{5}}; \frac{1}{3 \sqrt{20}}; \frac{2 \sqrt{2} + 2}{5 \sqrt{2}}; \frac{y + b . \sqrt{y}}{b . \sqrt{y}} .$

Phương pháp giải:

+ $(\sqrt{a})^{2} = a$ , với $a \geq 0$ .

+ $\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \sqrt{b}}{b}$ , $(b > 0)$ .

+ $\sqrt{A^{2} B} = A \sqrt{B}$ , nếu $A, B \geq 0$ .

+ $\sqrt{A^{2} B} = - A \sqrt{B}$ , nếu $A < 0, B \geq 0$ .

Lời giải:

+ Ta có:

$\frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5. \sqrt{10}}{\sqrt{10} . \sqrt{10}} = \frac{5 \sqrt{10}}{(\sqrt{10})^{2}} = \frac{5 \sqrt{10}}{10}$

$= \frac{5. \sqrt{10}}{5.2}$ $= \frac{\sqrt{10}}{2}$ .

+ Ta có:

$\frac{5}{2 \sqrt{5}} = \frac{5. \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} . \sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5}}{2. (\sqrt{5} . \sqrt{5})} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5})^{2}}$

$= \frac{5 \sqrt{5}}{2.5} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

+ Ta có:

$\frac{1}{3 \sqrt{20}} = \frac{1. \sqrt{20}}{3 \sqrt{20} . \sqrt{20}} = \frac{\sqrt{20}}{3. (\sqrt{20} . \sqrt{20})} = \frac{\sqrt{20}}{3. (\sqrt{20})^{2}}$

$= \frac{\sqrt{20}}{3.20} = \frac{\sqrt{2^{2} .5}}{60} = \frac{2 \sqrt{5}}{60} = \frac{2 \sqrt{5}}{2.30} = \frac{\sqrt{5}}{30}$ .

+ Ta có:

$\frac{(2 \sqrt{2} + 2)}{5. \sqrt{2}} = \frac{(2 \sqrt{2} + 2) . \sqrt{2}}{5 \sqrt{2} . \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2} . \sqrt{2} + 2. \sqrt{2}}{5. (\sqrt{2})^{2}}$

$= \frac{2.2 + 2 \sqrt{2}}{5.2} = \frac{2 (2 + \sqrt{2})}{5.2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{5}$ .

+ Ta có:

$\frac{y + b \sqrt{y}}{b \sqrt{y}} = \frac{(y + b \sqrt{y}) . \sqrt{y}}{b \sqrt{y} . \sqrt{y}} = \frac{y \sqrt{y} + b \sqrt{y} . \sqrt{y}}{b . (\sqrt{y})^{2}}$

$= \frac{y \sqrt{y} + b (\sqrt{y})^{2}}{b y} = \frac{y \sqrt{y} + b y}{b y}$

$= \frac{y (\sqrt{y} + b)}{b . y} = \frac{\sqrt{y} + b}{b}$ .

Cách khác:

$\frac{y + b \sqrt{y}}{b \sqrt{y}} = \frac{{(\sqrt{y})}^{2} + b \sqrt{y}}{b \sqrt{y}}$ $= \frac{\sqrt{y} (\sqrt{y} + b)}{b \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y} + b}{b}$

Bài 51 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1:Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

$\frac{3}{\sqrt{3} + 1}; \frac{2}{\sqrt{3} - 1}; \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}; \frac{b}{3 + \sqrt{b}}; \frac{p}{2 \sqrt{p} - 1} .$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu:

+ Với các biểu thức $A, B, C$ mà $A \geq 0$ và $A \neq B^{2}$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} \pm B} = \frac{C (\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A - B^{2}}$

Lời giải:

+ Ta có:

$\frac{3}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 \sqrt{3} - 3.1}{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}}$

$= \frac{3 \sqrt{3} - 3}{3 - 1} = \frac{3 \sqrt{3} - 3}{2}$ .

+ Ta có:

$\frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}}$

$= \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2} = \sqrt{3} + 1$ .

+ Ta có:

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) . (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = \frac{(2 + \sqrt{3})^{2}}{2^{2} - (\sqrt{3})^{2}}$

$= \frac{2^{2} + 2.2. \sqrt{3} + (\sqrt{3})^{2}}{4 - 3}$

$= \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{1} = 7 + 4 \sqrt{3}$ .

+ Ta có:

$\frac{b}{3 + \sqrt{b}} = \frac{b (3 - \sqrt{b})}{(3 + \sqrt{b}) (3 - \sqrt{b})}$

$= \frac{b (3 - \sqrt{b})}{3^{2} - (\sqrt{b})^{2}} = \frac{b (3 - \sqrt{b})}{9 - b}; (b \neq 9)$ .

+ Ta có:

$\frac{p}{2 \sqrt{p} - 1} = \frac{p (2 \sqrt{p} + 1)}{(2 \sqrt{p} - 1) (2 \sqrt{p} + 1)}$

$= \frac{2 p \sqrt{p} + p}{(2 \sqrt{p})^{2} - 1^{2}}$ $= \frac{2 p \sqrt{p} + p}{4 p - 1}$

Bài 52 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1:Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

$\frac{2}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}; \frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}}; \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}; \frac{2 a b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu:

+ Với các biểu thức $A, B, C$ mà $A \geq 0, B \geq 0$ và $A \neq B$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A - B}$

Lời giải:

+ Ta có:

$\frac{2}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = \frac{2 (\sqrt{6} + \sqrt{5})}{(\sqrt{6} - \sqrt{5}) (\sqrt{6} + \sqrt{5})}$

$= \frac{2 (\sqrt{6} + \sqrt{5})}{(\sqrt{6})^{2} - (\sqrt{5})^{2}} = \frac{2 (\sqrt{6} + \sqrt{5})}{6 - 5}$

$= \frac{2 (\sqrt{6} + \sqrt{5})}{1} = 2 (\sqrt{6} + \sqrt{5})$ .

+ Ta có:

$\frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} = \frac{3 (\sqrt{10} - \sqrt{7})}{(\sqrt{10} + \sqrt{7}) (\sqrt{10} - \sqrt{7})}$

$= \frac{3 (\sqrt{10} - \sqrt{7})}{(\sqrt{10})^{2} - (\sqrt{7})^{2}}$ $= \frac{3 (\sqrt{10} - \sqrt{7})}{10 - 7}$

$= \frac{3 (\sqrt{10} - \sqrt{7})}{3} = \sqrt{10} - \sqrt{7}$ .

+ Ta có:

$\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{1. (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) (\sqrt{x} + \sqrt{y})}$

$= \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{(\sqrt{x})^{2} - (\sqrt{y})^{2}} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y}$

+ Ta có:

$\frac{2 a b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{2 a b (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b})}$

$= \frac{2 a b (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a})^{2} - (\sqrt{b})^{2}} = \frac{2 a b (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}$ .

Bài 53 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1:Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

a) $\sqrt{18 (\sqrt{2} - \sqrt{3})^{2}};$

a b \sqrt{1 + \frac{1}{a^{2} b^{2}}}

\sqrt{\frac{a}{b^{3}} + \frac{a}{b^{4}}}

\frac{a + \sqrt{a b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}

Phương pháp giải:

+ $\sqrt{a b} = \sqrt{a} . \sqrt{b}$ , với $a, b \geq 0$ .

+ $| a | = a$ , nếu $a \geq 0$

$| a | = - a$ nếu $a < 0$ .

+ Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số $a, b$ không âm, ta có:

$a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$

Lời giải:

a) Ta có:

$\sqrt{18 (\sqrt{2} - \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{18} . \sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^{2}}$

$= \sqrt{9.2} . | \sqrt{2} - \sqrt{3} | = \sqrt{3^{2} .2} . | \sqrt{2} - \sqrt{3} |$

$= 3 \sqrt{2} . | \sqrt{2} - \sqrt{3} | = 3 \sqrt{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

$= 3 \sqrt{2.3} - 3 (\sqrt{2})^{2}$

$= 3 \sqrt{6} - 3.2 = 3 \sqrt{6} - 6$ .

(Vì $2 < 3 \Leftrightarrow \sqrt{2} < \sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{2} - \sqrt{3} < 0$

Do đó: $| \sqrt{2} - \sqrt{3} | = - (\sqrt{2} - \sqrt{3}) = - \sqrt{2} + \sqrt{3}$ $= \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ).

b) Ta có:

$a b \sqrt{1 + \frac{1}{a^{2} b^{2}}} = a b \sqrt{\frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}} + \frac{1}{a^{2} b^{2}}} = a b \sqrt{\frac{a^{2} b^{2} + 1}{a^{2} b^{2}}}$

$= a b \frac{\sqrt{a^{2} b^{2} + 1}}{\sqrt{a^{2} b^{2}}} = a b \frac{\sqrt{a^{2} b^{2} + 1}}{\sqrt{(a b)^{2}}}$

$= a b \frac{\sqrt{a^{2} b^{2} + 1}}{| a b |}$

Nếu $a b > 0$ thì $| a b | = a b$

$\Rightarrow a b \frac{\sqrt{a^{2} b^{2} + 1}}{| a b |} = a b \frac{\sqrt{a^{2} b^{2} + 1}}{a b} = \sqrt{a^{2} b^{2} + 1}$ .

Nếu $a b < 0$ thì $| a b | = - a b$

$\Rightarrow a b \frac{\sqrt{a^{2} b^{2} + 1}}{| a b |} = a b \frac{\sqrt{a^{2} b^{2} + 1}}{- a b} = - \sqrt{a^{2} b^{2} + 1}$ .

c) Ta có:

$\sqrt{\frac{a}{b^{3}} + \frac{a}{b^{4}}} = \sqrt{\frac{a . b}{b^{3} . b} + \frac{a}{b^{4}}} = \sqrt{\frac{a b}{b^{4}} + \frac{a}{b^{4}}}$

$= \sqrt{\frac{a b + a}{b^{4}}} = \frac{\sqrt{a b + a}}{\sqrt{(b^{2})^{2}}} = \frac{\sqrt{a b + a}}{| b^{2} |} = \frac{\sqrt{a b + a}}{b^{2}}$ .

(Vì

b^{2} > 0

với mọi

b \neq 0

nên

| b^{2} | = b^{2}

d) Ta có:

$\frac{a + \sqrt{a b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a})^{2} + \sqrt{a} . \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

$= \sqrt{a}$ .

Cách khác:

$\begin{array}{l} \frac{a + \sqrt{a b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(a + \sqrt{a b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})} \\ = \frac{a \sqrt{a} - a \sqrt{b} + \sqrt{a b} . \sqrt{a} - \sqrt{a b} . \sqrt{b}}{{(\sqrt{a})}^{2} - {(\sqrt{b})}^{2}} \\ = \frac{a \sqrt{a} - a \sqrt{b} + a \sqrt{b} - b \sqrt{a}}{a - b} \\ = \frac{a \sqrt{a} - b \sqrt{a}}{a - b} \\ = \frac{\sqrt{a} (a - b)}{a - b} = \sqrt{a} \end{array}$

Bài 54 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1:Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):

$\frac{2 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}; \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}}; \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{8} - 2};$

$\frac{a - \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}}; \frac{p - 2 \sqrt{p}}{\sqrt{p} - 2} .$

Phương pháp giải:

+ $(\sqrt{a})^{2} = a$ , với mọi $a \geq 0$ .

+ $\sqrt{a . b} = \sqrt{a} . \sqrt{b}$ , với $a, b \geq 0$ .

Lời giải:

* Ta có:

$\frac{2 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^{2} + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + 1)}{1 + \sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{2} (1 + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ .

Cách khác:

$\begin{array}{l} \frac{2 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{(2 + \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})} \\ = \frac{2.1 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}{1^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} \\ = \frac{2 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} - 2}{1 - 2} \\ = \frac{- \sqrt{2}}{- 1} = \sqrt{2} \end{array}$

Nhận xét: Cách làm thứ nhất phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn với mẫu đơn giản hơn cách thứ hai.

* Ta có:

$\frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3.5} - \sqrt{5.1}}{1 - \sqrt{3}}$ $= \frac{\sqrt{5} . \sqrt{3} - \sqrt{5} .1}{1 - \sqrt{3}}$

$= \frac{\sqrt{5} (\sqrt{3} - 1)}{1 - \sqrt{3}} = \frac{- \sqrt{5} (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3}} = - \sqrt{5}$ .

+ Ta có:

$\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{8} - 2} = \frac{(\sqrt{2})^{2} . \sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{4.2} - 2}$

$= \frac{\sqrt{2} . (\sqrt{2} . \sqrt{3}) - \sqrt{6}}{2 \sqrt{2} - 2}$ $= \frac{\sqrt{2} . \sqrt{6} - \sqrt{6}}{2 (\sqrt{2} - 1)}$

$= \frac{\sqrt{6} (\sqrt{2} - 1)}{2 (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

+ Ta có: Điều kiện xác định: $1 - \sqrt{a} \neq 0$ nên $a \neq 1$

$\frac{a - \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a})^{2} - \sqrt{a} .1}{1 - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)}{1 - \sqrt{a}}$

$= \frac{- \sqrt{a} (1 - \sqrt{a})}{1 - \sqrt{a}} = - \sqrt{a}$ .

+ Ta có: Điều kiện xác định: $\sqrt{p} - 2 \neq 0$ nên $p \neq 4$

\frac{p - 2 \sqrt{p}}{\sqrt{p} - 2} = \frac{(\sqrt{p})^{2} - 2. \sqrt{p}}{\sqrt{p} - 2} = \frac{\sqrt{p} (\sqrt{p} - 2)}{\sqrt{p} - 2} = \sqrt{p}

Bài 55 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1:Phân tích thành nhân tử (với

a, b, x, y

là các số không âm)

a) $a b + b \sqrt{a} + \sqrt{a} + 1$

\sqrt{x^{3}} - \sqrt{y^{3}} + \sqrt{x^{2} y} - \sqrt{x y^{2}}

Phương pháp giải:

+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng:

-Phương pháp đặt nhân tử chung

- Phương pháp nhóm hạng tử.

- Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Sử dụng: $\sqrt{a} . \sqrt{a} = a,$ với $a \geq 0$ .

Lời giải:

Ta có:

$a b + b \sqrt{a} + \sqrt{a} + 1 = (a b + b \sqrt{a}) + (\sqrt{a} + 1)$

$= (b a + b \sqrt{a}) + (\sqrt{a} + 1)$

$= (b . \sqrt{a} . \sqrt{a} + b \sqrt{a}) + (\sqrt{a} + 1)$

$= [(b \sqrt{a}) . \sqrt{a} + b \sqrt{a} .1] + (\sqrt{a} + 1)$

$= b \sqrt{a} (\sqrt{a} + 1) + (\sqrt{a} + 1)$

$= (\sqrt{a} + 1) (b \sqrt{a} + 1)$ .

b) Ta có:

Cách 1: Sử dụng hằng đẳng thức số $7$ :

$\sqrt{x^{3}} - \sqrt{y^{3}} + \sqrt{x^{2} y} - \sqrt{x y^{2}}$

$= [(\sqrt{x})^{3} - (\sqrt{y})^{3}] + (\sqrt{x . x y} - \sqrt{y . x y})$

$= (\sqrt{x} - \sqrt{y}) . [(\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} . \sqrt{y} + (\sqrt{y})^{2}]$

$+ (\sqrt{x} . \sqrt{x y} - \sqrt{y} . \sqrt{x y})$

$= (\sqrt{x} - \sqrt{y}) . [(\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} . \sqrt{y} + (\sqrt{y})^{2}]$

$+ \sqrt{x y} . (\sqrt{x} - \sqrt{y})$

$= (\sqrt{x} - \sqrt{y}) . [(\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} . \sqrt{y} + (\sqrt{y})^{2} + \sqrt{x y}]$

$= (\sqrt{x} - \sqrt{y}) . [(\sqrt{x})^{2} + 2 \sqrt{x} . \sqrt{y} + (\sqrt{y})^{2}]$

$= (\sqrt{x} - \sqrt{y}) . (\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2}$ .

Cách 2: Nhóm các hạng tử:

$\sqrt{x^{3}} - \sqrt{y^{3}} + \sqrt{x^{2} y} - \sqrt{x y^{2}}$

$= x \sqrt{x} - y \sqrt{y} + x \sqrt{y} - y \sqrt{x}$ (vì x, y>0)

$= (x \sqrt{x} + x \sqrt{y}) - (y \sqrt{x} + y \sqrt{y})$

$= x (\sqrt{x} + \sqrt{y}) - y (\sqrt{y} + \sqrt{x})$

$= (\sqrt{x} + \sqrt{y}) (x - y)$

$= (\sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})$

= (\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2} (\sqrt{x} - \sqrt{y})

Bài 56 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1:Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

a) $3 \sqrt{5}; 2 \sqrt{6}; \sqrt{29}; 4 \sqrt{2}$

6 \sqrt{2}; \sqrt{38}; 3 \sqrt{7}; 2 \sqrt{14} .

Phương pháp giải:

+ Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn:

Với $A \geq 0, B \geq 0$ ta có: $A \sqrt{B} = \sqrt{A^{2} B} .$

Với $A < 0, B \geq 0$ ta có: $A \sqrt{B} = - \sqrt{A^{2} B}$ .

+ Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số $a, b$ không âm, ta có:

$a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$ .

Lời giải:

Ta có:

${\begin{matrix} 3 \sqrt{5} = \sqrt{3^{2} .5} = \sqrt{9.5} = \sqrt{45} \\ 2 \sqrt{6} = \sqrt{2^{2} .6} = \sqrt{4.6} = \sqrt{24} \\ 4 \sqrt{2} = \sqrt{4^{2} .2} = \sqrt{16.2} = \sqrt{32} \end{matrix}$

Vì: $24 < 29 < 32 < 45 \Leftrightarrow \sqrt{24} < \sqrt{29} < \sqrt{32} < \sqrt{45}$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{6} < \sqrt{29} < 4 \sqrt{2} < 3 \sqrt{5}$

${\begin{matrix} 6 \sqrt{2} = \sqrt{6^{2} .2} = \sqrt{36.2} = \sqrt{72} \\ 3 \sqrt{7} = \sqrt{3^{2} .7} = \sqrt{9.7} = \sqrt{63} \\ 2 \sqrt{14} = \sqrt{2^{2} .14} = \sqrt{4.14} = \sqrt{56} \end{matrix}$

Vì: $38 < 56 < 63 < 72 \Leftrightarrow \sqrt{38} < \sqrt{56} < \sqrt{63} < \sqrt{72}$

$\Leftrightarrow \sqrt{38} < 2 \sqrt{14} < 3 \sqrt{7} < 6 \sqrt{2}$

Bài 57 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1:Hãy chọn câu trả lời đúng.

$\sqrt{25 x} - \sqrt{16 x} = 9$ khi $x$ bằng

(A) $1$ ;

(B) $3$ ;

(D) $81$ .

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng:

+ $\sqrt{A^{2} B} = A \sqrt{B}$ , nếu $A, B \geq 0$ .

+ $\sqrt{x} = a \Leftrightarrow (\sqrt{x})^{2} = a^{2},$ với $x, a \geq 0$ .

Lời giải:

Ta có:

$\sqrt{25 x} - \sqrt{16 x} = 9$

$\sqrt{5^{2} . x} - \sqrt{4^{2} . x} = 9$

$\Leftrightarrow 5 \sqrt{x} - 4 \sqrt{x} = 9$

$\Leftrightarrow (5 - 4) \sqrt{x} = 9$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} = 9$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x})^{2} = 9^{2}$

$\Leftrightarrow x = 81$

Chọn đáp án D. $81$

Lý thuyết Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp)

1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Với hai biểu thức A, B mà $A B \geq 0$ và $B \neq 0$ , ta có:

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A \cdot B}}{| B |} .$

Ví dụ: Với $x \neq 0$ ta có: $\sqrt{\frac{11}{x}} = \frac{\sqrt{11. x}}{| x |}$

2. Trục căn thức ở mẫu

Với hai biểu thức A, B mà $B > 0,$ ta có

$\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B} .$

Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0$ và $A \neq B^{2}$ , ta có

$\frac{C}{\sqrt{A} \pm B} = \frac{C (\sqrt{A} \mp B)}{A - B^{2}} .$

Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0$ , $B \geq 0$ và $A \neq B$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A - B} .$

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $\frac{3}{\sqrt{x} + 2}$ với $x \geq 0$

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{3}{\sqrt{x} + 2} = \frac{3 (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} \\ = \frac{3 \sqrt{x} - 6}{{(\sqrt{x})}^{2} - 4} \\ = \frac{3 \sqrt{x} - 6}{x - 4} \end{array}$

CÁC DẠNG TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN

Dạng 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phương pháp:

Sử dụng các công thức

* Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Với hai biểu thức $A, B$ mà $B \geq 0$ , ta có $\sqrt{A^{2} B} = | A | \sqrt{B} = {\begin{cases} A \sqrt{B} k h i A \geq 0 \\ - A \sqrt{B} k h i A < 0 \end{cases}$

* Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A \sqrt{B} = \sqrt{A^{2} B}$ với $A \geq 0$ và $B \geq 0$

+) $A \sqrt{B} = - \sqrt{A^{2} B}$ với $A < 0$ và $B \geq 0$

Dạng 2: So sánh hai căn bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai căn bậc hai theo mối liên hệ

$0 \leq A < B \Leftrightarrow \sqrt{A} < \sqrt{B}$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn và hằng đẳng thức $\sqrt{A^{2}} = | A |$ .

Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu

Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu

Phương pháp:

Sử dụng các công thức

+) Với các biểu thức $A, B$ mà $A . B \geq 0; B \neq 0$ , ta có $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A B}}{| B |}$

+) Với các biểu thức $A, B$ mà $B > 0$ , ta có $\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B}$

+) Với các biểu thức $A, B, C$ mà $A \geq 0, A \neq B^{2}$ , ta có $\frac{C}{\sqrt{A} + B} = \frac{C (\sqrt{A} - B)}{A - B^{2}}; \frac{C}{\sqrt{A} - B} = \frac{C (\sqrt{A} + B)}{A - B^{2}}$