b) Giải thích vì sao hai đường thẳng $y=2x+3$ và $y=2x–2$ song song với nhau ? (h.9)

Phương pháp giải:

Chú ý: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung

Lời giải:

y = 0,5x + 2;

y = 0,5x - 1;

y = 1,5x + 2.

Phương pháp giải:

Vẽ đồ thị các hàm số rồi quan sát hình vẽ. 

Lời giải:

Các cặp đường thẳng cắt nhau là:

y = 0,5x + 2 và y = 1,5x +2

y = 0,5x - 1 và y = 1,5x +2 

a) $y=1,5x+2$;                b) $y=x+2$;                 

c) $y=0,5x-3$;                 d) $y=x-3$;   

e) $y=1,5x-1$;                 g) $y=0,5x+3$.

Phương pháp giải:

+ Cho hai đường thẳng: $(d)$: $y=ax+b$, $(a\ne 0)$  và $(d^{\prime })$: $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$  $(a^{\prime }\ne 0)$. Khi đó:

     $(d)$ // $(d^{\prime })\iff a=a^{\prime }$ và $b\ne b^{\prime }$

     $(d)$ cắt $(d^{\prime })\iff a\ne a^{\prime }$

     $(d)$ trùng $(d^{\prime })\iff a=a^{\prime }$  và $b=b^{\prime }$ 

Lời giải:

Ba cặp đường thẳng song song:

+ $(d_1)y=1,5x+2\Rightarrow a_1=1,5$ và $b_1=2$

    $(d_2)y=1,5x-1\Rightarrow a_2=1,5$ và $b_2=-1$

Vì $a_1=a_2=1,5,b_1\ne b_2(2\ne -1)$ nên $(d_1)$ song song với $(d_2)$. 

+ $(d_3)y=x+2\Rightarrow a_3=1$ và $b_3=2$

    $(d_4)y=x-3\Rightarrow a_4=1$ và $b_4=-3$

Vì $a_3=a_4=1,b_3\ne b_4(2\ne -3)$ nên $(d_3)$ song song với $(d_4)$.

+ $(d_5)y=0,5x-3\Rightarrow a_5=0,5$ và $b_5=-3$

    $(d_6)y=0,5x+3\Rightarrow a_6=0,5$ và $b_6=3$

Vì $a_5=a_6=0,5,b_5\ne b_6(-3\ne 3)$ nên $(d_5)$ song song với $(d_6)$.

Ba cặp đường thẳng cắt nhau là:

+ $(d_1)y=1,5x+2\Rightarrow a_1=1,5$ 

    $(d_3)y=x+2\Rightarrow a_3=1$ 

Vì $a_1\ne a_3(1,5\ne 1)$ nên $(d_1)$  và $(d_3)$ cắt nhau.

+ $(d_5)y=0,5x-3\Rightarrow a_5=0,5$ 

     $(d_3)y=x+2\Rightarrow a_3=1$ 

Vì $a_5\ne a_3(0,5\ne 1)$ nên $(d_5)$  và $(d_3)$ cắt nhau.

+ $(d_1)y=1,5x+2\Rightarrow a_1=1,5$

    $(d_6)y=0,5x+3\Rightarrow a_6=0,5$ 

Vì $a_1\ne a_6(1,5\ne 0,5)$ nên $(d_1)$  và $(d_6)$ cắt nhau. 

a) Hai đường thẳng song song với nhau;

b) Hai đường thẳng cắt nhau.

Phương pháp giải:

a) + Điều kiện để hàm số đã cho là hàm bậc nhất là $a\ne 0$.

+ Hai đường thẳng: $(d)$: $y=ax+b$, $(a\ne 0)$  và $(d^{\prime })$: $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$  $(a^{\prime }\ne 0)$ song song khi và chỉ khi  $a=a^{\prime }$ và $b\ne b^{\prime }$ 

b) + Điều kiện để hàm số đã cho là hàm bậc nhất là $a\ne 0$.

+ Hai đường thẳng: $(d)$: $y=ax+b$, $(a\ne 0)$  và $(d^{\prime })$: $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$  $(a^{\prime }\ne 0)$ cắt nhau khi và chỉ khi $a\ne a^{\prime }$

Lời giải:

Ta có:  

+ $y=mx+3\Rightarrow \{\begin{array}{c}a=m\hfill \\ b=3\hfill \end{array}$

+ $y=(2m+1)x-5\Rightarrow \{\begin{array}{c}{a}^{\prime }=2m+1\hfill \\ b^{\prime }=-5\hfill \end{array}$

+ Để hai hàm số đã cho là hàm bậc nhất thì ta cần có các hệ số $a$ và $a^{\prime }$ khác $0$, tức là:

$\{\begin{array}{c}m\ne 0\hfill \\ 2m+1\ne 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}m\ne 0\hfill \\ 2m\ne -1\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}m\ne 0\hfill \\ m\ne {\displaystyle \frac{-1}{2}}\hfill \end{array}$

a) Để hai đường thẳng song song thì:

$\{\begin{array}{c}a=a^{\prime }\hfill \\ b\ne b^{\prime }\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}m=2m+1\hfill \\ 3\ne -5\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}m-2m=1\hfill \\ 3\ne -5\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}m=-1(thỏamãnđiềukiện)\hfill \\ 3\ne -5(luônđúng)\hfill \end{array}$

Vậy $m=-1$ thì hai đường thẳng trên song song với nhau.

b) Để hai đường thẳng cắt nhau thì:

$a\ne a^{\prime }\iff m\ne 2m+1$

             $\iff m-2m\ne 1$

             $\iff -m\ne 1$

             $\iff m\ne -1$

Kết hợp với điều kiện trên, ta có $m\ne -1,m\ne 0,m\ne {\displaystyle \frac{-1}{2}}$ thì hai đường thẳng trên cắt nhau.

a) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng $y=-2x$.

b) Khi $x=2$ thì hàm số có giá trị $y=7.$

Phương pháp giải:

a) Đồ thị hàm số $y=ax+b(a\ne 0)$ song song với đồ thị hàm số $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ $(a^{\prime }\ne 0)$ thì $a=a^{\prime }$ và $b\ne b^{\prime }$.

b) Thay các giá trị $x=2,y=7$ vào công thức hàm số ta tìm được $a$.

Lời giải:

a) Ta có:

Đồ thị hàm số $y=ax+3$ và $y=-2x$  song song với nhau

                   $\iff \{\begin{array}{c}a=a^{\prime }\hfill \\ b\ne b^{\prime }\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=-2\hfill \\ 3\ne 0(luônđúng)\hfill \end{array}$

Vậy $a=-2$.

b) 

Thay $x=2$, và $y=7$ vào công thức hàm số $y=ax+3$, ta được:

       $7=2a+3\iff 2a=7-3$

                            $\iff 2a=4$

                            $\iff a=2$

Vậy $a=2$. 

a) Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-3$;

b) Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm $A(1;5)$.

Phương pháp giải:

a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $y_0$ thì đồ thị hàm số đi qua điểm $M(0;y_0)$. Thay tọa độ $M$ vào công thức hàm số tìm được $b$.

b) Thay tọa độ điểm $A$ vào công thức hàm số ta tìm được $b$.

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-3$, nghĩa là đồ thị hàm số đi qua điểm $M(0;-3)$. Thay $x=0;y=-3$ vào công thức hàm số $y=2x+b$, ta được:

          $-3=2.0+b\iff -3=0+b$

                                  $\iff b=-3$

Vậy $b=-3$.

b) Vì đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm $A(1;5)$ nên thay $x=1;y=5$ vào công thức hàm số $y=2x+b$, ta được:

            $5=2.1+b\iff 5=2+b$

                                 $\iff 5-2=b$

                                 $\iff b=3$

Vậy $b=3$.

Tìm điều kiện đối với $m$ và $k$ để đồ thị của hai hàm số là:

a) Hai đường thẳng cắt nhau;

b) Hai đường thẳng song song với nhau;

c) Hai đường thằng trùng nhau.

Phương pháp giải:

+) Điều kiện để hàm số $y=ax+b$ là hàm số bậc nhất là $(a\ne 0)$

+) Hai đường thẳng: $(d)$: $y=ax+b$, $(a\ne 0)$  và $(d^{\prime })$: $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$  $(a^{\prime }\ne 0)$:

       $(d)$ cắt $(d^{\prime })\iff a\ne a^{\prime }$

       $(d)$ // $(d^{\prime })\iff a=a^{\prime }$ và $b\ne b^{\prime }$

       $(d)$ $\equiv$ $(d^{\prime })\iff a=a^{\prime }$  và $b=b^{\prime }$

Lời giải:

 Ta có: 

      $(d_1)$  $y=2x+3k\Rightarrow \{\begin{array}{c}a=2\hfill \\ b=3k\hfill \end{array}$

      $(d_2)$   $y=\left(2m+1\right)x+2k-3\Rightarrow \{\begin{array}{c}{a}^{\prime }=2m+1\hfill \\ b^{\prime }=2k-3\hfill \end{array}$

Hai hàm số đã cho là hàm bậc nhất  khi và chỉ khi:

$\{\begin{array}{c}a\ne 0\hfill \\ a^{\prime }\ne 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}2\ne 0\hfill \\ 2m+1\ne 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}2\ne 0\hfill \\ 2m\ne -1\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}2\ne 0(luônđúng)\hfill \\ m\ne {\displaystyle \frac{-1}{2}}\hfill \end{array}$

a) Hai đường thẳng cắt nhau:

            $(d_1)$ cắt $(d_2)\iff a\ne a^{\prime }$

                                   $\iff 2\ne 2m+1$

                                   $\iff 2-1\ne 2m$

                                   $\iff 1\ne 2m$

                                   $\iff m\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$

Kết hợp điều kiện hàm bậc nhất $m\ne \pm {\displaystyle \frac{1}{2}}$.

b) Hai đường thẳng song song:

             $(d_1)//(d_2)\iff \{\begin{array}{c}a=a^{\prime }\\ b\ne b^{\prime }\end{array}$

                               $\iff \{\begin{array}{c}2=2m+1\\ 3k\ne 2k-3\end{array}$

                               $\iff \{\begin{array}{c}2-1=2m\\ 3k-2k\ne -3\end{array}$

                               $\iff \{\begin{array}{c}m={\displaystyle \frac{1}{2}}(thỏamãn)\\ k\ne -3\end{array}$

Vậy $m={\displaystyle \frac{1}{2}}$ và $k\ne -3$ thì hai đồ thị trên song song.

c) Hai đường thẳng trùng nhau:

  $(d_1)$ $\equiv$  $(d_2)\iff$ $\{\begin{array}{c}a=a^{\prime }\\ b=b^{\prime }\end{array}$

                       $\iff \{\begin{array}{c}2=2m+1\\ 3k=2k-3\end{array}$

                       $\iff \{\begin{array}{c}2-1=2m\\ 3-2k=-3\end{array}$

                       $\iff \{\begin{array}{c}2m=1\\ k=-3\end{array}$

                       $\iff \{\begin{array}{c}m={\displaystyle \frac{1}{2}}(tm)\\ k=-3\end{array}$

Vậy $m={\displaystyle \frac{1}{2}}$ và $k=-3$ thì đồ thị hai hàm số trên trùng nhau.

$y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$;                                       $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2$

b) Một đường thẳng song song với trục hoành $Ox$, cắt trục tung $Oy$ tại điểm có tung độ bằng $1$, cắt các đường thẳng $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$ và $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2$ theo thứ tự tại hai điểm $M$ và $N$. Tìm tọa độ của hai điểm $M$ và $N$.

Phương pháp giải:

a) Cách vẽ đồ thị hàm số $y=ax+b,(a\ne 0)$: Đồ thị hàm số $y=ax+b(a\ne 0)$ là đường thẳng:

+) Cắt trục hoành tại điểm $A(-{\displaystyle \frac{b}{a}};0).$ 

+) Cắt trục tung tại điểm $B(0;b).$ 

Xác định tọa độ hai điểm $A$ và $B$ sau đó kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó ta được đồ thị hàm số  $y=ax+b(a\ne 0).$

b) +) Đường thẳng song song với trục $Ox$ có dạng $y=a$, đường thẳng song song với trục $Oy$ có dạng $x=b$.

+) Hai đường thẳng $y=ax+b,y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ cắt nhau tại $A$. Hoành độ điểm $A$ là nghiệm của phương trình: $ax+b=a^{\prime }x+b$. Giải phương trình tìm $x$. Thay $x$ tìm được vào công thức hàm số trên tìm được tung độ điểm $A$.

Lời giải:

a) Hàm số $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$

Cho $x=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{2}{3}}.0+2=0+2=2\Rightarrow A(0;2)$

Cho $y=0\Rightarrow 0={\displaystyle \frac{2}{3}}.x+2\Rightarrow x=-3\Rightarrow B(-3;0)$

Đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$ là đồ thị của hàm số $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$.

+) Hàm số $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2$ 

Cho $x=0\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.0+2=0+2=2\Rightarrow A(0;2)$

Cho $y=0\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.x+2\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4}{3}}\Rightarrow C\left({\displaystyle \frac{4}{3}};0\right)$

Đường thẳng đi qua hai điểm $A,C$ là đồ thị của hàm số $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2$.

b) Đường thẳng song song với trục $Ox$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ $1$ có dạng: $y=1$.

Vì $M$ là giao của đường thẳng $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$ và $y=1$ nên hoành độ của $M$ là nghiệm của phương trình: 

${\displaystyle \frac{2}{3}}x+2=1$

$\iff {\displaystyle \frac{2}{3}}x=1-2$

$\iff {\displaystyle \frac{2}{3}}x=-1$

$\iff x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Do đó tọa độ $M$ là: $M\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};1\right)$.

Vì $N$ là giao của đường thẳng $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2$ và $y=1$ nên hoành độ của $N$ là nghiệm của phương trình:

$-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2=1$

$\iff -{\displaystyle \frac{3}{2}}x=1-2$

$\iff -{\displaystyle \frac{3}{2}}x=-1$

$\iff x={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Do đó tọa độ $N$ là: $N\left({\displaystyle \frac{2}{3}};1\right)$.

a) Đồ thị của hàm số $(1)$ cắt đường thẳng $y=2x-1$ tại điểm có hoành độ bằng $2$.

b) Đồ thị của hàm số $(1)$ cắt đường thẳng $y=-3x+2$ tại điểm có tung độ bằng $5$. Phương pháp giải:

a) Cho hai hàm số bậc nhất $y=ax+b,y=a^{\prime }x+b^{\prime }$. Xét phương trình hoành độ giao điểm: $ax+b=a^{\prime }x+b^{\prime }$      $(1)$ 

Thay hoành độ giao điểm vào phương trình $(1)$, ta tìm được $a$.

b) Thay tung độ giao điểm vào phương trình hàm số đã biết các hệ số ta tìm được tọa độ giao điểm.

Thay tọa độ giao điểm vừa tìm được vào phương trình hàm số ban đầu ta tìm được $a$.

Lời giải:

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng $y=ax-4$ và $y=2x-1$ là: $ax-4=2x-1$.

Đồ thị hàm số $y=ax–4$ cắt đường thẳng $y=2x–1$ tại điểm có hoành độ bằng 2 nên thay $x=2$ vào phương trình hoành độ giao điểm trên, ta có:

$a.2-4=2.2-1$

$\iff 2a=4-1+4$

$\iff a={\displaystyle \frac{7}{2}}$.

b) Ta có:  $(1)$ $y=ax-4$

              $(2)$ $y=-3x+2$

Đồ thị hàm số $y=ax–4$ cắt đường thẳng $y=-3x+2$ tại điểm $A$ có tung độ bằng $5$ nên đường thẳng $y=-3x+2$ đi qua điểm có tung độ bằng $5.$

Thay tung độ giao điểm vào phương trình $(2)$, ta được:

$5=-3.x+2$

$\iff 5-2=-3x$

$\iff 3=-3x$

$\iff x=-1$

Do đó hoành độ giao điểm là $x=-1$. Thay $x=-1,y=5$ vào phương trình $(1)$ , ta được:

$5=a.(-1)-4$

$\iff 5+4=-a$

$\iff -a=9$

$\iff a=-9$

Vậy $a=-9$. 

Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau.

I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Ví dụ:

Hai đường thẳng $y=3x+1$ và $y=3x-6$ có hệ số $a=a^{\prime }(=3)$ và $b\ne b^{\prime }$ $(1\ne -6)$ nên chúng song song với nhau.

Hai đường thẳng $y=3x+1$ và $y=3x+1$ có hệ số $a=a^{\prime }(=3)$ và $b=b^{\prime }(=1)$ nên chúng trùng nhau.

Hai đường thẳng $y=x$ và $y=-2x+3$ có hệ số $a\ne a^{\prime }$ $(1\ne -2)$ nên chúng cắt nhau.

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chỉ ra vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số $m$ để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.

Phương pháp:

Cho hai đường thẳng $d:y=ax+b\left(a\ne 0\right)$ và $d^{\prime }:y=a^{\prime }x+b^{\prime }\left(a^{\prime }\ne 0\right)$.

+) $d//d^{\prime }\iff \{\begin{array}{l}a=a^{\prime }\\ b\ne b^{\prime }\end{array}$

+) $d$ cắt $d^{\prime }$$\iff a\ne a^{\prime }$.

+) $d\equiv d^{\prime }\iff \{\begin{array}{l}a=a^{\prime }\\ b=b^{\prime }\end{array}$.

Dạng 2:  Viết phương trình đường thẳng

Phương pháp:

+) Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định hệ số.

Ngoài ra ta còn sử dụng các kiến thức sau

+) Ta có$y=ax+b$ với $a\ne 0$, $b\ne 0$ là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm $A\left(0;b\right)$, cắt trục hoành tại điểm $B\left(-{\displaystyle \frac{b}{a}};0\right)$.+) Điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đường thẳng $y=ax+b$ khi và chỉ khi $y_0=a{x}_0+b$.

Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng $d$ luôn đi qua với mọi tham số $m$

Phương pháp:

Gọi $M\left(x;y\right)$ là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm $M\left(x;y\right)$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $d$.

Đưa phương trình đường thẳng $d$ về phương trình bậc nhất ẩn $m$.

Từ đó để phương trình bậc nhất $ax+b=0$ luôn đúng thì $a=b=0$

Giải điều kiện ta tìm được $x,y$.

Khi đó $M\left(x;y\right)$ là điểm cố định cần tìm.