Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ sách Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

1. Phương trình đường tròn

HĐ1 trang 43 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a;b),  bán kính R (H.7.13). Khi đó, một điểm M(x;y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại số nào?

Lời giải:

Điểm $M\left(x;y\right)$ thuộc đường tròn $\left(C\right)$ tâm $I\left(a;b\right)$, bán kính $R$ khi và chỉ khi $MI=R\iff \sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}=R$ hay ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$

Câu hỏi trang 44 Toán 10

Luyện tập 1 trang 44 SGK Toán 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn $\left(C\right):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=7$.

Phương pháp giải:

Đường tròn tâm I(a;b) bán kính R có phương trình là:

${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$.

Lời giải:

Phương trình của $\left(C\right)$ là ${\left(x-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2={\left(\sqrt{7}\right)}^2$.

Vậy $\left(C\right)$ có tâm $I\left(-2;4\right)$ và bán kính $R=\sqrt{7}$.

Luyện tập 2 trang 44 SGK Toán 10 Tập 2: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) $x^2-y^2-2x+4y-1=0$

b) $x^2+y^2-2x+4y+6=0$

c) $x^2+y^2+6x-4y+2=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $x^2+y^2–2ax-2by+c=0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^2+b^2-c>0$.

Lời giải:

a) Đây không phải là dạng của phương trình đường tròn (hệ số $y^2$ bằng -1).

b) Vì $a^2+b^2-c=1^2+{\left(-2\right)}^2-6<0$ nên phương trình đã cho không là phương trình tròn.

c) Vì $a^2+b^2-c={\left(-3\right)}^2+2^2-1=11>0$ nên phương trình đã cho là phương trình tròn có tâm $I\left(-3;2\right)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{11}$.

Câu hỏi trang 45 Toán 10

Luyện tập 3 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2: Viết phương trình đường tròn $\left(C\right)$ đi qua ba điểm $M\left(4;-5\right),N\left(2;-1\right),P\left(3;-8\right)$.

Phương pháp giải:

Tâm $J$ là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác MNP và bán kính $R=JM$.

Lời giải:

Gọi $d,\mathrm{\Delta }$ lần lượt là đường trung trực của hai đoạn thẳng MN, NP. Đường thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn MN và vuông góc với MN.

Ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_M+x_N}{2}=\frac{4+2}{2}=3\\ y_I=\frac{y_M+y_N}{2}=\frac{-5-1}{2}=-3\end{array}\Rightarrow I\left(3;3\right);\overrightarrow{MN}=\left(-2;4\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_d}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{MN}=\left(1;-2\right)$

Phương trình tổng quát của $d$ là: $1\left(x-3\right)-2\left(y+3\right)=0\iff x-2y-9=0$.

Tương tự, ta có phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là: $x-7y-34=0$.

Gọi $J$ là tâm đường tròn đi qua ba điểm M, N, P. Khi đó $J=d\cap \mathrm{\Delta }$, do đó tọa điểm $J$ thỏa mãn hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x-7y-34=0\\ x-2y-9=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-5\end{array}\Rightarrow J\left(-1;-5\right)$

Từ đó ta tìm được $R=JM=5$

Vậy phương trình đường tròn $\left(C\right)$ là: ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=25$.

Cách 2:

Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C):$x^2+y^2+2ax+2by+c=0$ $\left(a^2+b^2-c>0\right)$

$M\left(4;-5\right),N\left(2;-1\right),P\left(3;-8\right)$ thuộc (C) nên ta có:

$\{\begin{array}{l}16+25+8a-10b+c=0\\ 4+1+4a-2b+c=0\\ 9+64+6a-16b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}8a-10b+c=-41\\ 4a-2b+c=-5\\ 6a-16b+c=-73\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=5(\mathrm{t}\mathrm{h}ỏ\mathrm{a}\mathrm{m}ã\mathrm{n})\\ c=1\end{array}$

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P là: $x^2+y^2+2x+10y+1=0$ hay ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=25$.

Vận dụng trang 45 SGK Toán 10 Tập 2: Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H7.14) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bề sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục đề tồng chu Vị của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy 13, 14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.

Lời giải:

Gọi bán kính bể hình tròn và bể nủa hình tròn tương ứng là x, y (m). Khi đó, tổng chu vi ba bể là 32 m khi và chỉ khi 1,57x + 2,57y-8=0.

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S ($m^2$). Khi đó $x^2+y^2=\frac{S}{3,14}$.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét đường tròn (C): $x^2+y^2=\frac{S}{3,14}$ có tâm O(0, 0), bán kính $R=\sqrt{\frac{S}{3,14}}$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:1,57x+2,57y-8=0$.

Ta có S nhỏ nhất khi R nhỏ nhất; $M\left(x;y\right)$ thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$, đồng thời M thuộc đường tròn $\left(C\right)$. Bài toán chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để $\left(C\right)$ và $\mathrm{\Delta }$ có ít nhất một điểm chung. Điều đó tương đương với $\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc với $\left(C\right)$, đồng thời M trùng với H là hình chiếu vuông góc của O trên $\mathrm{\Delta }$

Ta có: $\overrightarrow{u_{OH}}=\left(1,57;2,57\right)$ suy ra $\overrightarrow{n_{OH}}=\left(2,57;-1,57\right)$.

Phương trình OH là $2,57x-1,57y=0$

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}1,57x+2,57y-8=0\\ 2,57x-1,57y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\approx 1,38\\ y\approx 2,27\end{array}$

Vậy bán kính của bể tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là 1,38m và 2,27m.

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Câu hỏi trang 46 Toán 10

HĐ2 trang 46 SGK Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=25$ và điểm $M\left(4;-2\right)$.

a) Chứng minh điểm $M\left(4;-2\right)$ thuộc đường tròn $\left(C\right)$.

b) Xác định tâm và bán kính đường tròn $\left(C\right)$.

c) Gọi $\mathrm{\Delta }$ là tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại M. Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$. Từ đó, viết phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$.

Lời giải:

a) Thay tọa độ điểm $M\left(4;-2\right)$ vào phương trình đường tròn ta được: ${\left(4-1\right)}^2+{\left(-2-2\right)}^2=3^2+4^2=25$. Vậy điểm M thỏa mãn phương trình đường tròn $\left(C\right)$.

b) Đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I\left(1;2\right)$ và $R=5$.

c) Ta có: $\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}=\overrightarrow{IM}=\left(3;-4\right)$. Vậy phương trình tiếp tuyến $\mathrm{\Delta }$ của đường tròn $\left(C\right)$ là:

$3\left(x-4\right)-4\left(y+2\right)=0\iff 3x-4y-20=0$

Luyện tập 4 trang 46 SGK Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-2x+4y+1=0$. Viết phương trình tiếp tuyến $\mathrm{\Delta }$ của $\left(C\right)$ tại điểm $N\left(1;0\right)$.

Phương pháp giải:

Đường thẳng đi $\mathrm{\Delta }$ qua N và có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{IN}$.

Lời giải:

Đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I\left(1;-2\right)$. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $N\left(1;0\right)$ nhận $\overrightarrow{IN}=\left(0;2\right)$ làm vecto pháp tuyến là $y=0$.

Bài tập

Bài 7.13 trang 46 SGK Toán 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=36$

Phương pháp giải:

Phương trình (C): (x - a)² + (y - b)² = R² có tâm I(a; b) và bán kính R.

Lời giải:

Phương trình của $\left(C\right)$ là: ${\left(x-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=6^2$. Vậy $\left(C\right)$ có tâm $I\left(-3;3\right)$ và $R=6$.

Câu hỏi trang 47 Toán 10

Bài 7.14 trang 47 SGK Toán 10 Tập 2: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng. 

a) x2 + y2 + xy + 4x – 2 = 0; 

b) x2 + y2 – 2x – 4y + 5 = 0; 

c) x2 + y2 + 6x – 8y + 1 = 0. 

Lời giải:

a) Phương trình x2 + y2 + xy + 4x – 2 = 0 không có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 với a, b, c là các số thực nên đây không phải phương trình đường tròn. 

b) x2 + y2 – 2x – 4y + 5 = 0 ⇔ x2 + y2 – 2 . 1 . x – 2 . 2 . y + 5 = 0.

Các hệ số: a = 1, b = 2, c = 5. 

Ta có: a2 + b2 – c = 12 + 22 – 5 = 0 nên đây cũng không phải phương trình đường tròn. 

c) x2 + y2 + 6x – 8y + 1 = 0 ⇔ x2 + y2 – 2 . (– 3) . x – 2 . 4 . y + 1 = 0.

Các hệ số: a = – 3, b = 4, c = 1. 

Ta có: a2 + b2 – c = (– 3)2 + 42 – 1 = 24 > 0 nên đây là phương trình đường tròn. 

Đường tròn này có tâm I(– 3; 4) và bán kính R =$\sqrt{24}$ = $2\sqrt{6}$

Bài 7.15 trang 47 SGK Toán 10 Tập 2: Viết phương trình của đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm I(-2; 5) và bán kính R= 7;

b) Có tâm I(1;-2) và đi qua điểm A(-2, 2);

c) Có đường kính AB, với A(-1; -3), B(-3; 5);

d) Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x+2y +3 = 0.

Phương pháp giải:

a) Đường tròn có tâm $I\left(a;b\right)$ và bán kính R có phương trình là: ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$

b) $\left(C\right)$ có tâm I và bán kính $R=IA$.

c) $\left(C\right)$ có tâm I là trung điểm AB và bán kính $R=\frac{AB}{2}$.

d) $\left(C\right)$ có tâm $I\left(1;3\right)$ và bán kính $R=d\left(I,\mathrm{\Delta }\right)$.

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn $\left(C\right)$ là: ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=49$.

b) Bán kính đường tròn là: $R=IA=\sqrt{{\left(-2-1\right)}^2+{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2}=5$

Phương trình đường tròn là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=25$

c) Gọi $I\left(a;b\right)$ là trung điểm AB. Vậy tọa độ điểm I là: $I\left(-2;1\right)$

Bán kính đường tròn là:$$R=IA=\sqrt{{\left(-1+2\right)}^2+{\left(-3-1\right)}^2}=\sqrt{17}$$

Phương trình đường tròn là: ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=17$

d) Bán kính đường tròn là: $R=\frac{\left|1+2.3+3\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=2\sqrt{5}$

Phương trình đường tròn là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=20$

Bài 7.16 trang 47 SGK Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC, với A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Lời giải:

Giả sử  tâm đường tròn là điểm $I\left(a;b\right)$. Ta có: $IA=IB=IC\iff I{A}^2=I{B}^2=I{C}^2$

Vì $I{A}^2=I{B}^2,I{B}^2=I{C}^2$ nên: $\{\begin{array}{l}{\left(6-a\right)}^2+{\left(-2-b\right)}^2={\left(4-a\right)}^2+{\left(2-b\right)}^2\\ {\left(4-a\right)}^2+{\left(2-b\right)}^2={\left(5-a\right)}^2+{\left(-5-b\right)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}$

Vậy $I\left(1;-2\right)$ và $R=IA=\sqrt{{\left(1-6\right)}^2+{\left(-2+2\right)}^2}=5$

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=25$

Cách 2:

Gọi phương trình đường tròn cần tìm là (C):$x^2+y^2+2ax+2by+c=0$ $\left(a^2+b^2-c>0\right)$

$A(6;-2),B(4;2),C(5;-5)$ thuộc (C) nên ta có:

$\{\begin{array}{l}36+4+12a-4b+c=0\\ 16+4+8a+4b+c=0\\ 25+25+10a-10b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}12a-4b+c=-40\\ 8a+4b+c=-20\\ 10a-10b+c=-50\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2(\mathrm{t}\mathrm{h}ỏ\mathrm{a}\mathrm{m}ã\mathrm{n})\\ c=-20\end{array}$

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là: $x^2+y^2-2x+4y-20=0$ hay ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=25$

Bài 7.17 trang 47 SGK Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn$(C):x^2+y^2+2x-4y+4=0$ . Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2).

Phương pháp giải:

Tiếp tuyến  đi qua M và có vecto pháp tuyến là $\underset{\mathrm{IM}}{\to }$.

Lời giải:

Đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I\left(-1;2\right)$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left(0;2\right)$ nhận $\overrightarrow{IM}=\left(1;0\right)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $x=0$.

Bài 7.18 trang 47 SGK Toán 10 Tập 2: Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm t ($$0\le t\le 180$$) vật thể ở vị trí có toạ độ$$\left(2+sin{t}^o;4+cos{t}^o\right)$$.

a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Phương pháp giải:

a) Thay $t=0$ và $t=180$ để tìm tọa độ của chất điểm .

b) Khử $t$ bằng cách sử dụng đẳng thức ${\left(\sin t^o\right)}^2+{\left(\cos t^o\right)}^2=1$.

Lời giải:

a) Vị trí ban đầu ứng với $t=0$, suy ra vật thể ở vị trí  có tọa độ là  $A\left(2;5\right)$.

Vị trí kết thúc ứng với $t=180$ , suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là $B\left(2;3\right)$.

b) Từ đẳng thức  ${\left(\sin t^o\right)}^2+{\left(\cos t^o\right)}^2=1$ ta suy ra ${\left(x_M-2\right)}^2+{\left(y_M-4\right)}^2=1$

Do đó, M thuộc đường tròn $\left(C\right)$ có phương trình  ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=1$

Đường tròn có tâm $I\left(2;4\right)$, bán kính $R=1$ và nhận AB làm đường kính.

Khi $t\in \left[0;180\right]$ thì $\sin t\in \left[0;1\right]$ và $\cos t\in \left[-1;1\right]$. Do đó, $2+\sin t^o\in \left[2;3\right]$ và $4+\cos t^o\in \left[3;5\right]$.

Vậy quỹ đạo của  vật thể là nửa đường tròn đường kính AB vẽ trên nửa mặt phẳng chứa điểm $C\left(3;0\right)$ bờ AB.