Phương pháp giải

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2: Xác định nghiệm của $h\left(x\right)$ (nếu có) $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Bước 3: Lập bảng xét dấu

Bước 4: Dựa vào bảng xét dấu đưa ra các khoảng theo yêu cầu

           +) Khoảng mà $h\left(x\right)>0$ là khoảng bóng nằm cao hơn vành rổ

           +) Khoảng mà $h\left(x\right)<0$ là khoảng bóng nằm thấp hơn vành rổ

           +) Khoảng mà $h\left(x\right)=0$ là khoảng bóng nằm ngang vành rổ

Lời giải 

$h\left(x\right)=-0,1x^2+x-1$ có $\mathrm{\Delta }=\frac{3}{5}>0$, có hai nghiệm phân biệt là $x_1=5-\sqrt{15};x_2=5+\sqrt{15}$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy khoảng bóng nằm trên vành rổ là $x\in \left(1,2;8,9\right)$mét
          khoảng bóng nằm dưới vành rổ là $x\in \left(-\mathrm{\infty };1,2\right)\cup \left(8,9;+\mathrm{\infty }\right)$ mét
          khoảng bóng nằm ngang vành rổ là $x\simeq \left\{1,2;8,9\right\}$

Bài 6 trang 10 Toán 10 Tập 2: Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài 20 cm và chiều rộng 15 cm được uốn lại thành hình chữ nhật mới có kích thước $\left(20+x\right)$ cm và $\left(15-x\right)$ cm. Với x nằm trong các khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi?

Phương pháp giải

Bước 1: Lập hiệu giữa diện tích mới và diện tích cũ $f\left(x\right)=20.15-\left(20+x\right)\left(15-x\right)$ với

Bước 2: Tìm các khoảng thỏa mãn yêu cầu

          +) Khoảng mà $f\left(x\right)>0$ là khoảng diện tích tăng lên

          +) Khoảng mà $f\left(x\right)<0$ là khoảng diện tích giảm đi

          +) Khoảng mà $f\left(x\right)=0$ là khoảng diện tích không đổi$x>0$

Lời giải 

Theo giải thiết ta có tam thức sau: $f\left(x\right)=20.15-\left(20+x\right)\left(15-x\right)=-x^2+5x$

Tam thức có $\mathrm{\Delta }=25>0$, có hai nghiệm phân biệt $x_1=0;x_2=5$

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy khoảng diện tích tăng lên là $x\in \left(0;5\right)$, khoảng diện giảm đi là $x>5$ và diện tích không đổi khi $x=0$ và $x=5$

Chú ý khi giải:

Vì x là độ dài nên điều kiện hiển nhiên của x là $x>0$.

Bài 7 trang 10 Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng với mọi số thực m ta luôn có $9m^2+2m>-3$

Phương pháp giải

Bước 1: Chuyển bất phương trình tương đương với

Bước 2: Tính $\mathrm{\Delta }$ và chỉ ra dấu của $\mathrm{\Delta }$âm

Bước 3: Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=9m^2+2m+3>0$

Lời giải 

Yêu cầu bài toán tương đương chứng minh $f\left(x\right)=9m^2+2m+3>0$ với mọi m

Tam thức có $\mathrm{\Delta }=2^2-\mathrm{4.9.3}=-104<0$

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có

$\mathrm{\Delta }<0$ và $a=9>0$ nên $f\left(x\right)$ cùng dấu với a với mọi m

Vậy $f\left(x\right)=9m^2+2m+3>0$ với mọi m $\iff 9m^2+2m>-3$với mọi m.

Bài 8 trang 10 Toán 10 Tập 2: Tìm giá trị của m để:

a) $2x^2+3x+m+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$;

b) $m{x}^2+5x-3\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Phương pháp giải 

a)       Bước 1: Tính $\mathrm{\Delta }$ và xác định dấu của a

          Bước 2: $f\left(x\right)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi $a>0$ và $\mathrm{\Delta }<0$

b)       Bước 1: Tính $\mathrm{\Delta }$ và xác định dấu của a

          Bước 2: $f\left(x\right)\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi $a<0$ và $\mathrm{\Delta }\le 0$

Lời giải 

a) Tam thức $2x^2+3x+m+1$ có $\mathrm{\Delta }=3^2-\mathrm{4.2.}\left(m+1\right)=1-8m$

Vì $a=2>0$ nên để $2x^2+3x+m+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }<0\iff 1-8m<0\iff m>\frac{1}{8}$

Vậy khi $m>\frac{1}{8}$ thì $2x^2+3x+m+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

b) Tam thức $m{x}^2+5x-3$ có $\mathrm{\Delta }=5^2-4.m.\left(-3\right)=25+12m$

Đề $m{x}^2+5x-3\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m<0$ và $\mathrm{\Delta }=25+12m\le 0\iff m\le -\frac{25}{12}$

Vậy $m{x}^2+5x-3\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi $m\le -\frac{25}{12}$.