Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 65 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Giang Ngày: 07-02-2023 Lớp 10

329

Với giải Câu hỏi trang 65 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 65 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Bài 1 trang 65 Toán 10 Tập 1: Cho biết $\sin 30^{o} = \frac{1}{2}; \sin 60^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \tan 45^{o} = 1.$ Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của $E = 2 \cos 30^{o} + \sin 150^{o} + \tan 135^{o} .$

Phương pháp giải

$\cos 30 ° = \sin (90 ° - 30 °) = \sin 60 ° \sin 150 ° = \sin (180 ° - 150 °) = \sin 50 ° \tan 135 ° = - \tan (180 ° - 135 °) = - \tan 45 °$

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l} \cos 30^{o} = \sin (90^{o} - 30^{o}) = \sin 60^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \\ \sin 150^{o} = \sin (180^{o} - 150^{o}) = \sin 30^{o} = \frac{1}{2}; \\ \tan 135^{o} = - \tan (180^{o} - 135^{o}) = - \tan 45^{o} = - 1 \end{array}$

$\Rightarrow E = 2. \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 1 = \sqrt{3} - \frac{1}{2} .$

Bài 2 trang 65 Toán 10 Tập 1: Chứng minh các hệ thức sau:

a) $\sin 20^{o} = \sin 160^{o}$

b) $\cos 50^{o} = - \cos 130^{o}$

Phương pháp giải

$\begin{array}{l} \sin (180^{o} - α) = \sin α \\ \cos (180^{o} - α) = - \cos α \end{array}$ $(0^{o} \leq α \leq 180^{o})$

Lời giải

a) $\sin 20^{o} = \sin (180^{o} - 160^{o}) = \sin 160^{o}$

b) $\cos 50^{o} = \cos (180^{o} - 130^{o}) = - \cos 130^{o}$

Bài 3 trang 65 Toán 10 Tập 1: Tìm góc $α (0^{o} \leq α \leq 180^{o})$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\cos α = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $\sin α = 0$

c) $\tan α = 1$

d) $\cot α$ không xác định.

Phương pháp giải

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt để tìm góc.

Bài 3 trang 65 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Lời giải

a) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\cos α$ ta có:

$\cos α = \frac{- \sqrt{2}}{2}$ với $α = 135^{o}$

b) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\sin α$ ta có:

$\sin α = 0$ với $α = 0^{o}$ và $α = 180^{o}$

c) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\tan α$ ta có:

$\tan α = 1$ với $α = 45^{o}$

d) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng $\cot α$ ta có:

$\cot α$ không xác định với $α = 0^{o}$

Bài 4 trang 65 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) $\sin A = \sin (B + C)$

b) $\cos A = - \cos (B + C)$

Phương pháp giải

$\begin{array}{l} \sin (180^{o} - A) = \sin A \\ \cos (180^{o} - A) = - \cos A \end{array}$ $(0^{o} \leq \hat{A} \leq 180^{o})$

Lời giải

$\sin (B + C) = \sin (180^{o} - A) = \sin A$

Vậy $\sin A = \sin (B + C)$

$\cos (B + C) = \cos (180^{o} - A) = - \cos A$

Vậy $\cos A = - \cos (B + C)$

Bài 5 trang 65 Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi góc $α (0^{o} \leq α \leq 180^{o})$ , ta đều có:

Lời giải a

a) $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1$

Phương pháp giải:

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $α = \hat{x O M}$

Bài 5 trang 65 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

$\sin α = \frac{M H}{O M}; \cos α = \frac{O H}{O M}; \tan α = \frac{\sin α}{\cos α}; \cot α = \frac{\cos α}{\sin α} .$

Lời giải

Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm M sao cho $\hat{x O M} = α$

Gọi H, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy.

Bài 5 trang 65 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và $α = \hat{x O M}$

Do đó: $\sin α = \frac{M H}{O M} = M H; \cos α = \frac{O H}{O M} = O H .$

$\Rightarrow \cos^{2} α + \sin^{2} α = O H^{2} + M H^{2} = O M^{2} = 1$

Lời giải b

b) $\tan α . \cot α = 1 (0^{o} < α < 180^{o}, α \neq 90^{o})$

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l} \tan α = \frac{\sin α}{\cos α}; \cot α = \frac{\cos α}{\sin α} . \\ \Rightarrow \tan α . \cot α = \frac{\sin α}{\cos α} . \frac{\cos α}{\sin α} = 1 \end{array}$

Lời giải c

c) $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} (α \neq 90^{o})$

Lời giải

Với $α \neq 90^{o}$ ta có:

$\begin{array}{l} \tan α = \frac{\sin α}{\cos α}; \\ \Rightarrow 1 + \tan^{2} α = 1 + \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{1}{\cos^{2} α} \end{array}$

Lời giải d

d) $1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} (0^{o} < α < 180^{o})$

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l} \cot α = \frac{\cos α}{\sin α}; \\ \Rightarrow 1 + \cot^{2} α = 1 + \frac{\cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{1}{\sin^{2} α} \end{array}$

Bài 6 trang 65 Toán 10 Tập 1: Cho góc $α$ với $\cos α = - \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Tính giá trị của biểu thức $A = 2 \sin^{2} α + 5 \cos^{2} α .$

Phương pháp giải

Sử dụng đẳng thức $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1$ $A = 2 \sin^{2} α + 5 \cos^{2} α .$

Lời giải

Ta có: $A = 2 \sin^{2} α + 5 \cos^{2} α = 2 (\sin^{2} α + \cos^{2} α) + 3 \cos^{2} α$

Mà $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1; \cos α = - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

$\Rightarrow A = 2 + 3. {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = 2 + 3. \frac{1}{2} = \frac{7}{2} .$

Bài 7 trang 65 Toán 10 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Tính $\sin 168^{o} 45^{'} 33^{″}; \cos 17^{o} 22^{'} 35^{″}; \tan 156^{o} 26^{'} 39^{″}; \cot 56^{o} 36^{'} 42^{″} .$

b) Tìm $α (0^{o} \leq α \leq 180^{o}),$ trong các trường hợp sau:

i) $\sin α = 0, 862.$

ii) $\cos α = - 0, 567.$

iii) $\tan α = 0, 334.$

Phương pháp giải

a) Để tính $\sin 168^{o} 45^{'} 33^{″}$ , bấm liên tiếp các phím:

Bài 7 trang 65 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Để tính $\cot 56^{o} 36^{'} 42^{″}$ ta tính $1 : \tan 56^{o} 36^{'} 42^{″}$ .

b) Để tìm $α$ biết $\sin α = 0, 862$ , bấm liên tiếp các phím:

Bài 7 trang 65 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Lời giải

$\begin{array}{l} \sin 168^{o} 45^{'} 33^{″} = 0, 195; \\ \cos 17^{o} 22^{'} 35^{″} = 0, 954; \\ \tan 156^{o} 26^{'} 39^{″} = - 0, 436; \\ \cot 56^{o} 36^{'} 42^{″} = 0, 659 \end{array}$