VBT Toán lớp 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai(tiếp theo)| Giải VBT Toán lớp 9

Daisy Ngày: 10-05-2022 Lớp 9

394

Toptailieu.vn giới thiệu Giải vở bài tập Toán lớp 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai(tiếp theo) trang 31,32,33,34,35,36 chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong VBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

VBT Toán lớp 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)

Phần câu hỏi bài 7 trang 31 Vở bài tập toán 9 tập 1

Câu 13

Với $x < 0, y < 0,$ biểu thức $\sqrt{\frac{x^{3}}{y}}$ được biến đổi thành

(A) $\frac{x^{2}}{y} \sqrt{x y}$ (B) $- \frac{x^{2}}{y} \sqrt{x y}$

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức: Với các biểu thức $A, B$ mà $A . B \geq 0, B \neq 0$ , ta có:

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A B}}{| B |}$

Trả lời:

$\sqrt{\frac{x^{3}}{y}}$ $= \frac{\sqrt{x^{3} y}}{| y |}$ $= \frac{| x | \sqrt{x y}}{| y |} = \frac{x \sqrt{x y}}{y}$

Đáp án cần chọn là C.

Câu 14

Với $a > 0,$ biểu thức $\frac{2 x}{\sqrt{2 a}}$ được biến đổi thành

(A) $\frac{x \sqrt{a}}{a}$ (B) $\frac{\sqrt{2} . x \sqrt{a}}{a}$

Phương pháp giải:

Trục căn thức ở mẫu: Với các biểu thức $A, B$ mà $B > 0,$ ta có:

$\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B}$

Trả lời:

$\frac{2 x}{\sqrt{2 a}}$ $= \frac{2 x \sqrt{2 a}}{2 | a |}$

Vì $a > 0$ nên $| a | = a$

Vậy $\frac{2 x \sqrt{2 a}}{2 | a |} = \frac{x \sqrt{2 a}}{a} = \frac{\sqrt{2} x \sqrt{a}}{a}$

Đáp án cần chọn là B.

Câu 15

Giá trị của $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ bằng

(A) $2 (\sqrt{3} + 1)$

(B) $2 (\sqrt{3} - 1)$

(D) $\sqrt{3} - 1$

Phương pháp giải:

Áp dụng trục căn thức ở mẫu: Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0$ và $A \neq B^{2}$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} \pm B} = \frac{C (\sqrt{A} \mp B)}{A - B^{2}}$

Trả lời:

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2. (\sqrt{3} - 1)}{3 - 1}$ $= \sqrt{3} - 1$

Đáp án cần chọn là D.

Câu 16

Giá trị của $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ bằng

(A) $- 2 \sqrt{2}$ (B) $- 2 \sqrt{3}$

Phương pháp giải:

Áp dụng trục căn thức ở mẫu: Với các biểu thức $A, B, C$ mà $A \geq 0$ và $A \neq B^{2}$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} \pm B} = \frac{C (\sqrt{A} \mp B)}{A - B^{2}}$

Từ đó biến đổi các căn thức rồi thực hiện phép trừ đa thức.

Trả lời:

$\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ $= \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} - \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2}$ $= 2 \sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là C.

Bài 30 trang 31 Vở bài tập toán 9 tập 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

$a b . \sqrt{\frac{a}{b}}; \frac{a}{b} \sqrt{\frac{b}{a}}; \sqrt{\frac{1}{b} + \frac{1}{b^{2}}};$ $\sqrt{\frac{9 a^{3}}{36 b}}; 3 x y \sqrt{\frac{2}{x y}}$

(giả thiết các biểu thức có nghĩa)

Phương pháp giải:

- Nhân tử và mẫu của biểu thức trong căn với mẫu số rồi rút mẫu ra ngoài căn thức:

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \sqrt{\frac{A B}{B}} = \frac{\sqrt{A B}}{| B |}$ với $A B \geq 0; B \neq 0$

Trả lời:

a) $a b \sqrt{\frac{a}{b}} = a b \sqrt{\frac{a b}{b^{2}}} = a b \frac{\sqrt{a b}}{| b |}$

Nếu $b > 0$ thì $| b | = b$ , ta rút gọn tiếp được :

$a b \frac{\sqrt{a b}}{| b |} = a b \frac{\sqrt{a b}}{b} = a \sqrt{a b}$

Nếu $b < 0$ thì $| b | = - b$ , ta rút gọn tiếp được :

$a b \frac{\sqrt{a b}}{| b |} = a b \frac{\sqrt{a b}}{- b} = - a \sqrt{a b}$

b) $\frac{a}{b} \sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{a}{b} \sqrt{\frac{b a}{a^{2}}} = \frac{a}{b} \frac{\sqrt{b a}}{| a |}$

Nếu $a > 0$ , khi đó $| a | = a$ , ta rút gọn tiếp được :

$\frac{a}{b} \frac{\sqrt{b a}}{| a |} = \frac{a}{b} \frac{\sqrt{b a}}{a} = \frac{\sqrt{a b}}{b}$

Nếu $a < 0$ , khi đó $| a | = - a$ , ta rút gọn tiếp được :

$\frac{a}{b} \frac{\sqrt{b a}}{| a |} = \frac{a}{b} \frac{\sqrt{b a}}{- a} = - \frac{\sqrt{a b}}{b}$

c) $\sqrt{\frac{1}{b} + \frac{1}{b^{2}}}$ $= \sqrt{\frac{b + 1}{b^{2}}} = \frac{\sqrt{b + 1}}{| b |}$ $= {\begin{cases} \frac{\sqrt{b + 1}}{b} (b > 0) \\ - \frac{\sqrt{b + 1}}{b} (b < 0) \end{cases}$

d) $\sqrt{\frac{9 a^{3}}{36 b}} = \frac{\sqrt{a^{3} b}}{2 | b |}$ $= \frac{| a | \sqrt{a b}}{2 | b |} = \frac{a \sqrt{a b}}{2 b} (a b \geq 0; b \neq 0)$

e) $3 x y \sqrt{\frac{2}{x y}} = 3 x y \sqrt{\frac{2 x y}{{(x y)}^{2}}} = 3 x y \frac{\sqrt{2 x y}}{| x y |}$

Vì biểu thức $3 x y \sqrt{\frac{2}{x y}}$ có nghĩa nên $x y > 0$ , rút gọn tiếp ta được :

$3 x y \frac{\sqrt{2 x y}}{| x y |} = 3 x y \frac{\sqrt{2 x y}}{x y} = 3 \sqrt{2 x y}$

Bài 31 trang 33 Vở bài tập toán 9 tập 1: Trục căn thức ở mẫu (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa)

$\frac{3}{\sqrt{3} + 1}; \frac{2}{\sqrt{3} - 1}; \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}};$ $\frac{b}{3 + \sqrt{b}}; \frac{p}{2 \sqrt{p} - 1}$

Phương pháp giải:

Với các biểu thức $A, B, C$ mà $A \geq 0$ và $A \neq B^{2}$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} \pm B} = \frac{C (\sqrt{A} \mp B)}{A - B^{2}}$

Trả lời:

a) $\frac{3}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}$ $= \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{2}$

b) $\frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) ((\sqrt{3} + 1))}$ $= \frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2} = \sqrt{3} + 1$

c) $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}$ $= \frac{2^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}{2^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{1}{1} = 1$

d) $\frac{b}{3 + \sqrt{b}} = \frac{b (3 - \sqrt{b})}{(3 + \sqrt{b}) (3 - \sqrt{b})}$ $= \frac{b (3 - \sqrt{b})}{9 - | b |}$

e) $\frac{p}{2 \sqrt{p} - 1} = \frac{p (2 \sqrt{p} + 1)}{(2 \sqrt{p} - 1) (2 \sqrt{p} + 1)}$ $= \frac{p (2 \sqrt{p} + 1)}{4 | p | - 1}$

Bài 32 trang 33 Vở bài tập toán 9 tập 1: Trục căn thức ở mẫu (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa)

$\frac{2}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}; \frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}};$ $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}; \frac{2 a b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức : Với các biểu thức $A, B, C$ mà $A, B \geq 0$ và $A \neq B$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A - B}$

Trả lời:

a) $\frac{2}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$ $= \frac{2 (\sqrt{6} + \sqrt{5})}{(\sqrt{6} - \sqrt{5}) (\sqrt{6} + \sqrt{5})}$ $= \frac{2 (\sqrt{6} + \sqrt{5})}{6 - 5} = 2 (\sqrt{6} + \sqrt{5})$

b) $\frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}}$ $= \frac{3 (\sqrt{10} - \sqrt{7})}{(\sqrt{10} + \sqrt{7}) (\sqrt{10} - \sqrt{7})}$ $= \frac{3 (\sqrt{10} - \sqrt{7})}{10 - 7} = \sqrt{10} - \sqrt{7}$

c) $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ $= \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) (\sqrt{x} + \sqrt{y})}$ $= \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{{(\sqrt{x})}^{2} - {(\sqrt{y})}^{2}} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y}$

d) $\frac{2 a b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ $= \frac{2 a b (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) ((\sqrt{a} + \sqrt{b}))}$ $= \frac{2 a b (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}$

Bài 33 trang 34 Vở bài tập toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức sau (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa)

a) $\sqrt{18 {(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{2}}$

b) $a b \sqrt{1 + \frac{1}{a^{2} b^{2}}}$

c) $\sqrt{\frac{a}{b^{3}} + \frac{a}{b^{4}}}$

d) $\frac{a + \sqrt{a b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

Phương pháp giải:

- Thực hiện các phép tính trong căn

- Áp dụng các phép biến đổi biểu thức chứa căn đã học để thu gọn biểu thức.

Chú ý: $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Trả lời:

a) $\sqrt{18 {(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{2}}$

$= \sqrt{18} \sqrt{{(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{2}}$

$= \sqrt{3^{2} .2} | \sqrt{2} - \sqrt{3} |$

$= 3 \sqrt{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

b) $a b \sqrt{1 + \frac{1}{a^{2} b^{2}}}$ $= a b \sqrt{\frac{a^{2} b^{2} + 1}{a^{2} b^{2}}}$

$= a b \frac{\sqrt{a^{2} b^{2} + 1}}{| a b |}$

Nếu a và b cùng dấu thì $| a b | = a b$ , rút gọn tiếp được $\sqrt{a^{2} b^{2} + 1}$

Nếu a và b trái dấu thì $| a b | = - a b$ , rút gọn tiếp được $- \sqrt{a^{2} b^{2} + 1}$

c) $\sqrt{\frac{a}{b^{3}} + \frac{a}{b^{4}}}$ $= \sqrt{\frac{a b + a}{b^{4}}} = \frac{\sqrt{a b + a}}{\sqrt{{(b^{2})}^{2}}}$ $= \frac{\sqrt{a b + a}}{b^{2}}$

d) $\frac{a + \sqrt{a b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

$= \frac{(a + \sqrt{a b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

$= \frac{({\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

$= \frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \sqrt{a}$

Lưu ý : Câu d) có thể giải cách khác :

$\frac{a + \sqrt{a b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ $= \frac{{(\sqrt{a})}^{2} + \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ $= \frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a}$

Bài 34 trang 35 Vở bài tập toán 9 tập 1: Phân tích thành nhân tử (với

a, b, x, y

là các số không âm)

a) $a b + b \sqrt{a} + \sqrt{a} + 1$

b) $\sqrt{x^{3}} - \sqrt{y^{3}} + \sqrt{x^{2} y} - \sqrt{x y^{2}}$

Phương pháp giải:

Nhóm các nhân tử chung hoặc sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.

Trả lời:

a) $a b + b \sqrt{a} + \sqrt{a} + 1$ $= {(\sqrt{a})}^{2} b + b \sqrt{a} + \sqrt{a} + 1$ $= b \sqrt{a} (\sqrt{a} + 1) + \sqrt{a} + 1$ $= (\sqrt{a} + 1) (\sqrt{a} b + 1)$

b) $\sqrt{x^{3}} - \sqrt{y^{3}} + \sqrt{x^{2} y} - \sqrt{x y^{2}}$ $= {(\sqrt{x})}^{3} - {(\sqrt{y})}^{3}$ $+ \sqrt{x} \sqrt{x y} - \sqrt{y} \sqrt{x y}$ $= (\sqrt{x} - \sqrt{y}) (x + \sqrt{x y} + y) + \sqrt{x y} (\sqrt{x} - \sqrt{y})$

$= (\sqrt{x} - \sqrt{y}) (x + 2 \sqrt{x y} + y)$

$= (\sqrt{x} - \sqrt{y}) {(\sqrt{x} + \sqrt{y})}^{2}$

Bài 35 trang 35 Vở bài tập toán 9 tập 1: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần

a) $3 \sqrt{5}, 2 \sqrt{6}, \sqrt{29}, 4 \sqrt{2}$

b) $6 \sqrt{2}, \sqrt{38}, 3 \sqrt{7}, 2 \sqrt{14}$

Phương pháp giải:

- Đưa các số vào trong căn.

- Sử dụng định lí so sánh các căn bậc hai rồi sắp xếp dãy số đã cho theo thứ tự tăng dần.

Trả lời:

a) Ta có : $3 \sqrt{5} = \sqrt{9.5} = \sqrt{45}$

$2 \sqrt{6} = \sqrt{4.6} = \sqrt{24}$

$4 \sqrt{2} = \sqrt{16.2} = \sqrt{32}$

Rõ ràng các số $\sqrt{24}, \sqrt{29}, \sqrt{32}, \sqrt{45}$ đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần nên ta có thứ tự tăng dần của bốn số đã cho là $2 \sqrt{6}, \sqrt{29}, 4 \sqrt{2}, 3 \sqrt{5} .$

b) Ta có : $6 \sqrt{2} = \sqrt{36.2} = \sqrt{72}$

$3 \sqrt{7} = \sqrt{9.7} = \sqrt{63}$

$2 \sqrt{14} = \sqrt{4.14} = \sqrt{56}$

Rõ ràng các số $\sqrt{38}, \sqrt{56}, \sqrt{63}, \sqrt{72}$ đã xếp theo thứ tự tăng dần nên ta có thứ tự tăng dần của bốn số đã cho là : $\sqrt{38}, 2 \sqrt{14}, 3 \sqrt{7}, 6 \sqrt{2} .$