SBT Toán 8 (Chân trời sáng tạo) Bài 6: Cộng, trừ phân thức

Nguyễn Lê Khánh Vy Ngày: 24-01-2024 Lớp 8

394

Toptailieu biên soạn và giới thiệu giải Sách bài tập Toán 8 Bài 6: Cộng, trừ phân thức sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 8 Bài 6.

SBT Toán 8 (Chân trời sáng tạo) Bài 6: Cộng, trừ phân thức

SBT Toán 8 Chân trờ sáng tạo trang 22

Bài 1 trang 22 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{a - 3 b}{a + b} - \frac{5 a + b}{a + b}$ ;

b) $\frac{7 a - b}{2 a^{3}} + \frac{b - 3 a}{2 a^{3}}$ ;

c) $\frac{a^{2}}{{(a - b)}^{2}} - \frac{b^{2}}{{(b - a)}^{2}}$ ;

d) $\frac{a^{2} + 3}{a - 2} - \frac{3 a}{a - 2} + \frac{a - 1}{2 - a}$ .

Lời giải:

a) $\frac{a - 3 b}{a + b} - \frac{5 a + b}{a + b} = \frac{a - 3 b - (5 a + b)}{a + b}$

$= \frac{a - 3 b - 5 a - b}{a + b} = \frac{- 4 a - 4 b}{a + b}$

$= \frac{- 4 (a + b)}{a + b} = - 4$ .

b) $\frac{7 a - b}{2 a^{3}} + \frac{b - 3 a}{2 a^{3}} = \frac{7 a - b + b - 3 a}{2 a^{3}} = \frac{4 a}{2 a^{3}} = \frac{2 a . 2}{2 a . a^{2}} = \frac{2}{a^{2}}$ .

c) $\frac{a^{2}}{{(a - b)}^{2}} - \frac{b^{2}}{{(b - a)}^{2}} = \frac{a^{2}}{{(a - b)}^{2}} - \frac{b^{2}}{{(a - b)}^{2}}$

$= \frac{a^{2} - b^{2}}{{(a - b)}^{2}} = \frac{(a - b) (a + b)}{{(a - b)}^{2}} = \frac{a + b}{a - b}$ .

d) $\frac{a^{2} + 3}{a - 2} - \frac{3 a}{a - 2} + \frac{a - 1}{2 - a} = \frac{a^{2} + 3}{a - 2} - \frac{3 a}{a - 2} + \frac{1 - a}{a - 2}$

$= \frac{a^{2} + 3 - 3 a + 1 - a}{a - 2} = \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a - 2} = \frac{{(a - 2)}^{2}}{a - 2} = a - 2$ .

Bài 2 trang 22 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:

a) $\frac{3 x}{2 x - 1}$ và $\frac{3}{2 x + 1}$ ;

b) $\frac{1}{x y + x}$ và $\frac{y}{x y - x}$ ;

c) $\frac{x y}{2 x + 2 y}$ và $\frac{x - y}{{(x + y)}^{2}}$ ;

d) $\frac{1}{x - 1}$ ; $\frac{2 x}{x + 1}$ và $\frac{1 - 2 x}{x^{2} - 1}$ .

Lời giải:

a) Mẫu thức chung là (2x + 1)(2x – 1).

$\frac{3 x}{2 x - 1} = \frac{3 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}; \frac{3}{2 x + 1} = \frac{3 (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ .

b) Ta có xy + x = x(y + 1) và xy ‒ x = x(y ‒ 1),nên mẫu thức chung là x(y + 1)(y ‒ 1).

$\frac{1}{x y + x} = \frac{1}{x (y + 1)} = \frac{y - 1}{x (y + 1) (y - 1)}$ ;

$\frac{y}{x y - x} = \frac{y}{x (y - 1)} = \frac{y (y + 1)}{x (y + 1) (y - 1)}$ .

c) Ta có 2x + 2y = 2(x + y) và (x + y)² = (x + y)(x+ y)

Do đó, mẫu thức chung là 2(x + y)².

$\frac{x y}{2 x + 2 y} = \frac{x y}{2 (x + y)} = \frac{x y (x + y)}{2 (x + y) (x + y)} = \frac{x y (x + y)}{2 {(x + y)}^{2}}$ ;

$\frac{x - y}{{(x + y)}^{2}} = \frac{2 (x - y)}{2 {(x + y)}^{2}}$ .

d) Ta có x² ‒ 1 = (x + 1)(x ‒ 1). Do đó, mẫu thức chung là (x + 1)(x ‒ 1).

$\frac{1}{x - 1} = \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$ ;

$\frac{2 x}{x + 1} = \frac{2 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ;

$\frac{1 - 2 x}{x^{2} - 1} = \frac{1 - 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$ .

Bài 3 trang 22 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{x}{x + 2} - \frac{x}{x - 2}$ ;

b) $\frac{3 x}{2 y} + \frac{5 x}{3 y}$ ;

c) $\frac{y - 1}{5 y} - \frac{3 x - 1}{15 x}$ ;

d) $\frac{1 - x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}}$ ;

e) $\frac{x - 2 y}{x y^{2}} - \frac{y - 2 x}{x^{2} y}$ ;

g) $\frac{1 - y^{2}}{3 x y} + \frac{2 y^{3} - 1}{6 x y^{2}}$ .

Lời giải:

a) $\frac{x}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} = \frac{x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

$= \frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - 2 x}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 4 x}{(x + 2) (x - 2)}$ .

b) $\frac{3 x}{2 y} + \frac{5 x}{3 y} = \frac{3 x . 3}{2 y . 3} + \frac{5 x . 2}{3 y . 2} = \frac{9 x + 10 x}{6 y} = \frac{19 x}{6 y}$ .

c) $\frac{y - 1}{5 y} - \frac{3 x - 1}{15 x} = \frac{(y - 1) . 3 x}{5 y . 3 x} - \frac{(3 x - 1) . y}{15 x . y}$

$= \frac{3 x y - 3 x - (3 x y - y)}{15 x y} = \frac{3 x y - 3 x - 3 x y + y}{15 x y} = \frac{y - 3 x}{15 x y}$ .

d) $\frac{1 - x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1 - x}{x^{3}} + \frac{1 . x}{x^{2} . x} = \frac{1 - x + x}{x^{3}} = \frac{1}{x^{3}}$ .

e) $\frac{x - 2 y}{x y^{2}} - \frac{y - 2 x}{x^{2} y} = \frac{(x - 2 y) . x}{x y^{2} . x} - \frac{(y - 2 x) . y}{x^{2} y . y}$

$= \frac{x^{2} - 2 x y - y^{2} + 2 x y}{x^{2} y^{2}} = \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} y^{2}}$ .

g) $\frac{1 - y^{2}}{3 x y} + \frac{2 y^{3} - 1}{6 x y^{2}} = \frac{(1 - y^{2}) . 2 y}{3 x y . 2 y} + \frac{2 y^{3} - 1}{6 x y^{2}}$

$= \frac{2 y - 2 y^{3} + 2 y^{3} - 1}{6 x y^{2}} = \frac{2 y - 1}{6 x y^{2}}$ .

Bài 4 trang 22 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{b}{a - b} + \frac{a^{2} - 3 a b}{a^{2} - b^{2}}$ ;

b) $\frac{a + 3}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a}$ ;

c) $\frac{2 a}{a^{2} - 4 a + 4} + \frac{4}{2 - a}$ ;

d) $\frac{a + 1}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a + 1}$ .

Lời giải:

a) $\frac{b}{a - b} + \frac{a^{2} - 3 a b}{a^{2} - b^{2}}$

$= \frac{b (a + b)}{(a - b) (a + b)} + \frac{a^{2} - 3 a b}{(a - b) (a + b)}$

$= \frac{a b + b^{2} + a^{2} - 3 a b}{(a - b) (a + b)} = \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{(a - b) (a + b)}$

$= \frac{{(a - b)}^{2}}{(a - b) (a + b)} = \frac{a - b}{a + b}$ .

b) $\frac{a + 3}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a}$

$= \frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a (a + 1)}$

$= \frac{a (a + 3)}{a (a + 1) (a - 1)} - \frac{a - 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

$= \frac{a^{2} + 3 a - a + 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

$= \frac{a^{2} + 2 a + 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

$= \frac{{(a + 1)}^{2}}{a (a + 1) (a - 1)} = \frac{a + 1}{a (a - 1)}$ .

c) $\frac{2 a}{a^{2} - 4 a + 4} + \frac{4}{2 - a}$

$= \frac{2 a}{{(a - 2)}^{2}} - \frac{4}{a - 2} = \frac{2 a}{{(a - 2)}^{2}} - \frac{4 (a - 2)}{{(a - 2)}^{2}}$

$= \frac{2 a - 4 a + 8}{{(a - 2)}^{2}} = \frac{8 - 2 a}{{(a - 2)}^{2}}$ .

d) $\frac{a + 1}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a + 1}$

$= \frac{a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a^{2} + a + 1}$

$= \frac{a + 1 - (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} = \frac{a + 1 - a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} = \frac{2}{a^{3} - 1}$ .

Bài 5 trang 22 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Tính:

a) $x - \frac{2 x - y}{4} + \frac{x + 4 y}{12}$ ;

b) $\frac{y}{x} - \frac{x}{y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$ ;

c) $\frac{4}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} + \frac{12}{x^{2} - 4}$ ;

d) $\frac{x + y}{x^{2} - x y} - \frac{4 x}{x^{2} - y^{2}} - \frac{x - y}{x^{2} + x y}$ .

Lời giải:

a) $x - \frac{2 x - y}{4} + \frac{x + 4 y}{12}$

$= \frac{x . 12}{12} - \frac{3 (2 x - y)}{12} + \frac{x + 4 y}{12}$

$= \frac{12 x - 6 x + 3 y + x + 4 y}{12} = \frac{7 x + 7 y}{12}$ .

b) $\frac{y}{x} - \frac{x}{y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$

$= \frac{y . y}{x y} - \frac{x . x}{x y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x y} = \frac{y^{2} - x^{2} - x^{2} - y^{2}}{x y}$

$= \frac{- 2 x^{2}}{x y} = \frac{- 2 x}{y}$ .

c) $\frac{4}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} + \frac{12}{x^{2} - 4} = \frac{4}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} + \frac{12}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{4 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{3 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

$= \frac{4 x - 8 - 3 x - 6 + 12}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{1}{x + 2}$ .

d) $\frac{x + y}{x^{2} - x y} - \frac{4 x}{x^{2} - y^{2}} - \frac{x - y}{x^{2} + x y}$

$= \frac{x + y}{x (x - y)} - \frac{4 x}{(x + y) (x - y)} - \frac{x - y}{x (x + y)}$

$= \frac{(x + y) (x + y)}{x (x - y) (x + y)} - \frac{4 x^{2}}{x (x + y) (x - y)} - \frac{(x - y) (x - y)}{x (x - y) (x + y)}$

$= \frac{{(x + y)}^{2} - 4 x^{2} - {(x - y)}^{2}}{x (x + y) (x - y)}$

$= \frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x^{2} - (x^{2} - 2 x y + y^{2})}{x (x + y) (x - y)}$

$= \frac{- 3 x^{2} + 2 x y + y^{2} - x^{2} + 2 x y - y^{2}}{x (x + y) (x - y)} = \frac{- 4 x^{2} + 4 x y}{x (x + y) (x - y)}$

$= \frac{- 4 x (x - y)}{x (x + y) (x - y)} = \frac{- 4}{x + y}$ .

Bài 6 trang 22 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Tính:

a) $\frac{1}{a b} + \frac{1}{a c} + \frac{1}{b c}$ ;

b) $\frac{b - a}{a b} + \frac{c - b}{b c} - \frac{c - a}{a c}$ .

Lời giải:

a) $\frac{1}{a b} + \frac{1}{a c} + \frac{1}{b c} = \frac{1 . c}{a b c} + \frac{1 . b}{a b c} + \frac{1 . a}{a b c} = \frac{a + b + c}{a b c}$ .

b) $\frac{b - a}{a b} + \frac{c - b}{b c} - \frac{c - a}{a c}$

$= \frac{c (b - a)}{a b c} + \frac{a (c - b)}{a b c} - \frac{b (c - a)}{a b c}$

$= \frac{b c - a c + a c - a b - b c + a b}{a b c}$

$= \frac{(b c - b c) + (- a c + a c) + (- a b + a b)}{a b c}$

$= \frac{0}{a b c} = 0$ .

SBT Toán 8 Chân trờ sáng tạo trang 23

Bài 7 trang 23 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) $P = \frac{5}{a + b} + \frac{6}{a - b} - \frac{12 b}{a^{2} - b^{2}}$ tại a = 0,12 và b = – 0,11;

b) $Q = \frac{a^{2} + 2 a}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a + 1}$ tại a = 1,25.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: a² ‒ b² ≠ 0.

Rút gọn phân thức đã cho:

$P = \frac{5}{a + b} + \frac{6}{a - b} - \frac{12 b}{a^{2} - b^{2}}$

$= \frac{5}{a + b} + \frac{6}{a - b} - \frac{12 b}{(a - b) (a + b)}$

$= \frac{5 (a - b)}{(a - b) (a + b)} + \frac{6 (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{12 b}{(a - b) (a + b)}$

$= \frac{5 a - 5 b + 6 a + 6 b - 12 b}{(a - b) (a + b)} = \frac{11 a - 11 b}{(a - b) (a + b)}$

$= \frac{11 (a - b)}{(a - b) (a + b)} = \frac{11}{a + b}$ .

Với a = 0,12 và b = ‒0,11, ta có a² ‒ b²≠ 0 (điều kiện xác định được thoả mãn).

Khi đó, $P = \frac{11}{0, 12 + (- 0, 11)} = \frac{11}{0, 01} = 1100$ .

b) Điều kiện xác định: a³ ‒ 1 ≠ 0.

Rút gọn phân thức đã cho:

$Q = \frac{a^{2} + 2 a}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a + 1}$

$= \frac{a^{2} + 2 a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a^{2} + a + 1}$

$= \frac{a^{2} + 2 a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

$= \frac{a^{2} + 2 a - a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

$= \frac{a^{2} + a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} = \frac{1}{a - 1}$ .

Với a = 1,25, ta có a³ ‒ 1 ≠ 0 (điều kiện xác định được thoả mãn).

Khi đó, $Q = \frac{1}{1, 25 - 1} = \frac{1}{0, 25} = 4$ .

Bài 8 trang 23 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cô Xuân đi bộ quãng đường dài 3 km với tốc độ trung bình x (km/h). Sau đó, cô đi tiếp quãng đường dài 2 km với tốc độ trung bình x – 1 (km/h). Tính tổng thời gian mà cô Xuân đã đi bộ theo x.

Lời giải:

Thời gian cô Xuân đi bộ quãng đường dài 3 km với tốc độ trung bình x (km/h) là: $\frac{3}{x}$ (giờ).

Thời gian cô đi tiếp quãng đường dài 2 km với tốc độ trung bình x – 1 (km/h) là: $\frac{2}{x - 1}$ (giờ).

Vậy tổng thời gian mà cô Xuân đã đi bộ là:

$\frac{3}{x} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3 (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{2 x}{x (x - 1)} = \frac{3 x - 3 + 2 x}{x (x - 1)} = \frac{5 x - 3}{x (x - 1)}$ (giờ).