a) $y=2x–3;$

b) $y=-2x+3.$

Phương pháp giải:

Bước 1: Lập bảng giá trị

Bước 2: Đồ thị hàm số $y=ax+b$ với $a\ne 0$ là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $(0;b)$ và $(-{\displaystyle \frac{b}{a}};0)$

Lời giải:

a) Hàm số $y=2x–3.$

Bảng giá trị

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $(0;-3)$ và $({\displaystyle \frac{3}{2}};0)$ ta được đồ thị hàm số $y=2x-3.$

b) Hàm số $y=-2x+3$ 

Bảng giá trị

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $(0;3)$ và $({\displaystyle \frac{3}{2}};0)$ ta được đồ thị hàm số $y=-2x+3.$

b) Bốn đường thẳng trên cắt nhau tạo thành tứ giác $OABC$ ($O$ là gốc tọa độ). Tứ giác $OABC$ có phải là hình bình hành không ? Vì sao ?

Phương pháp giải:

a) Cách vẽ đồ thị hàm số $y=ax+b,(a\ne 0)$: Đồ thị hàm số $y=ax+b(a\ne 0)$ là đường thẳng:

+) Cắt trục hoành tại điểm $A(-{\displaystyle \frac{b}{a}};0).$ 

+) Cắt trục tung tại điểm $B(0;b).$ 

b) Đồ thị của hàm số $y=ax+b,(a\ne 0)$ là một đường thẳng song song với đường thẳng $y=ax$  nếu $b\ne 0$.

+) Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: tứ giác có hai cặp cạnh đối song song thì là hình bình hành.

Lời giải:

a) 

+) Hàm số  $y=2x$:

Cho $x=1\Rightarrow y=2.1=2\Rightarrow M(1;2)$

Đồ thị hàm số trên là đường thẳng đi qua gốc $O(0;0)$ và điểm $M(1;2)$.

+) Hàm số $y=2x+5$:

Cho $x=0\Rightarrow y=2.0+5=0+5=5\Rightarrow B(0;5)$.

Cho $x=-2,5\Rightarrow y=2.(-2,5)+5=-5+5=0$

$\Rightarrow E(-2,5;0)$

Đồ thị hàm số trên là đường thẳng đi qua điểm $B(0;5)$ và $E(-2,5;0)$

+) Hàm số $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x$:

Cho $x=1\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}.1=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\Rightarrow N\left(1;-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)$

Đồ thị hàm số trên là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và điểm $N\left(1;-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)$ 

+) Hàm số $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+5$:

Cho $x=0\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}.0+5=0+5=5\Rightarrow B(0;5)$

Cho $x=7,5\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}.7,5+5=-5+5=0$

$\Rightarrow F(7,5;0)$

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm $B(0;5)$ và $F(7,5;0)$.

Ta có hình vẽ sau:

 b) Ta có:

+ Đồ thị của hàm số $y=2x$ song song với đồ thị hàm số $y=2x+5$ $\Rightarrow OC//AB$

+ Đồ thị của hàm số $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x$ song song với đồ thị hàm số $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+5$ $\Rightarrow OA//BC$

Do đó tứ giác $OABC$ là một hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Gọi $A$ là giao điểm của hai đồ thị nói trên, tìm tọa độ điểm $A$.

c) Vẽ qua điểm $B(0;2)$ một đường thẳng song song với trục $Ox$, cắt đường thẳng $y=x$ tại điểm $C$. Tìm tọa độ của điểm $C$ rồi tính diện tích tam giác $ABC$ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét).

Phương pháp giải:

a) Cách vẽ đồ thị hàm số $y=ax+b,(a\ne 0)$: Đồ thị hàm số $y=ax+b(a\ne 0)$ là đường thẳng:

+) Cắt trục hoành tại điểm $A(-{\displaystyle \frac{b}{a}};0).$  

+) Cắt trục tung tại điểm $B(0;b).$

Xác định tọa độ hai điểm $A$ và $B$ sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số  $y=ax+b(a\ne 0).$

b) Đồ thị hàm số $y=ax$ và $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ cắt nhau tại $A$ thì hoành độ điểm $A$ là nghiệm của phương trình: $ax=a^{\prime }x+b^{\prime }.$ Giải phương trình tìm $x$, rồi thay vào một trong hai công thức hàm số trên tìm được tung độ điểm $A$. 

c) +) Đường thẳng đi qua điểm $B(0;b)$ song song với trục $Ox$ có phương trình là: $y=b$.

+ Diện tích tam giác $ABC$:  $S={\displaystyle \frac{1}{2}}.h.a$

với $h$ là độ dài đường cao, $a$ là độ dài cạnh ứng với đường cao.

Lời giải:

a) +) Hàm số $y=x$:

Cho $x=1\Rightarrow y=1\Rightarrow M(1;1)$

$\Rightarrow$ đồ thị hàm số $y=x$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và điểm $M(1;1)$.

+) Hàm số $y=2x+2$ 

Cho $x=0\Rightarrow y=2.0+2=2\Rightarrow B(0;2)$.

Cho $x=-1\Rightarrow y=2.(-1)+2=-2+2=0\Rightarrow (-1;0)$

Đồ thị hàm số $y=2x+2$ là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ là $B(0;2)$ và $(-1;0)$.

Đồ thị như hình bên.

b) Tìm tọa độ giao điểm $A$:

 Hoành độ giao điểm $A$ là nghiệm của phương trình:

$x=2x+2$$\iff x-2x=2$$\iff -x=2$ $\iff x=-2$

Thay $x=-2$ vào công thức hàm số $y=x$, ta được: $y=-2$

Vậy tọa độ cần tìm là: $A(-2;-2)$.

c) +) Tìm tọa độ điểm $C$

Đường thẳng qua $B(0;2)$ song song với trục hoành có phương trình là $y=2$

Vì điểm $C$ thuộc đường thẳng $y=2$ nên có tung độ là $y=2$

Vì $C$ cũng thuộc đường thẳng $y=x$ nên $x=y=2$

Vậy ta có tọa độ điểm $C(2;2)$

+) Tính diện tích tam giác $ABC$:

Kẻ $AE\mathrm{\perp }BC$, ta có $AE=2+2=4$ và $BC=2$ 

Tam giác $\mathrm{\Delta }ABC$ có $AE$ là đường cao ứng với cạnh $BC$.

Diện tích $\mathrm{\Delta }ABC$ là:

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}.AE.BC={\displaystyle \frac{1}{2}}.4.2=4$ $(c{m}^2)$.

b) Hai đường thẳng $y=x+1$ và $y=-x+3$ cắt nhau tại $C$ và cắt trục $Ox$ theo thứ tự tại $A$ và $B$. Tìm tọa độ của các điểm $A,B,C$. 

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác $ABC$ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét)

Phương pháp giải:

a) Cách vẽ đồ thị hàm số $y=ax+b,(a\ne 0)$: Đồ thị hàm số $y=ax+b(a\ne 0)$ là đường thẳng:

+) Cắt trục hoành tại điểm $A(-{\displaystyle \frac{b}{a}};0).$ 

+) Cắt trục tung tại điểm $B(0;b).$ 

Xác định tọa độ hai điểm $A$ và $B$ sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số  $y=ax+b(a\ne 0).$

b) +) Đồ thị hàm số $y=ax$ và $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ cắt nhau tại $A$ thì hoành độ điểm $A$ là nghiệm của phương trình: $ax=a^{\prime }x+b^{\prime }.$ Giải phương trình tìm $x$, rồi thay vào một trong hai công thức hàm số trên tìm được tung độ điểm $A$.

c) +) Chu vi tam giác $ABC$ là: $C_{\mathrm{\Delta }ABC}=AB+BC+AC$.

+) Diện tích tam giác $ABC$ là: $S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}.h.a$

trong đó: $h$ là độ dài đường cao, $a$ là độ dài cạnh ứng với đường cao.

+) Định lí Py-ta-go trong tam giác vuông: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi đó:

           $B{C}^2=A{C}^2+A{C}^2$.

Lời giải:

a) Xem hình dưới đây:

+) Hàm số $y=x+1$:

Cho $x=0\Rightarrow y=0+1=1\Rightarrow M(0;1)$

Cho $y=0\Rightarrow 0=x+1\Rightarrow x=-1\Rightarrow P(-1;0)$

Đồ thị hàm số $y=x+1$ là đường thẳng đi qua hai điểm $P(-1;0)$ và $M(0;1)$.

+) Hàm số $y=-x+3$

Cho $x=0\Rightarrow y=0+3=3\Rightarrow N(0;3)$

Cho $y=0\Rightarrow 0=-x+3\Rightarrow x=3\Rightarrow Q(3;0)$

Đồ thị hàm số $y=-x+3$ là đường thẳng đi qua hai điểm $Q(3;0)$ và $N(0;3)$. 

Ta có hình vẽ sau:

b)

+) $C$ là giao điểm của $y=x+1$ và $y=-x+3$ nên hoành độ của $C$ là nghiệm của phương trình:

$x+1=-x+3$

$\iff x+x=3-1$

$\iff 2x=2$

$\iff x=1$.

Tung độ của $C$ là: $y=1+1=2$.

Vậy $C(1;2)$.

+) $A$ là giao điểm của $y=x+1$ và trục hoành $Ox:y=0$ nên hoành độ của $A$ là:

$x+1=0$

$\iff x=-1$

Vậy $A(-1;0)\equiv P$.

+) $B$ là giao điểm của $y=-x+3$ và trục hoành $Ox:y=0$ nên hoành độ điểm $B$ là:

$-x+3=0$

$\iff -x+3=0$

$\iff x=3$

Vậy $B(3;0)\equiv Q.$

c)

Ta có: $AB=3+1=4,$

+) Áp dụng định lí Py- ta-go, ta tính được:

        $AC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

        $BC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Do đó chu vi của tam giác $ABC$ là:

        $AB+BC+AC=4+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4+4\sqrt{2}(cm)$

+) Ta có: $B{C}^2+A{C}^2=(2\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2$$=8+8=16=4^2=A{B}^2$

Nên tam giác $ABC$ vuông tại $C$. (Định lí Pytago đảo)

+) Diện tích của tam giác $ABC$ là:

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}.AC.BC={\displaystyle \frac{1}{2}}.2\sqrt{2}.2\sqrt{2}=4(c{m}^2)$

b) Biết rằng đồ thị của hàm số $y=ax+5$ đi qua điểm $A(-1;3)$. Tìm a. Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị $a$ vừa tìm được.

Phương pháp giải:

a) Thay giá trị của $x,y$ đã biết vào công thức hàm số ta tìm được $b$.

b) Thay tọa độ điểm $A$ vào công thức hàm số ta tìm được $a$.

* Cách vẽ đồ thị hàm số $y=ax+b,(a\ne 0)$: Đồ thị hàm số $y=ax+b(a\ne 0)$ là đường thẳng:

+) Cắt trục hoành tại điểm $A(-{\displaystyle \frac{b}{a}};0).$ 

+) Cắt trục tung tại điểm $B(0;b).$ 

Xác định tọa độ hai điểm $A$ và $B$ sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số  $y=ax+b(a\ne 0).$

Lời giải:

a)  Thay $x=4$  và  $y=11$ vào $y=3x+b$, ta được:

$11=3.4+b$ 

$\iff 11=12+b$

$\iff 11-12=b$

$\iff b=-1$.

Khi đó hàm số đã cho trở thành: $y=3x–1$.

+ Cho $x=0\Rightarrow y=3.0-1=-1\Rightarrow A(0;-1)$

    Cho $y=0\Rightarrow 0=3.x-1\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow B\left({\displaystyle \frac{1}{3}};0\right)$

Do đó đồ thị hàm số $y=3x+b$  là đường thẳng đi qua $2$ điểm $A(0;-1)$ và $B\left({\displaystyle \frac{1}{3}};0\right)$. Ta có hình vẽ sau:

b) Thay $x=-1$ thì $y=3$ vào công thức hàm số $y=ax+5$, ta được: 

$3=a.(-1)+5$

$\iff 3=-a+5$

$\iff a=5-3$ 

$\iff a=2$

Khi đó hàm số đã cho trở thành: $y=2x+5$.

+ Cho $x=0\Rightarrow y=2.0+5=5\Rightarrow A(0;5)$

    Cho $y=0\Rightarrow 0=2.x+5\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-5}{2}}\Rightarrow B\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}};0\right)$

Do đó đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm $A(0;5)$ và $B\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}};0\right)$

Bài 19 trang 52 sgk Toán 9 tập 1: Đồ thị của hàm số $y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}$ được vẽ bằng compa và thước thẳng.

Hãy tìm hiểu cách vẽ đó rồi nêu lại các bước thực hiện. 

Áp dụng: Vẽ đồ thị của hàm số $y=\sqrt{5}x+\sqrt{5}$ bằng compa và thước thẳng.

Hướng dẫn. Tìm điểm trên trục tung có tung độ bằng $\sqrt{5}$.

Phương pháp giải:

+) Xác định hai điểm thuộc đồ thị hàm số $y=ax+b(a\ne 0)$:

   Cho $x=0\Rightarrow y=b\Rightarrow A(0;b).$ 

   Cho $y=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}\Rightarrow B\left(-{\displaystyle \frac{b}{a}};0\right).$

Xác định vị trí hai điểm $A,B$ trên mặt phẳng tọa độ. Đường thẳng đi qua $A,B$ là đồ thị hàm số $y=ax+b.$

+) Định lí Py-ta-go trong tam giác vuông: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Khi đó:

              $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$.

Lời giải:

+ Vẽ: đồ thị hàm số: $y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}$ 

    Cho $x=0\Rightarrow y=\sqrt{3}.0+\sqrt{3}=\sqrt{3}\Rightarrow M(0;\sqrt{3})$.

    Cho $y=0\Rightarrow 0=\sqrt{3}.x+\sqrt{3}\Rightarrow x=-1\Rightarrow N(-1;0)$.

Đồ thị hàm số $y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}$ là đường thẳng đi qua hai điểm $M(0;\sqrt{3})$ và $N(-1;0)$

+ Ta đi xác định vị trí điểm $M(0;\sqrt{3})$ trên trục tung:

Bước $1$: Xác định điểm $A(1;1)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Khi đó theo định lí Py-ta-go, ta có:

             $O{A}^2=1^2+1^2=2\iff OA=\sqrt{2}$

Bước $2$: Dùng compa vẽ cung tròn tâm $O$ bán kính $OA=\sqrt{2}$. Cung tròn này cắt trục $Ox$ tại vị trí $C$ thì hoành độ của $C$ là $\sqrt{2}$.

Bước $3$: Xác định điểm $B(\sqrt{2};1)$. Khi đó theo định lí Py-ta-go, ta có:

            $O{B}^2=(\sqrt{2}{)}^2+1^2=2+1=3\iff OB=\sqrt{3}$

Bước $4$: Dùng compa vẽ cung tròn tâm $O$ bán kính $OB=\sqrt{3}$. Khi đó cung tròn này cắt trục tung tại vị trí điểm có tung độ là $\sqrt{3}$. Ta xác định được điểm $M(0;\sqrt{3})$.

Bước $5$: Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm $M$ và $N$ ta được đồ thị hàm số $y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}$.

+ Áp dụng: Vẽ đồ thị hàm số $y=\sqrt{5}x+\sqrt{5}$ (làm tương tự như trên)

    Cho $x=0\Rightarrow y=\sqrt{5}.0+\sqrt{5}=\sqrt{5}\Rightarrow B(0;\sqrt{5})$.

    Cho $x=-1\Rightarrow y=\sqrt{5}.(-1)+\sqrt{5}=0\Rightarrow C(-1;0)$.

Đồ thị hàm số $y=\sqrt{5}x+\sqrt{5}$ là đường thẳng đi qua hai điểm $B(0;\sqrt{5})$ và $C(-1;0)$

Các bước vẽ: 

Bước $1$: Xác định điểm $A(2;1)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

           Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

             $O{A}^2=2^2+1^2=4+1=5\iff OA=\sqrt{5}$

Bước $2$: Vẽ cung tròn tâm $O$ bán kính $OA=\sqrt{5}$. Cung tròn này cắt trục $Oy$ tại vị trí điểm $B$ có tung độ là $\sqrt{5}$. Ta xác định được điểm $B(0;\sqrt{5})$.

Bước $3$: Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm $B(0;\sqrt{5})$ và $C(-1;0)$ ta được đồ thị của hàm số $y=\sqrt{5}x+\sqrt{5}$.

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

1. Đồ thị hàm số

 $y=ax+b(a\ne 0).$

Đồ thị của hàm số $y=ax+b(a\ne 0)$ là một đường thẳng:

+) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $b;$ 

+) Song song với đường thẳng $y=ax$ nếu $b\ne 0$ và trùng với đường thẳng $y=ax$ nếu $b=0.$

Đồ thị này cũng được gọi là đường thẳng $y=ax+b$ và $b$ được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.

Lưu ý: Đồ thị hàm số $y=ax+b$ cắt trục hoành tại điểm $Q\left(-{\displaystyle \frac{b}{a}};0\right).$

2. Cách vẽ đồ thị của hàm số $y=ax+b(a\ne 0).$

- Chọn điểm $P(0;b)$ (trên trục $Oy$).

- Chọn điểm $Q\left(-{\displaystyle \frac{b}{a}};0\right)$ (trên trục $Ox$).

- Kẻ đường thẳng $PQ$ ta được đồ thị của hàm số $y=ax+b.$

Lưu ý:

+ Vì đồ thị $y=ax+b(a\ne 0)$ là một đường thẳng nên muốn vẽ nó chỉ cần xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị.

+ Trong trường hợp giá trị $-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ khó xác định trên trục Ox thì ta có thể thay điểm Q bằng cách chọn một giá trị $x_1$ của $x$ sao cho điểm $Q^{\prime }(x_1,y_1)$ (trong đó $y_1=a{x}_1+b$) dễ xác định hơn trong mặt phẳng tọa độ.

Ví dụ: 

Vẽ đồ thị hàm số $y=2x+5$.

+ Cho $x=0\Rightarrow y=2.0+5=5\Rightarrow A(0;5)$

+ Cho $y=0\Rightarrow 0=2.x+5\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-5}{2}}$$\Rightarrow B\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}};0\right)$

Do đó đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm $A(0;5)$ và $B\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}};0\right)$.

3. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Vẽ và nhận dạng đồ thị hàm số $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$ là một đường thẳng

Trường hợp 1:  Nếu $b=0$ ta có hàm số $y=ax$. Đồ thị của $y=ax$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và điểm $A(1;a).$

Trường hợp 2: Nếu $b\ne 0$ thì đồ thị $y=ax+b$ là đường thẳng đi qua các điểm $A(0;b),B\left(-{\displaystyle \frac{b}{a}};0\right).$

Dạng 2: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

Phương pháp:

Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đó để tìm hoành độ giao điểm.

Bước 2. Thay hoành độ giao điểm vừa tìm được vào một trong hai phương trình đường thẳng ta tìm được tung độ giao điểm.

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $y=2x+1$ và $y=x+2$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng ta có: 

$\begin{array}{l}2x+1=x+2\\ \iff 2x-x=2-1\\ \iff x=1\\ \Rightarrow y=x+2=1+2=3\end{array}$

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là: $(1;3)$

Dạng 3: Xác định hệ số a,b để đồ thị hàm số $y=ax+b(a\ne 0)$ cắt trục $Ox,Oy$ hay đi qua một điểm nào đó.

Phương pháp:

Ta sử dụng kiến thức: Đồ thị hàm số $y=ax+b(a\ne 0)$ đi qua điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ khi và chỉ khi $y_0=a{x}_0+b$.

Ví dụ: 

Biết rằng đồ thị của hàm số $y=ax+2$ đi qua điểm $A(-1;3)$. Tìm a.

Thay $x=-1;y=3$ vào hàm số $y=ax+2$ ta được: $3=-1.a+2\iff a=-1$

Vậy $a=-1$

Dạng 4: Tính đồng quy của ba đường thẳng

Phương pháp:

Để xét tính đồng quy của ba đường thẳng cho trước, ta thực hiện các bước sau

Bước 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho.

Bước 2. Kiểm tra xem nếu giao điểm vừa tìm được thuộc đường thằng còn lại thì kết luận ba đường thẳng đó đồng quy.