Toptailieu.vn giới thiệu Giải vở bài tập Toán lớp 9 Ôn tập chương I: Căn bậc hai. Căn bậc ba trang 43,44,45,46,47,48 chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong VBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

VBT Toán lớp 9 Ôn tập chương I: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bài 45 trang 43 Vở bài tập toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức sau

a) $\left(\sqrt{8}-3\sqrt{2}+\sqrt{10}\right)\sqrt{2}-\sqrt{5}$ 

b) $0,2\sqrt{{\left(-10\right)}^2.3}+2\sqrt{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}^2}$

c) $\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{4}{5}}\sqrt{200}\right):{\displaystyle \frac{1}{8}}$

d) $2\sqrt{{\left(\sqrt{2}-3\right)}^2}+\sqrt{2{\left(-3\right)}^2}-5\sqrt{{\left(-1\right)}^4}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\begin{array}{l}\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}\left(A\ge 0,B\ge 0\right)\\ \sqrt{A^2}=\left|A\right|\end{array}$

$\sqrt{{\displaystyle \frac{A}{B}}}={\displaystyle \frac{1}{\left|B\right|}}\sqrt{AB};$${\displaystyle \frac{A}{\sqrt{B}}}={\displaystyle \frac{A\sqrt{B}}{B}}\left(B>0\right)$ 

Trả lời:

a) $\left(\sqrt{8}-3\sqrt{2}+\sqrt{10}\right)\sqrt{2}-\sqrt{5}$$=\sqrt{8.2}-3\sqrt{2.2}+\sqrt{20}-\sqrt{5}$

$=4-3.2+2\sqrt{5}-\sqrt{5}$ $=\sqrt{5}-2$

b) $0,2\sqrt{{\left(-10\right)}^2.3}+2\sqrt{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}^2}$

$=0,2\left|-10\right|\sqrt{3}+2\left|\sqrt{3}-\sqrt{5}\right|$

$=2\sqrt{3}+2\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)$ $=2\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}=2\sqrt{5}$

c) $\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{4}{5}}\sqrt{200}\right):{\displaystyle \frac{1}{8}}$

$=\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot 10\sqrt{2}\right)\cdot 8$

$=2\sqrt{2}-12\sqrt{2}+64\sqrt{2}=54\sqrt{2}$

d) $2\sqrt{{\left(\sqrt{2}-3\right)}^2}+\sqrt{2{\left(-3\right)}^2}-5\sqrt{{\left(-1\right)}^4}$

$=2\left|\sqrt{2}-3\right|+\left|-3\right|\sqrt{2}-5\left|{\left(-1\right)}^2\right|$

$=2\left(3-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}-5$

$=6-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-5$

$=\sqrt{2}+1$

a) $xy-y\sqrt{x}+\sqrt{x}-1$     

b) $\sqrt{ax}-\sqrt{by}+\sqrt{bx}-\sqrt{ay}$ 

c) $\sqrt{a+b}+\sqrt{a^2-b^2}$   

d) $12-\sqrt{x}-x$

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử : Tách, nhóm các hạng tử; đặt nhân tử chung…

Trả lời:

a) $xy-y\sqrt{x}+\sqrt{x}-1$$=y\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+\left(\sqrt{x}-1\right)$

$=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(y\sqrt{x}+1\right)$

b) $\sqrt{ax}-\sqrt{by}+\sqrt{bx}-\sqrt{ay}$$=\sqrt{ax}+\sqrt{bx}-\left(\sqrt{by}+\sqrt{ay}\right)$

$=\sqrt{a}\sqrt{x}+\sqrt{b}\sqrt{x}-\left(\sqrt{by}+\sqrt{ay}\right)$

$=\sqrt{x}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\sqrt{y}\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)$

$=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)$

c) $\sqrt{a+b}+\sqrt{a^2-b^2}$$=\sqrt{a+b}+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}$

$=\sqrt{a+b}+\sqrt{a+b}\sqrt{a-b}$

$=\sqrt{a+b}\left(1+\sqrt{a-b}\right)$

d) $12-\sqrt{x}-x$

$=12-4\sqrt{x}+3\sqrt{x}-{\left(\sqrt{x}\right)}^2$

$=4\left(3-\sqrt{x}\right)+\sqrt{x}\left(3-\sqrt{x}\right)$

$=\left(3-\sqrt{x}\right)\left(4+\sqrt{x}\right)$

a) $\sqrt{{\left(2x-1\right)}^2}=3$

b) ${\displaystyle \frac{5}{3}}\sqrt{15x}-\sqrt{15x}-2={\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{15x}$

Phương pháp giải:

a) Biến đổi biểu thức về dạng $\left|A\right|=B\iff [\begin{array}{l}A=B\\ A=-B\end{array}$

b) Biến đổi và đưa phương trình về dạng $\sqrt{A}=m\left(m\ge 0\right)\iff A=m^2.$

Trả lời:

a) Ta có $\sqrt{{\left(2x-1\right)}^2}=\left|2x-1\right|$

Vậy ta quy về tìm x biết $\left|2x-1\right|=3$

Ta xét 2 trường hợp :

- Khi $2x-1=3$ ta có :

$2x-1=3\iff 2x=4\iff x=2$

- Khi $2x-1=-3$ ta có :

$2x-1=-3\iff 2x=-2\iff x=-1$

Vậy x phải tìm có hai giá trị: $x_1=2$ và $x_2=-1$.

b) Trước hết, x phải tìm thỏa mãn $\sqrt{15x}$ xác định.

Ta thấy $\sqrt{15x}$ xác định khi $15x\ge 0\iff x\ge 0$

Với $x\ge 0$ ,ta quy về tìm x biết:

${\displaystyle \frac{5}{3}}\sqrt{15x}-\sqrt{15x}-2={\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{15x}$

Hay $\left({\displaystyle \frac{5}{3}}-1\right)\sqrt{15x}-2={\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{15x}$

${\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{15x}-2={\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{15x}$

Ta suy ra ${\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{15x}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{15x}=2$

Hay ${\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{15x}=2$

Hay $\sqrt{15x}=6$

Từ kết quả $\sqrt{15x}=6$ , theo định nghĩa căn bậc hai, ta có $6^2=15x$

Giải $36=15x$ có $x=2,4$

Giá trị $x=2,4$ thỏa mãn $x\ge 0$ , đó là giá trị phải tìm.

a) $\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{216}}{\sqrt{6}}}\right).{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}=-1,5$

b) $\left({\displaystyle \frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}}\right):{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}}=-2$

c) ${\displaystyle \frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}}:{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}=a-b$ với a, b dương và $a\ne b$

d) $\left(1+{\displaystyle \frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}}\right)=1-a$ với $a\ge 0$ và $a\ne 1$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\sqrt{AB} = \sqrt{A}.\sqrt{B} (A\ge 0,B\ge 0)$ và các hằng đẳng thức để biến đổi phân tích các tử (mẫu) thành nhân tử ( nếu có thể) để rút gọn.

Trả lời:

a) Biến đổi vế trái ta có :

$\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{216}}{\sqrt{6}}}\right).{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$$=\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{2}-2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2^3{.3}^3}}{3}}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$

$=\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}\left(2-\sqrt{2}\right)}{2\left(\sqrt{2}-1\right)}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{2.3.}\sqrt{2.3}}{3}}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$

$=\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)}{2\left(\sqrt{2}-1\right)}}-{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{1}}\right){\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$

$=\left({\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}-2\sqrt{6}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}-2=-1,5.$

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

b) Biến đổi vế trái, ta có :

$\left({\displaystyle \frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}}\right):{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}}$

$=\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{7}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}}\right).\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)$  

$=\left({\displaystyle \frac{\sqrt{7}\left(\sqrt{2}-1\right)}{1-\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{5}\left(\sqrt{3}-1\right)}{1-\sqrt{3}}}\right)\cdot \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)$

$=\left(-\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)$

$=-\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)$

$=-\left[{\left(\sqrt{7}\right)}^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2\right]=-2$

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

c) Biến đổi vế trái ta có :

${\displaystyle \frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}}:{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}=$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{a}\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}\sqrt{b}\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}}:{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}$

$=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)$

$={\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2=a-b.$

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

d) Biến đổi vế trái, ta có :

$\left(1+{\displaystyle \frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}}\right)$ $=\left(1+{\displaystyle \frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}}\right)$$=\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)=1-a$

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

$Q={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}}-\left(1+{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}}\right):{\displaystyle \frac{b}{a-\sqrt{a^2-b^2}}}$ với $a>b>0$

a) Rút gọn Q

b) Xác định giá trị của Q khi $a=3b$ 

Phương pháp giải:

a) Vận dụng các phép biến đổi biểu thức chứa căn và tính các phép tính để rút gọn biểu thức.

b) Thay $a=3b$ vào biểu thức vừa rút gọn rồi tính giá trị của Q.

Trả lời:

a) Ta biến đổi Q như sau :

$Q={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}}-\left(1+{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}}\right):{\displaystyle \frac{b}{a-\sqrt{a^2-b^2}}}$

$={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}}-\left({\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-b^2}+a}{\sqrt{a^2-b^2}}}\right)\times {\displaystyle \frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{b}}$

$={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}}-{\displaystyle \frac{\left(\sqrt{a^2-b^2}+a\right)\left(a-\sqrt{a^2-b^2}\right)}{b\sqrt{a^2-b^2}}}$

$={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}}-{\displaystyle \frac{a^2-{\left(\sqrt{a^2-b^2}\right)}^2}{b\sqrt{a^2-b^2}}}$

$={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}}-{\displaystyle \frac{a^2-a^2+b^2}{b\sqrt{a^2-b^2}}}$

$={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}}-{\displaystyle \frac{b^2}{b\sqrt{a^2-b^2}}}$

$={\displaystyle \frac{ab-b^2}{b\sqrt{a^2-b^2}}}$

$={\displaystyle \frac{b\left(a-b\right)}{b\sqrt{a^2-b^2}}}$

$={\displaystyle \frac{a-b}{\sqrt{a^2-b^2}}}$

b) Thay $a=3b$ vào biểu thức rút gọn của Q, ta có :

$Q={\displaystyle \frac{a-b}{\sqrt{a^2-b^2}}}$

$={\displaystyle \frac{3b-b}{\sqrt{{\left(3b\right)}^2-b^2}}}$ $={\displaystyle \frac{2b}{\sqrt{8b^2}}}={\displaystyle \frac{2b\sqrt{8b^2}}{\left|8b^2\right|}}$ $={\displaystyle \frac{2b.2\sqrt{2}b}{8b^2}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Vậy giá trị của Q khi $a=3b$ là $Q={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ .

Chú ý khi giải :

Có thể rút gọn Q về dạng

${\displaystyle \frac{a-b}{\sqrt{a^2-b^2}}}$$={\displaystyle \frac{\sqrt{a-b}\sqrt{a-b}}{\sqrt{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}}$$={\displaystyle \frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}}$