Với Giải SBT Toán 10 Tập 2 trong Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 1 trang 8 SBT Toán 10: Tính biệt thức và nghiệm (nếu có) của tam thức bậc hai sau. Xác định dấu của chúng tại $x=-2$

a) $f\left(x\right)=-2x^2+3x-4$

b) $g\left(x\right)=2x^2+8x+8$

c) $h\left(x\right)=3x^2+7x-10$

Lời giải:

a) Biệt thức của f(x) là $\mathrm{\Delta }=3^2-4.\left(-2\right).\left(-4\right)=-23$

Ta có $\mathrm{\Delta }<0$ nên tam thức bậc hai đã cho vô nghiệm

$f(-2)=-2.(-2{)}^2+3.(-2)-4=-18<0$ nên $f(x)$ âm tại $x=-2$

b) Biệt thức của g(x) là $\mathrm{\Delta }=8^2-\mathrm{4.2.8}=0$

Ta có $\mathrm{\Delta }=0$ nên tam thức bậc hai đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=-2$

Vậy nghiệm của g(x) là $-2$

Do đó $g(-2)=0$ nên $g(x)$ không âm, không dương tại $x=-2$

c) Biệt thức của h(x) là $\mathrm{\Delta }=7^2-\mathrm{4.3.}\left(-10\right)=169$

Ta có $\mathrm{\Delta }>0$ nên tam thức bậc hai đã cho có hai nghiệm là  $x=-\frac{10}{3}$ hoặc $x=1$

Vậy nghiệm của h(x) là $-\frac{10}{3}$ và 1

$h(-2)=3.(-2{)}^2+7.(-2)-10=-12<0$ nên $h(x)$ âm tại $x=-2$

_{a) Biệt thức của f(x) là} \(\Delta  = {3^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right) =  - 23\)

_{Ta có} \(\Delta  < 0\) _{nên tam thức bậc hai đã cho vô nghiệm}

\(f( - 2) =  - 2.{( - 2)^2} + 3.( - 2) - 4 =  - 18 < 0\) _nên $f(x)$ _{âm tại} \(x =  - 2\)

_{b) Biệt thức của g(x) là} \(\Delta  = {8^2} - 4.2.8 = 0\)

_{Ta có} \(\Delta  = 0\) _{nên tam thức bậc hai đã cho có nghiệm kép} \({x_1} = {x_2} =  - 2\)

_{Vậy nghiệm của g(x) là} $-2$

_{Do đó} $g(-2)=0$ _nên $g(x)$ _{không âm, không dương tại} \(x =  - 2\)

_{c) Biệt thức của h(x) là} \(\Delta  = {7^2} - 4.3.\left( { - 10} \right) = 169\)

_{Ta có} \(\Delta  > 0\) _{nên tam thức bậc hai đã cho có hai nghiệm là}  \(x =  - \frac{{10}}{3}\) _hoặc $x=1$

_{Vậy nghiệm của h(x) là} $-\frac{10}{3}$ _{và 1}

\(h( - 2) = 3.{( - 2)^2} + 7.( - 2) - 10 =  - 12 < 0\) _nên $h(x)$ _{âm tại} \(x =  - 2\)

Câu hỏi trang 9 SBT Toán 10

Bài 2 trang 9 SBT Toán 10: Tìm giá trị của tham số m để:

a) $f\left(x\right)=\left(2m-8\right)x^2+2mx+1$ là một tam thức bậc hai

b) $f\left(x\right)=\left(2m+3\right)x^2+3x-4m^2$ là một tam thức bậc hai có $x=3$ là một nghiệm

c) $f\left(x\right)=2x^2+mx-3$ dương tại $x=2$       

Lời giải:

a) f(x) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi  $2m-8\ne 0\iff m\ne 4$

Vậy để $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai thì $m\ne 4$

b) f(x) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi  $2m+3\ne 0\iff m\ne -\frac{3}{2}$

Mặt khác, $x=3$ là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi $f\left(3\right)=0$

hay $f\left(3\right)=\left(2m+3\right){.3}^2+3.3-4m^2=0\iff -4m^2+18m+36=0$

Suy ra $m=-\frac{3}{2}$ hoặc $m=6$

Vậy để $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai và có nghiệm là $x=3$ thì $m=6$

c) Hàm số f(x) có $a=2\ne 0$ nên là tam thức bậc hai

$f\left(x\right)=2x^2+mx-3$ dương tại $x=2$ khi và chỉ khi $f\left(2\right)>0$

hay $f\left(2\right)={2.2}^2+2m-3>0\iff m>-\frac{5}{2}$

Vậy để $f\left(x\right)$ dương tại $x=2$ thì $m>-\frac{5}{2}$

Bài 3 trang 9 SBT Toán 10: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) $f\left(x\right)=\left(m^2+9\right)x^2+\left(m+6\right)x+1$ là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất

b) $f\left(x\right)=\left(m-1\right)x^2+3x+1$ là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt

c) $f\left(x\right)=m{x}^2+\left(m+2\right)x+1$ là một tam thức bậc hai vô nghiệm

Lời giải:

a) Để $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai thì $m^2+9\ne 0$ đúng với mọi $m\in \mathbb{R}$

Mặt khác, tam thức trên có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }=0$

hay ${\left(m+6\right)}^2-4.\left(m^2+9\right)=0\Rightarrow -3m^2+12m=0$ suy ra $m=0$ hoặc $m=4$

Vậy khi $m=0$ hoặc $m=4$ thì $f\left(x\right)=\left(m^2+9\right)x^2+\left(m+6\right)x+1$ là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất

b) Để $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai thì $m-1\ne 0\iff m\ne 1$     (*)

Mặt khác, tam thức trên có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }>0$

hay $3^2-4.\left(m-1\right)>0\Rightarrow -4m+13>0\iff m<\frac{13}{4}$        (**)

Kết hợp (*) và (**) ta được $m\in \left(-\mathrm{\infty };\frac{13}{4}\right)\mathrm{\setminus }1$

Vậy khi $m\in \left(-\mathrm{\infty };\frac{13}{4}\right)\mathrm{\setminus }1$ thì $f\left(x\right)=\left(m-1\right)x^2+3x+1$ là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt

c) Để $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai thì $m\ne 0$           

Mặt khác, tam thức trên vô nghiệm khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }<0$

hay ${\left(m+2\right)}^2-4m<0\Rightarrow m^2+4<0$

Ta có $m^2\ge 0\mathrm{\forall }m\in \mathbb{R}\Rightarrow m^2+4\ge 4>0\mathrm{\forall }m\in \mathbb{R}$,

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 4 trang 9 SBT Toán 10: Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai được cho trong hình dưới đây, xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng:

Lời giải:

a) $f\left(x\right)>0$ dương trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-2,5\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$

   $f\left(x\right)<0$ âm trên khoảng $\left(-2,5;3\right)$

b) $g\left(x\right)>0$ dương với mọi $x\ne -1$

c) $h\left(x\right)<0$ âm với mọi $x\in \mathbb{R}$

Bài 5 trang 9 SBT Toán 10: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) $f\left(x\right)=x^2-5x+4$   

b) $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2+2x-3$

c) $f\left(x\right)=3x^2+6x+4$

d) $f\left(x\right)=-2x^2+3x+5$

e) $f\left(x\right)=-6x^2+3x-1$ 

g) $f\left(x\right)=4x^2+12x+9$

Lời giải:

a) $f\left(x\right)=x^2-5x+4$ có $\mathrm{\Delta }=9>0$ , hai nghiệm phân biết $x_1=1,x_2=4$ và có $a=1>0$

Ta có bảng xét dấu $f\left(x\right)$ như sau:

Vậy $f\left(x\right)$ dương trong hai khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(4;+\mathrm{\infty }\right)$, âm trong khoảng $\left(1;4\right)$

b) $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2+2x-3$ có $\mathrm{\Delta }=0$ , có nghiệm kép $x_1=x_2=3$và có $a=-\frac{1}{3}<0$

Vậy $f\left(x\right)$ âm với mọi $x\ne 3$

c) $f\left(x\right)=3x^2+6x+4$ có $\mathrm{\Delta }=-12<0$ và có $a=3>0$

Vậy $f\left(x\right)$ dương với mọi $x\in \mathbb{R}$

d) $f\left(x\right)=-2x^2+3x+5$ có $\mathrm{\Delta }=49>0$ , hai nghiệm phân biết $x_1=-1,x_2=\frac{5}{2}$ và có $a=-2<0$

Ta có bảng xét dấu $f\left(x\right)$ như sau:

Vậy $f\left(x\right)$ âm trong khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(\frac{5}{2};+\mathrm{\infty }\right)$, dương trong khoảng $\left(-1;\frac{5}{2}\right)$

e) $f\left(x\right)=-6x^2+3x-1$ có $\mathrm{\Delta }=-15<0$ và có $a=-6<0$

Vậy $f\left(x\right)$ âm với mọi $x\in \mathbb{R}$

g) $f\left(x\right)=4x^2+12x+9$ có $\mathrm{\Delta }=0$ , có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{3}{2}$và có $a=4>0$

Vậy $f\left(x\right)$ dương với mọi $x\ne -\frac{3}{2}$

_a) $f\left(x\right)=x^2-5x+4$ _có \(\Delta  = 9 > 0\) _{, hai nghiệm phân biết} $x_1=1,x_2=4$ _{và có} $a=1>0$

_{Ta có bảng xét dấu} $f\left(x\right)$ _{như sau:}

Vậy $f\left(x\right)$ dương trong hai khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(4;+\mathrm{\infty }\right)$, âm trong khoảng $\left(1;4\right)$

b) \(f\left( x \right) =  - \frac{1}{3}{x^2} + 2x - 3\) _có \(\Delta  = 0\) _{, có nghiệm kép} $x_1=x_2=3$_{và có} \(a =  - \frac{1}{3} < 0\)

Vậy $f\left(x\right)$ âm với mọi $x\ne 3$

c) $f\left(x\right)=3x^2+6x+4$ _có \(\Delta  =  - 12 < 0\) _{và có} $a=3>0$

Vậy $f\left(x\right)$ dương với mọi $x\in \mathbb{R}$

d) \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 3x + 5\) _có \(\Delta  = 49 > 0\) _{, hai nghiệm phân biết} \({x_1} =  - 1,{x_2} = \frac{5}{2}\) _{và có} \(a =  - 2 < 0\)

_{Ta có bảng xét dấu} $f\left(x\right)$ _{như sau:}

Vậy $f\left(x\right)$ âm trong khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(\frac{5}{2};+\mathrm{\infty }\right)$, dương trong khoảng $\left(-1;\frac{5}{2}\right)$

e) \(f\left( x \right) =  - 6{x^2} + 3x - 1\) _có \(\Delta  =  - 15 < 0\) _{và có} \(a =  - 6 < 0\)

Vậy $f\left(x\right)$ âm với mọi $x\in \mathbb{R}$

g) $f\left(x\right)=4x^2+12x+9$ _có \(\Delta  = 0\) _{, có nghiệm kép} \({x_1} = {x_2} =  - \frac{3}{2}\)_{và có} $a=4>0$

Vậy $f\left(x\right)$ dương với mọi \(x \ne  - \frac{3}{2}\)

Bài 6 trang 9 SBT Toán 10: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) $f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2+5x+2$ là tam thức bậc hai không đổi dấu trên $\mathbb{R}$

b) $f\left(x\right)=m{x}^2-7x+4$ là tam thức bậc hai âm với mọi $x\in \mathbb{R}$

c) $f\left(x\right)=3x^2-4x+\left(3m-1\right)$là tam thức bậc hai dương với mọi $x\in \mathbb{R}$

d) $f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^2-3mx+1$ là tam thức bậc hai âm với mọi $x\in \mathbb{R}$

Lời giải:

a) $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai khi và khi $m+1\ne 0\iff m\ne -1$

Mặt khác, để tam thức bậc hai không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ , tức là không cắt trục hoành (hay f(x)=0 vô nghiệm) khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }<0$

hay $5^2-4\left(m+1\right).2<0\iff -8m+17<0\iff m>\frac{17}{8}$

Vậy để $f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2+5x+2$ là tam thức bậc hai không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ thì $m>\frac{17}{8}$

b) $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai khi và khi $m\ne 0$

Mặt khác, $f\left(x\right)$ âm với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a<0$ và $\mathrm{\Delta }<0$

hay $\{\begin{array}{l}m<0\\ {\left(-7\right)}^2-4m.4<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<0\\ m>\frac{49}{16}\end{array}$ (Vô lý)

Vậy không có giá trị nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu.

c) $f\left(x\right)$ có $a=3>0$, suy ra $f\left(x\right)$  dương với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }<0$

hay ${\left(-4\right)}^2-\mathrm{4.3.}\left(3m-1\right)<0\iff -36m+28<0\iff m>\frac{7}{9}$

Vậy để $f\left(x\right)=3x^2-4x+\left(3m-1\right)$là tam thức bậc hai dương với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $m>\frac{7}{9}$

d) $f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^2-3mx+1$ có $a=m^2+1>0\mathrm{\forall }m\in \mathbb{R}$

mà để $f\left(x\right)$ âm với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $a<0$ và $\mathrm{\Delta }<0$

Vậy không tồn tại giá trị m để $f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^2-3mx+1$ là tam thức bậc hai âm với mọi $x\in \mathbb{R}$

Câu hỏi trang 10 SBT Toán 10

Bài 7 trang 10 SBT Toán 10: Chứng minh rằng

a) $2x^2+\sqrt{3}x+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

b) $x^2+x+\frac{1}{4}\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

c) $-x^2<-2x+3$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Lời giải:

a) Tam thức $2x^2+\sqrt{3}x+1$ có $\mathrm{\Delta }={\left(\sqrt{3}\right)}^2-4.2=-5<0$ và $a=2>0$

Suy ra $2x^2+\sqrt{3}x+1>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$  (đpcm)

b) Tam thức $x^2+x+\frac{1}{4}$ có $\mathrm{\Delta }=1^2-4.\frac{1}{4}=0$, có nghiệm kép $x=-\frac{1}{2}$ và $a=1>0$

Suy ra $x^2+x+\frac{1}{4}\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$  (đpcm)

c) $-x^2<-2x+3$ với mọi $x\in \mathbb{R}$         $\iff x^2-2x+3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Xét tam thức $x^2-2x+3$ ta có $\mathrm{\Delta }={\left(-2\right)}^2-4.3=-8<0$ và $a=1>0$

Suy ra $x^2-2x+3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$$\iff -x^2<-2x+3$        (đpcm)

Bài 8 trang 10 SBT Toán 10: Xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua ba điểm có tọa độ là $\left(-1;-4\right),\left(0;3\right)$ và $\left(1;-14\right)$

b) Đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua ba điểm có tọa độ là $\left(0;-2\right),\left(2;6\right)$ và $\left(3;13\right)$

c) $f\left(-5\right)=33,f\left(0\right)=3$ và $f\left(2\right)=19$

Lời giải:

a) Giả sử tam thức bậc hai có công thức tổng quát là $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Vì đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua ba điểm có tọa độ là $\left(-1;-4\right),\left(0;3\right)$ và $\left(1;-14\right)$ nên thay tọa độ của ba điểm vào phương trình tổng quát ta có:

$\{\begin{array}{l}-4=a{\left(-1\right)}^2+b\left(-1\right)+c\\ 3=a{.0}^2+b.0+c\\ -14=a{\left(1\right)}^2+b\left(1\right)+c\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a-b+c=-4\\ c=3\\ a+b+c=-14\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-12\\ b=-5\\ c=3\end{array}$

Từ a, b, c đã xác định được ta có $\mathrm{\Delta }=169>0$, tam thức có hai nghiệm phân biệt $x=-\frac{3}{4}$ và $x=\frac{1}{3}$, trong đó $a=-12<0$

Ta có bảng biến thiên sau đây

Vậy tam thức đã cho có dạng là $f\left(x\right)=-12x^2-5x+3$ dương trên khoảng $\left(-\frac{3}{4};\frac{1}{3}\right)$, âm trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-\frac{3}{4}\right)$ và $\left(\frac{1}{3};+\mathrm{\infty }\right)$

b) Giả sử tam thức bậc hai có công thức tổng quát là $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Vì đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua ba điểm có tọa độ là $\left(0;-2\right),\left(2;6\right)$ và $\left(3;13\right)$

 nên thay tọa độ của ba điểm vào phương trình tổng quát ta có:

$\{\begin{array}{l}-2=a{.0}^2+b.0+c\\ 6=a{.2}^2+b.2+c\\ 13=a{.3}^2+b.3+c\end{array}\iff \{\begin{array}{l}c=-2\\ 4a+2b+c=6\\ 9a+3b+c=13\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\\ c=-2\end{array}$

Từ a, b, c đã xác định được ta có $\mathrm{\Delta }=12>0$, tam thức có hai nghiệm phân biệt $x=-1-\sqrt{3}$ và $x=-1+\sqrt{3}$, trong đó $a=1>0$

Ta có bảng biến thiên sau đây

Vậy tam thức đã cho có dạng là $f\left(x\right)=x^2+2x-2$ âm  trên khoảng $\left(-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3}\right)$, dương trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1-\sqrt{3}\right)$ và $\left(-1+\sqrt{3};+\mathrm{\infty }\right)$

c) Giả sử tam thức bậc hai có công thức tổng quát là $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Vì $f\left(-5\right)=33$ nên $a.(-5{)}^2+b.(-5)+c=33$

Vì $f\left(0\right)=3$ nên $a{.0}^2+b.0+c=3$

Vì $f\left(2\right)=19$ nên $a{.2}^2+b.2+c=19$

Từ đó ta có hệ

$\{\begin{array}{l}a.(-5{)}^2+b.(-5)+c=33\\ a{.0}^2+b.0+c=3\\ a{.2}^2+b.2+c=19\end{array}\iff \{\begin{array}{l}25a-5b+c=33\\ c=3\\ 4a+2b+c=19\end{array}\iff \{\begin{array}{l}25a-5b=30\\ 4a+2b=16\\ c=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=4\\ c=3\end{array}$

Vậy $f(x)=2x^2+4x+3$, có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=2^2-2.3=-2<0$ và $a=2>0$nên $f(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.