Lời giải:

Để $x$ là căn bậc hai số học của số $a$ không âm thì $x\ge 0$ và $x^2=a.$ 

Ví dụ: số 2 là căn bậc hai số học của 4 vì $2>0$ và $2^2=4.$

Trả lời phần câu hỏi 2 trang 39 SGK toán 9 tập 1 :Chứng minh $\sqrt{a^2}=|a|$ với mọi số a.

Phương pháp giải:

Nếu $x\ge 0$ và $x^2=a$ thì $x$ là căn bậc hai số học của số $a$ không âm. 

Lời giải:

Ta xét hai trường hợp:

+) Nếu $a>0\Rightarrow \left|a\right|=a\Rightarrow {\left|a\right|}^2=a$

+) Nếu $a<0\Rightarrow \left|a\right|=-a\Rightarrow {\left|a\right|}^2={\left(-a\right)}^2=a^2$

Hay ta luôn có ${\left(\left|a\right|\right)}^2=a^2\left(1\right)$ mà $\left|a\right|\ge 0$ với mọi $a$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left|a\right|$ là căn bậc hai số học của $a^2$ hay $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$

Trả lời phần câu hỏi 1 trang 39 SGK toán 9 tập 1 :Biểu thức A phải thỏa mãn điều kiện gì để $\sqrt{A}$ xác định? 

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{A}$ xác định khi $A\ge 0$ hay nói cách khác : điều kiện xác định của căn bậc hai là biểu thức lấy căn không âm. Trả lời phần câu hỏi 1 trang 39 SGK toán 9 tập 1 :Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương. Cho ví dụ. 

Phương pháp giải:

Nếu $x\ge 0$ và $x^2=a$ thì $x$ là căn bậc hai số học của số $a$ không âm. 

Lời giải:

Định lí: Nếu $a\ge 0$ và $b\ge 0$ thì $\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$

Chứng minh:  Vì $a\ge 0,b\ge 0\Rightarrow ab\ge 0,$ do đó $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{ab}$ đều xác định

Ta có: ${\left(\sqrt{a}.\sqrt{b}\right)}^2={\left(\sqrt{a}\right)}^2.{\left(\sqrt{b}\right)}^2=a.b$

Do $\sqrt{a}\ge 0,\sqrt{b}\ge 0\Rightarrow \sqrt{a}.\sqrt{b}\ge 0$

Vậy $\sqrt{a}.\sqrt{b}$ là căn bậc hai số học của tích $ab$ 

Hay $\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

Ví dụ: $\sqrt{49.36}=\sqrt{49}.\sqrt{36}$$=7.6=42$

Trả lời phần câu hỏi 1 trang 39 SGK toán 9 tập 1 :Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Cho ví dụ. 

Phương pháp giải:

Nếu $x\ge 0$ và $x^2=a$ thì $x$ là căn bậc hai số học của số $a$ không âm. 

Lời giải:

Định lý: Nếu $a\ge 0,b>0$ thì $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$

Chứng minh:

Do $a\ge 0,b>0$ nên ${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$ xác định

Ta có: ${\left({\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}\right)}^2={\displaystyle \frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^2}{{\left(\sqrt{b}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{a}{b}}\left(1\right)$

Mặt khác $\sqrt{a}\ge 0,\sqrt{b}>0\Rightarrow {\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}\ge 0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$ là căn bậc hai số học của ${\displaystyle \frac{a}{b}}$

Hay $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$ 

Ví dụ: $\sqrt{{\displaystyle \frac{16}{81}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$; 

a)$\left(\sqrt{8}-3.\sqrt{2}+\sqrt{10}\right)\sqrt{2}-\sqrt{5}$ 

b) $0,2\sqrt{{\left(-10\right)}^2.3}+2\sqrt{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}^2}$

c)${\displaystyle \left(\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}.\sqrt{2}+\frac{4}{5}.\sqrt{200}\right):\frac{1}{8}}$

d)$2\sqrt{{\left(\sqrt{2}-3\right)}^2}+\sqrt{2.{\left(-3\right)}^2}-5\sqrt{{\left(-1\right)}^4}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

$\begin{array}{l}\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}\left(A\ge 0,B\ge 0\right)\\ \sqrt{A^2}=\left|A\right|\end{array}$

$\sqrt{{\displaystyle \frac{A}{B}}}={\displaystyle \frac{1}{\left|B\right|}}\sqrt{AB};{\displaystyle \frac{A}{\sqrt{B}}}={\displaystyle \frac{A\sqrt{B}}{B}}\left(B>0\right)$ 

Lời giải:

a) $\begin{array}{rl}& \left(\sqrt{8}-3.\sqrt{2}+\sqrt{10}\right)\sqrt{2}-\sqrt{5}\\ & =\sqrt{8}.\sqrt{2}-3.\sqrt{2}.\sqrt{2}+\sqrt{10}.\sqrt{2}-\sqrt{5}\\ & =\sqrt{16}-3.2+\sqrt{20}-\sqrt{5}\\ & =\sqrt{4^2}-6+\sqrt{2^2.5}-\sqrt{5}\\ & =4-6+2\sqrt{5}-\sqrt{5}=-2+\sqrt{5}\end{array}$

b) $\begin{array}{rl}& 0,2\sqrt{{\left(-10\right)}^2.3}+2\sqrt{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}^2}\\ & =0,2\left|-10\right|\sqrt{3}+2\left|\sqrt{3}-\sqrt{5}\right|\\ & =0,\mathrm{2.10.}\sqrt{3}+2\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\\ & =2\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}=2\sqrt{5}\end{array}$

c) $\begin{array}{rl}& \left(\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}.\sqrt{2}+\frac{4}{5}.\sqrt{200}\right):\frac{1}{8}\\ & =\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{2^2}}-\frac{3}{2}\sqrt{2}+\frac{4}{5}\sqrt{{10}^2.2}\right):\frac{1}{8}\\ & =\left(\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{2}\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{4}{5}}.10\sqrt{2}\right):\frac{1}{8}\\ & =\left(\frac{1}{4}\sqrt{2}-\frac{3}{2}\sqrt{2}+8\sqrt{2}\right):\frac{1}{8}\\ & =\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+8\right).\sqrt{2}:\frac{1}{8}\\ & =\frac{27}{4}\sqrt{2}.8=54\sqrt{2}\end{array}$

d) $\begin{array}{rl}& 2\sqrt{{\left(\sqrt{2}-3\right)}^2}+\sqrt{2.{\left(-3\right)}^2}-5\sqrt{{\left(-1\right)}^4}\\ & =2\left|\sqrt{2}-3\right|+\left|-3\right|\sqrt{2}-5.(-1{)}^2\\ & =2\left(3-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}-5\end{array}$

(vì $\sqrt{2}-3<0)$

a)$xy-y\sqrt{x}+\sqrt{x}-1$

b)$\sqrt{ax}-\sqrt{by}+\sqrt{bx}-\sqrt{ay}$

c)$\sqrt{a+b}+\sqrt{a^2-b^2}$

d)$12-\sqrt{x}-x$

Phương pháp giải:

Phân tích rồi nhóm các hạng tử có phần giống nhau lại với nhau đặt nhân tử chung để đưa về dạng $A(x).B(x).C(x)$

Lời giải:

a) $\begin{array}{rl}& xy-y\sqrt{x}+\sqrt{x}-1\\ & =y.\sqrt{x}.\sqrt{x}-y\sqrt{x}+\sqrt{x}-1\\ & =y\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+\left(\sqrt{x}-1\right)\\ & =\left(\sqrt{x}-1\right)\left(y\sqrt{x}+1\right)\end{array}$ 

b) $A(x).B(x).C(x)$

c)$\begin{array}{rl}& \sqrt{a+b}+\sqrt{a^2-b^2}\\ & =\sqrt{a+b}+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}\\ & =\sqrt{a+b}+\sqrt{a+b}.\sqrt{a-b}\\ & =\sqrt{a+b}\left(1+\sqrt{a-b}\right)\end{array}$ 

d) $\begin{array}{rl}& 12-\sqrt{x}-x\\ & =12-4\sqrt{x}+3\sqrt{x}-x\\ & =4\left(3-\sqrt{x}\right)+\sqrt{x}\left(3-\sqrt{x}\right)\\ & =\left(3-\sqrt{x}\right)\left(4+\sqrt{x}\right)\end{array}$

a)√-9a−√9+12a+4a2 tại a=−9

b) 1+3mm−2√m2−4m+4 tại m=1,5

c) √1−10a+25a2−4a tại a=√2

d) 4x−√9x2+6x+1 tại  x=−√3

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: √A2=|A|

Lời giải:

a) √−9a−√9+12a+4a2

=√−9a−√32+2.3.2a+(2a)2=

√32.(−a)−√(3+2a)2

=3√−a−|3+2a|

Thay a = - 9 ta được:

3√9−|3+2.(−9)|=3.3−|−15|=9−15=−6

b)

Điều kiện m≠2 

1+3mm−2√m2−4m+4

=1+3mm−2√m2−2.2.m+22

=1+3mm−2√(m−2)2

=1+3m|m−2|m−2                                                             

={1+3m(vớim−2>0)1−3m(vớim−2<0)

={1+3m(vớim>2)1−3m(vớim<2)

m=1,5<2.

Vậy giá trị biểu thức tại m=1,5 là 1–3m=1−3.1,5=−3,5

c)

√1−10a+25a2−4a

=√1−2.1.5a+(5a)2−4a

=√(1−5a)2−4a

=|1−5a|−4a

={1−5a−4a(với1−5a≥0)5a−1−4a(với1−5a<0)

={1−9a(vớia≤15)a−1(vớia>15)

Vì a=√2>15 .

Vậy giá trị của biểu thức tại a=√2 là a−1=√2−1

d)

4x−√9x2+6x+14x−√(3x)2+2.3x+1

=4x−√(3x+1)2

=4x−|3x+1|

={4x−(3x+1)(với3x+1≥0)4x+(3x+1)(với3x+1<0)

={4x−3x−1(với3x≥−1)4x+3x+1(với3x<−1)

={x−1(vớix≥−13)7x+1(vớix<−13)

Vì x=−√3<−13 .

Giá trị của biểu thức tại x=−√3 là 7x+1=7.(−√3)+1=−7√3+1

Chú ý: Các em có thể không phá dấu giá trị tuyệt đối mà thay trực tiếp giá trị của biến vào. 

a)$\sqrt{{\left(2\mathrm{x}-1\right)}^2}=3$

b)${\displaystyle \frac{5}{3}\sqrt{15\mathrm{x}}-\sqrt{15\mathrm{x}}-2=\frac{1}{3}\sqrt{15\mathrm{x}}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$ 

Đưa về dạng $\left|A\right|=m\left(m\ge 0\right)\iff [\begin{array}{l}A=m\\ A=-m\end{array}$

Lời giải:

a) $\sqrt{{\left(2\mathrm{x}-1\right)}^2}=3$
$\iff \left|2\mathrm{x}-1\right|=3$

$\begin{array}{l}\iff [\begin{array}{l}2x-1=3\\ 2x-1=-3\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}2x=4\\ 2x=-2\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=2\\ x=-1\end{array}\end{array}$

Vậy $x=-1;x=2.$

b)

Điều kiện: $x\ge 0$

$\begin{array}{rl}& \frac{5}{3}\sqrt{15\mathrm{x}}-\sqrt{15\mathrm{x}}-2=\frac{1}{3}\sqrt{15\mathrm{x}}\\ & \iff \frac{5}{3}\sqrt{15\mathrm{x}}-\sqrt{15\mathrm{x}}-\frac{1}{3}\sqrt{15\mathrm{x}}=2\\ & \iff \left(\frac{5}{3}-1-\frac{1}{3}\right)\sqrt{15}x=2\\ & \iff \frac{1}{3}\sqrt{15\mathrm{x}}=2\\ & \iff \sqrt{15\mathrm{x}}=6\\ & \iff 15\mathrm{x}=36\\ & \iff x=\frac{12}{5}(thỏamãn)\end{array}$

Vậy $x={\displaystyle \frac{12}{5}}.$

a)${\displaystyle \left(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\frac{\sqrt{216}}{3}\right).\frac{1}{\sqrt{6}}=-1,5}$

b) ${\displaystyle \left(\frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=-2}$

c) ${\displaystyle \frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=a-b}$ với a, b dương và a ≠ b

d)${\displaystyle \left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)=1-a}$ với a ≥ 0 và a ≠ 1

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}\left(A\ge 0,B\ge 0\right)$ và các hằng đẳng thức để biến đổi phân tích các tử (mẫu) thành nhân tử ( nếu có thể) để rút gọn. 

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& VT=\left(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\frac{\sqrt{216}}{3}\right).\frac{1}{\sqrt{6}}\\ & =\left(\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{2^2.2}-2}-\frac{\sqrt{6^2.6}}{3}\right).\frac{1}{\sqrt{6}}\\ & =\left(\frac{\sqrt{2}.\sqrt{6}-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}-2}-\frac{6.\sqrt{6}}{3}\right).\frac{1}{\sqrt{6}}\\ & =\left[\frac{\sqrt{6}\left(\sqrt{2}-1\right)}{2\left(\sqrt{2}-1\right)}-\frac{6\sqrt{6}}{3}\right].\frac{1}{\sqrt{6}}\\ & =\left(\frac{\sqrt{6}}{2}-2\sqrt{6}\right).\frac{1}{\sqrt{6}}\\ & =\left(\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{4\sqrt{6}}{2}\right).\frac{1}{\sqrt{6}}\\ & =\left(\frac{-3}{2}\sqrt{6}\right).\frac{1}{\sqrt{6}}\\ & =-\frac{3}{2}=-1,5=VP\end{array}$  

b)

$\begin{array}{rl}& VT=\left(\frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\\ & =\left(\frac{\sqrt{7}.\sqrt{2}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}.\sqrt{3}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\\ & =\left[\frac{\sqrt{7}\left(\sqrt{2}-1\right)}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}\left(\sqrt{3}-1\right)}{1-\sqrt{3}}\right]:\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\\ & =\left(-\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\\ & =-\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\\ & =-\left(7-5\right)=-2=VP\end{array}$

c)

$\begin{array}{rl}& VT=\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\\ & =\frac{\sqrt{a}.\sqrt{a}.\sqrt{b}+\sqrt{b}.\sqrt{b}.\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\\ & =\frac{\sqrt{a}.\sqrt{ab}+\sqrt{b}.\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\\ & =\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\\ & =\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right).\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\\ & =a-b=VP\end{array}$

d)

$\begin{array}{rl}& VT=\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\\ & =\left(1+\frac{\sqrt{a}.\sqrt{a}+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{\sqrt{a}.\sqrt{a}-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\\ & =\left[1+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right]\left[1-\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right]\\ & =\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)\\ & =1-(\sqrt{a}{)}^2=1-a=VP\end{array}$