Toptailieu.vn xin giới thiệu 50 bài tập trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (có đáp án) chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 12 ôn luyện kiến thức để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán. 

Mời các bạn đón xem:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 1. Cho hàm số  . Khẳng định nào sau đây đúng về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [3; 4]:

A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 3/2.

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 6.

D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 13/2 và giá trị nhỏ nhất bằng 6.

Lời giải:

TXĐ: D = R \ 2.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2. Hàm số y = x² +2x+ 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 1] lần lượt là y₁; y₂. Khi đó tích y₁.y₂ bằng:

A. 5.

B. -1.

C. 4.

D. 1.

Lời giải:

TXĐ: D = R.

y' = 2x + 2; y' = 0 ⇔ 2x + 2 = 0 ⇔ x = -1 ∉ [0; 1]. y(0) = 1; y(1) = 4 suy ra y₁.y₂ = 4

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3. Hàm số  đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [1; 3] tại điểm có hoành độ lần lượt là x₁ ; x₂. Khi đó tổng x₁ + x₂ bằng

A. 2.

B. 5.

C. 4.

D. 3.

Lời giải:

TXĐ: D = R. Ta có: y ' = x² - 5x + 6; y' = 0 ⇔ x² - 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 3

Khi đó:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 4. Hàm số  đạt giá trị nhỏ nhất tại x. Giá trị của x là:

A. x = 3

B. x = 0 hoặc x = 2 .

C. x = 0

D. x = - 2 hoặc x = 2.

Lời giải:

TXĐ: D = [-2; 2].

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ x = ±2

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5. Hàm số y = (x - 1)² + (x + 3)² có giá trị nhỏ nhất bằng:

A. 3.

B. -1.

C. 10.

D. 8.

Lời giải:

TXĐ: D = R. Ta có: y = (x - 1)² + (x + 3)² = 2x² + 4x + 10.

Ta có: y' = 4x + 4; y' = 0 ⇔ x = -1;

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 8 .

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6. Hàm số  đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-3; 0] lần lượt tại x₁; x₂. Khi đó x₁.x₂ bằng:

A. 2.

B. 0.

C. 6.

D. √2.

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7. Hàm số y = cos2x - 3 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0 ; π] bằng:

A. - 4

B. - 3

C.- 2

D. 0

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8. Hàm số y = 3sinx- 4sin³x có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lần lượt là:

A. 3;-4

B. 1; 0

C. 1; -1

D. 0; -1

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9. Hàm số y = sin²x + 2 có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất lần lượt bằng:

A. 0; 2

B. 1; 3

C. 1; 2

D. 2; 3

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10. Hàm số y = - 9sinx – sin3x có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; π] lần lượt là:

A. 8; 0

B. 0; - 8

C. 1; -1

D. 0; -1

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 11. Hàm số y = sin³x+ cos³x có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; π] lần lượt là y₁; y₂. Khi đó hiệu y₁ - y₂ có giá trị bằng:

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12. Gọi M và m là giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (x-1).(x-2).(x- 3). (x- 4). Tìm mệnh đề đúng?

A. M = m + 100

B. M- m = 112

C. M = -120m

D. M + m = 130

Lời giải:

TXĐ: D = R. Ta có:

(khảo sát hàm số y = x² – 5x + 4 ta tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lần lượt là  )

Khi đó hàm số trở thành: y = f(t) = t(t + 2) = t² + 2t

= >f’(t) = 2t + 2 = 0 khi t = - 1

BBT:

Suy ra, hàm số có giá trị lớn nhất bằng M = 120 và giá trị nhỏ nhất bằng m = -1

Do đó, M = - 120m

Đáp án cần chọn là: C

Câu 13. Hàm số  có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 63] là:

A. 2; 8

B. 2; 12

C. 0; 2

D. 0; 12

Lời giải:

Khi đó hàm số trở thành: y = t³ + t²

= > y’ = 3t² + 2t > 0 ∀t ∈ [1;2]

Do đó, hàm số đồng biến trên đoạn [1;2].

Suy ra miny = y(1) = 2; max y = 12

Đáp án cần chọn là: B

Câu 14. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số  .

A. M = 1

B. M = 2

C. M = 2

D. M = 3

Lời giải:

Đặt t = sin x (-1 ≤ t ≤ 1)

Khi đó, bài toán trở thành Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn [-1; 1].

Đáp án cần chọn là: A

Câu 15. Xét hàm số f(t) = x³ + x- cosx – 4 trên nửa khoảng [0; + ∞]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có giá trị lớn nhất là -5 nhưng không có giá trị nhỏ nhất.

B. Hàm số không có giá trị lớn nhất nhưng có giá trị nhỏ nhất là -5.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất là 5 và có giá trị nhỏ nhất là -5.

D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Ta có f’(x) = 3x² + 1 + sinx > 0 với mọi x (vì -1 ≤ sinx ≤ 1)

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên [0; + ∞)

Khi đó hàm số không có giá trị lớn nhất nhưng có giá trị nhỏ nhất là 

Đáp án cần chọn là: B

Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) = |- x² – 4x + 5| trên đoạn [-6; 6].

A. M = 8 

B. M = 9

C. M = 55

D. M = 80

Lời giải:

Xét hàm số g(x) = - x² – 4x + 5 liên tục trên đoạn [-6; 6].

Đạo hàm g’(x) = - 2x- 4.

Xét phương trình g’(x) = 0 ⇔ x = -2

Ta có g(-6) = - 7; g(-2) = 9; g(6) = 55; g(1) = g(-5) = 0

Đáp án cần chọn là: C

Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) = |x² – 3x + 2|- x trên đoạn [-4; 4].

A. M = 2

B. M = 17

C. M = 34

D. M = 68

Lời giải:

Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [-4; 4].

• Nếu x ∈ [1; 2] thì x² – 3x + 2 ≤ 0 nên suy ra f(x) = - x² + 2x - 2.

Đạo hàm f’(x) = -2x + 2 = 0 khi x = 1

Ta có f(1) = - 1 và f(2) = -2

• Nếu x ∈ [-4; 1] ∪ [2; 4] thì x² – 3x + 2 ≥ 0 nên suy ra f(x) = x² – 4x + 2.

Đạo hàm f’(x) = 2x- 4 = 0 khi x = 2

Ta có: f(-4) = 34; f(1) = -1; f(2) = - 2; f(4) = 2.

So sánh hai trường hợp, ta được 

Đáp án cần chọn là: C

Câu 18. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2.

B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1.

D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1 và 1.

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy:

● f(x) ≤ 2, ∀ x ∈ R và f(0) = 2 nên GTLN của hàm số bằng 2

● f(x) ≥ -1, ∀ x ∈ R và vì  nên không tồn tại x₀ ∈ R sao cho f(x₀) = 1, do đó hàm số không có GTNN.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 19. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có đúng một cực trị.

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.

Lời giải:

• A sai vì hàm số có 2 điểm cực trị (khi x = 0; x = 1)

• B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu bằng -1.

• C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R.

• D Đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 20. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -4.

C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng -3.

D. Hàm số có một điểm cực tiểu.

Lời giải:

• A sai vì hàm số có ba điểm cực trị là x = -1; x = 0; x = 1.

• C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất.

• D sai vì hàm số có hai điểm cực tiểu là x = -1 và x = 1.

• B đúng hàm số có giá trị nhỏ nhất là -4 tại x = -1 hoặc x = 1

Đáp án cần chọn là: B

Câu 21. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-2; 4] như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [-2; 4]?

A. M = 2

B. M = |f(0)|

C. M = 3

D. M = 1

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số y = f(x) trên đoạn [-2; 4] ta suy ra đồ thị hàm số |f(x)| trên [-2; 4] như hình vẽ.

Do đó  tại x = -1

Đáp án cần chọn là: C

Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  ?

A. 1.

B. 2.

C. √2

D. Không tồn tại.

Lời giải:

Tập xác định: D = R.

 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số 

Đáp án cần chọn là: C

Câu 23. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = |x| + 3 trên [-1; 1] là :

A. 3

B. 7

C. 0

D. 4 .

Lời giải:

Ta có

Ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 24. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = - x² + 4x – m có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1; 3] bằng 10

A. m = 3

B. m = -6

C. m = -2

D. m = -3

Lời giải:

Đạo hàm f’(x) = - 2x + 4

Xét phương trình f’(x) = 0 ⇔ x = 2

Ta có: f(-1) = -5- m; f(2) = 4- m; f(3) = 3- m

Đáp án cần chọn là: B

Câu 25. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số  trên khoảng (0; + ∞)

A. m = 0

B. m = 2

C. m = 1

D. m = √2

Lời giải:

Từ bảng biến thiên ta tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số là f(1) = √2

Đáp án cần chọn là: D

Câu 26. Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f(x) = - x³ – 3x² + a có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 1] bằng 4?

A. a = 2

B. a = 6 

C. a = 8

D. a = 4

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 27. Cho hàm số  với m là tham số thực. Tìm giá trị lớn nhất của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 3] bằng -2.

A. m = 4

B. m = 5

C. m = - 4

D. m = 3

Lời giải:

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [0; 3] nên 

Theo bài ra:

nên giá trị m lớn nhất thỏa mãn là m = 4.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 28. Cho hàm số  (với m là tham số thực) thỏa mãn  . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. m > 6

B. 1 < m < 4

C. m > 4

D. m < -2

Lời giải:

* TH1. Với m > -1 suy ra  nên hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Khi đó  (chọn).

* TH2. Với m < -1 suy ra  nên hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Khi đó  (loại).

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m > 4.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 29. Cho hàm số  với m là tham số thực. Tìm tổng tất cả các giá trị của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 1] bằng -2

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Lời giải:

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên [0; 1] nên 

Theo bài ra:

Do đó, tổng các giá trị của m thỏa mãn đề bài là: -1 + 2 = 1.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 30. Cho hàm số  với m là tham số thực. Gọi S là tập tất cả các giá trị m nguyên dương để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 4] nhỏ hơn 3. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Lời giải:

Lập bảng biến thiên, ta kết luận được

Do đó, chỉ có 1 giá trị của m thỏa mãn đầu bài.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 31. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x(cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. x = 6

B. x = 3

C.x = 2 

D. x = 4

Lời giải:

Hộp có đáy là hình vuông cạnh bằng 12- 2x (cm) và chiều cao x (cm) với 0 < x < 6.

Do đó thể tích khối hộp V = (12- 2x)².x = 4x³ – 48x² + 144x.

Xét hàm f(x) = 4x³ – 48x² + 144x trên (0; 6) ta được 

Vậy với x = 2 cm thể tích khối hộp lớn nhất.

Cách 2. Ta có

Dấu " = " xảy ra khi 4x = 12 - 2x ⇔ x = 2

Đáp án cần chọn là: C

Câu 32. Tính diện tích lớn nhất S_max của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn có bán kính 10cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của đường tròn.

A. 80cm²

B. 100cm²

C. 160cm²

D. 200cm²

Lời giải:

Đặt BC = x cm là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính của đường tròn (0 < x < 10).

Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là 

Diện tích hình chữ nhật:

Cách 2. Ta có

Đáp án cần chọn là: B

Câu 33. Cho hàm số  với m là tham số thực.Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 1] bằng -2.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải:

Đạo hàm

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên [0;1] 

Theo bài ra:

Vậy có 1 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn là m = 2.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 34. Tìm tổng tất cả giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn [1; 2] bằng 1.

A. 0

B. 2

C. – 1

D. 1

Lời giải:

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn là m = 1.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 35. Tìm các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = |x² – 2x + m| trên đoạn [- 1; 2] bằng 5?

A. m = -4, m = 2

B. m = 1, m = 2

C. m = -2, m = 3

D. m = 0, m = 3

Lời giải:

Xét hàm số f(x) = x² - 2x + m trên đoạn [-1; 2], ta có f’(x) = 2(x- 1) và f’(x) = 0 khi x = 1.

Vậy:

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn là m = - 4 và m = 2.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 36. Tìm các giá trị của m để hàm số  có giá trị lớn nhất trên [1; 2] bằng - 2.

A. m = 1 

B. m = -1

C. m = - 2

D. m = 3

Lời giải:

Tập xác định:

Theo đề bài gía trị lớn nhất của hàm số trên [1; 2] là -2 nên 

⇔ m + 1 = - 2 + 2m ⇔ m = 3.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 37. Cho hàm số  , với tham số m bằng bao nhiêu thì 

A. m = 1

B. m = 3

C. m = 5

D. m = - 1

Lời giải:

* TH1. Với m > - 1 suy ra  nên hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Khi đó  (chọn).

* TH2. Với m < - 1 suy ra  nên hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Khi đó  = f(2) = m + 2 = 3 ⇔ m = 1 (loại).

Vậy giá trị m cần tìm là m = 5.

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Vì hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(-3;7\right)$ và tồn tại $f\left(-3\right),f\left(7\right)$ nên $f\left(-3\right)<f\left(x\right)<f\left(7\right),\mathrm{\forall }x\in \left[-3;7\right]$.

Vậy $f\left(-3\right)$ là GTNN của $f\left(x\right)$ trên $\left[-3;7\right]$.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 39: Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $R$, có $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty };\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$ , khi đó:

Lời giải:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty };\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$ thì không có GTLN, GTNN trên $R$ vì không tồn tại số $M,m$ để $f\left(x\right)⩽M,f\left(x\right)⩾m,\mathrm{\forall }x\in R$.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 40: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

Lời giải:

Ta có:

+) $\underset{\left[-3;0\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(0\right)=-3$ nên A sai.

+) $\underset{\left[1;3\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(2\right)=-7$ nên B đúng.

+) Vì $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }$ nên không tồn tại $\underset{\left(-\mathrm{\infty };2\right]}{min}f\left(x\right)$ nên C sai.

+) $\underset{\left[-1;1\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(0\right)=-3$ nên D sai.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 41: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên sau:

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy:

+) $f\left(x\right)\le 2,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ và $f\left(0\right)=2$ nên GTLN của hàm số bằng $2.$

+) $f\left(x\right)\ge -1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ và vì $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=-1$ nên không tồn tại $x_0\in \mathbb{R}$ sao cho $f\left(x_0\right)=1$, do đó hàm số không có GTNN.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 42: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

A sai vì $y=3$ là giá trị cực đại của hàm số, không phải giá trị lớn nhất.

B sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right),\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

C sai vì $x=2$ là điểm cực tiểu của hàm số không phải giá trị cực tiểu.

D đúng vì trên đoạn $\left[0;4\right]$ thì hàm số đạt GTNN (cũng là giá trị cực tiểu) bằng $-1$ đạt được tại $x=2$.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 43: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau:

Lời giải:

Đáp án A: Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và $y=3$ là giá trị cực đại của hàm số nên A sai.

Đáp án B: GTNN và giá trị cực tiểu của hàm số là $y=0$ nên B đúng và C sai.

Đáp án D: Hàm số không có GTLN vì $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 44: Ông A dự định sử dụng hết 5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

Gọi chiều rộng của bể cá là x (m) $\left(x>0\right)\Rightarrow$ Chiều dài của bể cá là $2x\left(m\right)$

Gọi h là chiều cao của bể cá ta có $2x^2+2xh+4xh=5\iff 2x^2+6xh=5\iff h={\displaystyle \frac{5-2x^2}{6x}}$

Khi đó thể tích của bể cá là $2x^2.{\displaystyle \frac{5-2x^2}{6x}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(5x-2x^3\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}f\left(x\right)$

Xét hàm số $f\left(x\right)=5x-2x^3\left(x>0\right)$ có $f^{\prime }\left(x\right)=5-6x^2=0\iff x=\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{6}}}$

Lập BBT :

$\Rightarrow \underset{\left(0;+\mathrm{\infty }\right)}{max}f\left(x\right)=f\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{6}}}\right)$

$\Rightarrow V_{max}={\displaystyle \frac{1}{3}}f\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{6}}}\right)={\displaystyle \frac{5\sqrt{30}}{27}}\approx 1,01m^3$ 

Đáp án cần chọn là: A

Câu 45: Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?

Lời giải:

Các hàm số đã cho đều có TXĐ:$D=\mathbb{R}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^3-3x+2\right)=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-2x^3+3x^2-1\right)=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left(x^4-2x^2-1\right)=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left(-x^4+4x^2\right)=-\mathrm{\infty }\end{array}$

Do đó, hàm số có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định là $y=x^4-2x^2-1$.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 46: Trên đoạn $\left[0;3\right]$, hàm số $y=-x^3+3x$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm

Lời giải:

Khảo sát hàm số $y=-x^3+3x$ trên $\left[0;3\right]$.

+ $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$.

+ BBT:

$\Rightarrow$ Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 47: Trên đoạn $\left[-1;2\right],$ hàm số $y=x^3+3x^2+1$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

Lời giải:

Ta có: $y^{\prime }=3x^2+6x=0\Rightarrow [\begin{array}{l}x=0\in \left[-1;2\right]\\ x=-2\notin \left[-1;2\right]\end{array}$

$y\left(-1\right)=3;y\left(0\right)=1;y\left(2\right)=21$

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x=0$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 48: Cho hàm số $f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Lời giải:

Đặt $g\left(x\right)=f\left(x\right)+x^2$ ta có $m<g\left(x\right)\mathrm{\forall }x\in \left(1;2\right)\iff m\le \underset{\left[1;2\right]}{min}g\left(x\right)$.

Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)+2x$, với $x\in \left(1;2\right)$

Ta có $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x\right)>0\\ 2x>0\end{array}\Rightarrow g^{\prime }\left(x\right)>0\mathrm{\forall }x\in \left(1;2\right)$.

$\Rightarrow$ hàm số $g\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(1;2\right)$.

$\Rightarrow \underset{\left[1;2\right]}{min}g\left(x\right)=g\left(1\right)=f\left(1\right)+1$.

Vậy $m\le f\left(1\right)+1$.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 49: Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=2x+\cos {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}$ trên đoạn $\left[-2;2\right].$ Giá trị của $m+M$ bằng:

Lời giải:

Ta có: $f\left(x\right)=2x+\cos {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=2-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}.$

Vì $-1\le \sin {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}\le 1\Rightarrow -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\le {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}\le {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow 0<2-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\le 2-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}\le 2+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)>0\mathrm{\forall }x\in \left[-2;2\right]\Rightarrow$ hàm số $f\left(x\right)=2x+\cos {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}$ là hàm đồng biến trên $\left[-2;2\right].$

$\begin{array}{l}\Rightarrow f\left(-2\right)\le f\left(x\right)\le f\left(2\right)\mathrm{\forall }x\in \left[-2;2\right].\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}M=\underset{\left[-2;2\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(2\right)=3\\ m=\underset{\left[-2;2\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(-2\right)=-5\end{array}\\ \Rightarrow M+m=3+\left(-5\right)=-2.\end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 50: Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x-1+{\displaystyle \frac{4}{x-1}}$ trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$. Tìm $m?$

A. m = 2

B. m = 5

C. m = 3

D. m = 4

Lời giải:

$x>1\iff x-1>0$

$\Rightarrow y=x-1+{\displaystyle \frac{4}{x-1}}\ge 2\sqrt{\left(x-1\right).{\displaystyle \frac{4}{x-1}}}=2.2=4$

Dấu bằng xảy ra $\iff x-1={\displaystyle \frac{4}{x-1}}\iff {\left(x-1\right)}^2=4\iff x=3$.

Vậy GTNN của hàm số là $m=4$ khi $x=3$.

Đáp án cần chọn là: D