Phần câu hỏi bài 8 trang 36 Vở bài tập toán 9 tập 1

Câu 17

Phương trình $\sqrt{75}x-\left(\sqrt{12}+\sqrt{3}\right)x=6$ tương đương với phương trình

(A) $20\sqrt{3}x=6$                         (B) $\sqrt{60}x=6$

(C) $2\sqrt{3}x=6$                           (D) $4\sqrt{3}x=6$

Phương pháp giải:

- Rút gọn biểu thức chứa căn đã cho.

- Lựa chọn đáp án đúng.

Trả lời:

Ta có: $\sqrt{75}x-\left(\sqrt{12}+\sqrt{3}\right)x=6$$\iff \left(\sqrt{75}-\sqrt{12}-\sqrt{3}\right)x=6$ $\iff \left(5\sqrt{3}-2\sqrt{3}-\sqrt{3}\right)x=6$ $\iff 2\sqrt{3}x=6$

Đáp án cần chọn là C.

Câu 18

Giá trị của ${\displaystyle \frac{5\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{\sqrt{10}-2}}$ bằng

(A) $\sqrt{5}$                                     (B) 5

(C) $\sqrt{2}$                          (D) 2

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức chứa căn để tìm giá trị của biểu thức đã cho.

Trả lời:

${\displaystyle \frac{5\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{\sqrt{10}-2}}$$={\displaystyle \frac{\left(5\sqrt{2}-2\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{10}+2\right)}{\left(\sqrt{10}-2\right)\left(\sqrt{10}+2\right)}}$ $={\displaystyle \frac{5\sqrt{20}+10\sqrt{2}-2\sqrt{50}-4\sqrt{5}}{10-4}}$ $={\displaystyle \frac{10\sqrt{5}+10\sqrt{2}-10\sqrt{2}-4\sqrt{5}}{6}}$ $={\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{6}}=\sqrt{5}$

Đáp án cần chọn là A.

Câu 19

Giá trị của ${\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}$

(A) $-\sqrt{15}$                             (B) $-2\sqrt{15}$ 

(C) $\sqrt{15}$                                 (D) $2\sqrt{15}$

Phương pháp giải:

- Quy đồng mẫu số rồi thực hiện phép tính trừ.

Trả lời:

${\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}$$={\displaystyle \frac{{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}^2}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}}$ $={\displaystyle \frac{8-2\sqrt{15}-\left(8+2\sqrt{15}\right)}{5-3}}$$={\displaystyle \frac{-4\sqrt{15}}{2}}=-2\sqrt{15}$ 

Đáp án cần chọn là B.

a) $5\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{5}}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{20}+\sqrt{5}$      

b) $\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}$

c) $\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}$

d) $0,1\sqrt{200}+2\sqrt{0,08}+0,4\sqrt{50}$

Phương pháp giải:

+ Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B\ge 0$, ta có:

             $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B}$,  nếu $A\ge 0$.

           $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}$,  nếu $A<0$.

+  Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B\ge 0$, ta có:

           $\sqrt{A^2.B}=A\sqrt{B}$,  nếu $A\ge 0$.

           $\sqrt{A^2.B}=-A\sqrt{B}$,  nếu $A<0$.

+ ${\displaystyle \frac{A}{\sqrt{B}}}={\displaystyle \frac{A\sqrt{B}}{B}}$,  với $B>0$. 

Trả lời:

a) $5\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{5}}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{20}+\sqrt{5}$      

$=5\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot \sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}$

$=\left(1+1+1\right)\sqrt{5}$

$=3\sqrt{5}$ 

b) $\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}$ $=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{2}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{25}{2}}}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{5}{2}}\sqrt{2}$

$={\displaystyle \frac{9\sqrt{2}}{2}}$

c) $\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72}$$=2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+9\sqrt{2}+6\sqrt{2}$ $=-\sqrt{5}+15\sqrt{2}$

d) $0,1\sqrt{200}+2\sqrt{0,08}+0,4\sqrt{50}$$=0,\mathrm{1.10.}\sqrt{2}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{10}}\sqrt{2}+0,\mathrm{4.5.}\sqrt{2}$

$=\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\sqrt{2}+2\sqrt{2}$ $={\displaystyle \frac{17}{5}}\sqrt{2}$ 

$B=\sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}$$+\sqrt{x+1}$ với $x\ge -1$

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng quy tắc đặt nhân tử chung và quy tắc khai phương một tích để đưa các số hạng về dạng có cùng biểu thức dưới dấu căn.

+ $\sqrt{x}=a\iff (\sqrt{x}{)}^2=a^2\iff x=a^2$,  với $a\ge 0.$ 

+ Thay giá trị của B bằng $16$ rồi tìm giá trị của $x.$ 

Trả lời:

a) $B=\sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}$$+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}$

$=\sqrt{16\left(x+1\right)}-\sqrt{9\left(x+1\right)}$$+\sqrt{4\left(x+1\right)}+\sqrt{x+1}$

$=4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}$$+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}$

$=4\sqrt{x+1}$

b) $B=16$ $\iff 4\sqrt{x+1}=16$ $\iff \sqrt{x+1}=4$

Ta có : $4\ge 0$ nên $x+1=16$ hay $x=15$.

a) ${\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{6}+2\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}-4\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}$

b) $\left(x\sqrt{{\displaystyle \frac{6}{x}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{2x}{3}}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}=2{\displaystyle \frac{1}{3}}$ (với $x>0$)

Phương pháp giải:

+ Biến đổi vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ Sử dụng công thức sau:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$ với $a\ge 0;b>0.$ 

Trả lời:

a) ${\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{6}+2\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}-4\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$$={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{6}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{6}-4\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{6}$ $=\left({\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}-2\right)\sqrt{6}$ $={\displaystyle \frac{1}{6}}\sqrt{6}$

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

b) Biến đổi vế trái, ta có :

$\left(x\sqrt{{\displaystyle \frac{6}{x}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{2x}{3}}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}=$$\left(x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}\sqrt{6x}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{6x}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}$ $={\displaystyle \frac{7}{3}}\sqrt{6x}:\sqrt{6x}$ $={\displaystyle \frac{7}{3}}=2{\displaystyle \frac{1}{3}}$

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

a) $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}+\sqrt{ab}+{\displaystyle \frac{a}{b}}\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{a}}}$ với $a>0$ và $b>0.$

b) $\sqrt{{\displaystyle \frac{m}{1-2x+x^2}}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{4m-8mx+4m{x}^2}{81}}}$ với $m>0$ và $x\ne 1$

Phương pháp giải:

+ $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$,   với $a\ge 0,b>0$.

+ ${\displaystyle \frac{A}{\sqrt{B}}}={\displaystyle \frac{A\sqrt{B}}{B}}$,   với $B>0$.

+ $(\sqrt{b}{)}^2=b$,  với $b\ge 0$.  

Trả lời:

a) $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}+\sqrt{ab}+{\displaystyle \frac{a}{b}}\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{a}}}$ ($a>0$ và $b>0$).

$={\displaystyle \frac{1}{\left|b\right|}}\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+{\displaystyle \frac{a}{\left|a\right|b}}\sqrt{ab}$

$={\displaystyle \frac{1}{b}}\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+{\displaystyle \frac{1}{b}}\sqrt{ab}$

 $={\displaystyle \frac{2\sqrt{ab}}{b}}+\sqrt{ab}$ 

$={\displaystyle \frac{\left(2+b\right)\sqrt{ab}}{b}}$

b) $\sqrt{{\displaystyle \frac{m}{1-2x+x^2}}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{4m-8mx+4m{x}^2}{81}}}$ (với m > 0 và $x\ne 1$) 

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{m}{{\left(1-x\right)}^2}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{4m\left(1-2x+x^2\right)}{81}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{2^2{m}^2{\left(1-x\right)}^2}{{\left(1-x\right)}^2{.9}^2}}}$

$={\displaystyle \frac{\left|2m\right|}{9}}={\displaystyle \frac{2m}{9}}$ 

Bài 41 trang 39 Vở bài tập toán 9 tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\left({\displaystyle \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}\right){\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{a}}{1-a}}\right)}^2=1$ với $a\ge 0$ và $a\ne 1$

b) ${\displaystyle \frac{a+b}{b^2}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2{b}^4}{a^2+2ab+b^2}}}=\left|a\right|$ với $a+b>0$ và $b\ne 0$

Phương pháp giải:

+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ $\sqrt{A^2}=|A|$.  

+ $|A|=A$    nếu    $A\ge 0$,

    $|A|=-A$     nếu    $A<0$.

+ Sử dụng các hằng đẳng thức: $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2;$ $a^2-b^2=(a+b).(a-b);$ $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Trả lời:

a) $\left({\displaystyle \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}\right){\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{a}}{1-a}}\right)}^2$$=\left[{\displaystyle \frac{1-{\left(\sqrt{a}\right)}^3}{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}\right]{\left[{\displaystyle \frac{1-\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}}\right]}^2$ $=\left[{\displaystyle \frac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}{1-\sqrt{a}}}+\sqrt{a}\right]{\left[{\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{a}}}\right]}^2$

$=\left(1+2\sqrt{a}+a\right)\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{a}}}\right)}^2$

$={\displaystyle \frac{{\left(1+\sqrt{a}\right)}^2}{{\left(1+\sqrt{a}\right)}^2}}$

$=1$

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

b) Biến đổi vế trái, ta có :

${\displaystyle \frac{a+b}{b^2}}.\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2{b}^4}{a^2+2ab+b^2}}}=\left|a\right|$ với $a+b>0$ và $b\ne 0$

$={\displaystyle \frac{a+b}{b^2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{{\left(a{b}^2\right)}^2}{{\left(a+b\right)}^2}}}$

$={\displaystyle \frac{a+b}{b^2}}\cdot {\displaystyle \frac{\left|a{b}^2\right|}{a+b}}$

$={\displaystyle \frac{\left|a\right|.b^2}{b^2}}=\left|a\right|$

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

$M=\left({\displaystyle \frac{1}{a-\sqrt{a}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}-1}}\right):{\displaystyle \frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}}$ với $a>0$ và $a\ne 1$

Phương pháp giải:

- Áp dụng các phép tính và các phép biến đổi để thu gọn M.

+ Sử dụng hằng đẳng thức số $2$: $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$. 

+ Sử dụng phép biến đổi đặt nhân tử chung. 

- So sánh giá trị của M với 1.

Trả lời:

Với điều kiện $a>0$ và $a\ne 1$, ta rút gọn M như sau :

$M=\left({\displaystyle \frac{1}{a-\sqrt{a}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}-1}}\right):{\displaystyle \frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}}$

$=\left[{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}}\right]:{\displaystyle \frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}}$

$={\displaystyle \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}}\cdot {\displaystyle \frac{{\left(\sqrt{a}-1\right)}^2}{\sqrt{a}+1}}$

$={\displaystyle \frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}}=1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}$

Vậy $M=1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}$

Ta có : ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}>0$ (vì $a>0$ ) nên $1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}<1$

Vậy $M<1$ .