SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Phương Thảo Ngày: 16-02-2023 Lớp 10

684

Với Giải SBT Toán 10 Tập 2 trong Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10.

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Câu hỏi trang 13 Toán 10

Bài 1 trang 13 SBT Toán 10: $x = 2$ là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

a) $x^{2} - 3 x + 1 > 0$

b) $- 4 x^{2} - 3 x + 5 \leq 0$

c) $2 x^{2} - 5 x + 2 \leq 0$

Lời giải:

a) Thay $x = 2$ vào bất phương trình $x^{2} - 3 x + 1 > 0$ ta có $2^{2} - 3.2 + 1 = - 1 < 0$ nên $x = 2$ không phải là nghiệm của bất phương trình $x^{2} - 3 x + 1 > 0$

b) Thay $x = 2$ vào bất phương trình $- 4 x^{2} - 3 x + 5 \leq 0$ ta có $- {4.2}^{2} - 3.2 + 5 = - 17 < 0$ , đúng nên $x = 2$ là nghiệm của bất phương trình $- 4 x^{2} - 3 x + 5 \leq 0$

c) Thay $x = 2$ vào bất phương trình $2 x^{2} - 5 x + 2 \leq 0$ ta có ${2.2}^{2} - 5.2 + 2 = 0$ , đúng nên $x = 2$ là nghiệm của bất phương trình $2 x^{2} - 5 x + 2 \leq 0$

Bài 2 trang 13 SBT Toán 10: Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai đã cho, hãy nêu tập nghiệm của các bất phương trình bậc hai tương ứng

Lời giải:

a) Phần đồ thị nằm trên trục hoành tương ứng với $x \in (- \frac{5}{2}; 1)$

Do đó $f (x) \geq 0$ khi và chỉ khi $- \frac{5}{2} \leq x \leq 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $f (x) \geq 0$ là $[- \frac{5}{2}; 1]$

b) Dễ thấy toàn bộ đồ thị đều nằm phía trên trục hoành, do đó $f (x) > 0$ với mọi $x \in R$ . Vậy tập nghiệm của bất phương trình $f (x) < 0$ là $\emptyset$

c) Phần đồ thị nằm trên trục hoành tương ứng với $x \in R ∖ (3; 4)$

Do đó $f (x) > 0$ khi và chỉ khi $x < 3$ hoặc $x > 4$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $f (x) > 0$ là $(- \infty; 3) \cup (4; + \infty)$

d) Dễ thấy đồ thị nằm phía dưới trục hoành và cắt trục hoành tại (-1;0)

Do đó $f (x) < 0$ khi và chỉ khi $x \neq - 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $f (x) < 0$ là $R ∖ {- 1}$

e) Dễ thấy đồ thị nằm phía trên trục hoành và cắt trục hoành tại $(\frac{5}{2}; 0)$

Do đó $f (x) > 0$ với mọi $x \neq \frac{5}{2}$ và $f (x) = 0$ tại $x = \frac{5}{2}$

Suy ra $f (x) \leq 0 \Leftrightarrow f (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $f (x) \leq 0$ là ${\frac{5}{2}}$

g) Phần đồ thị nằm trên trục hoành tương ứng với $x \in (- \infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{7}{2}; + \infty)$

$f (x) = 0$ khi và chỉ khi $x = \frac{3}{2}$ hoặc $x = \frac{7}{2}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $f (x) \geq 0$ là $(- \infty; \frac{3}{2}] \cup [\frac{7}{2}; + \infty)$

Bài 3 trang 14 SBT Toán 10: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $- 9 x^{2} + 16 x + 4 \leq 0$

b) $6 x^{2} - 13 x - 33 < 0$

c) $7 x^{2} - 36 x + 5 \leq 0$

d) $- 9 x^{2} + 6 x - 1 \geq 0$

e) $49 x^{2} + 56 x + 16 > 0$

g) $- 2 x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai $- 9 x^{2} + 16 x + 4$ có $a = - 9 < 0$ và hai nghiệm $x_{1} = - \frac{2}{9}$ và $x_{2} = 2$ , nên $- 9 x^{2} + 16 x + 4 \leq 0$ khi và chỉ khi $x \leq - \frac{2}{9}$ hoặc $x \geq 2$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $(- \infty; - \frac{2}{9}] \cup [2; + \infty)$

b) Tam thức bậc hai $6 x^{2} - 13 x - 33$ có $a = 6 > 0$ và hai nghiệm $x_{1} = - \frac{3}{2}$ và $x_{2} = \frac{11}{3}$ , nên $6 x^{2} - 13 x - 33 < 0$ khi và chỉ khi $- \frac{3}{2} < x < \frac{11}{3}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $(- \frac{3}{2}; \frac{11}{3})$

c)Tam thức bậc hai $7 x^{2} - 36 x + 5$ có $a = 7 > 0$ và hai nghiệm $x_{1} = \frac{1}{7}$ và $x_{2} = 5$ , nên $7 x^{2} - 36 x + 5 \leq 0$ khi và chỉ khi $\frac{1}{7} \leq x \leq 5$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $[\frac{1}{7}; 5]$

d) Tam thức bậc hai $- 9 x^{2} + 6 x - 1$ có $a = - 9 < 0$ và có nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{3}$ , nên $- 9 x^{2} + 6 x - 1 \leq 0$ với mọi $x \in R$

Vậy bất phương trình $- 9 x^{2} + 6 x - 1 \geq 0$ có tập nghiệm là ${\frac{1}{3}}$

e) Tam thức bậc hai $49 x^{2} + 56 x + 16$ có $a = 49 > 0$ có nghiệm duy nhất $x = - \frac{4}{7}$ , nên $49 x^{2} + 56 x + 16 > 0$ với mọi $x \neq - \frac{4}{7}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $R ∖ {- \frac{4}{7}}$

g) Tam thức bậc hai $- 2 x^{2} + 3 x - 2$ có $a = - 2 < 0$ và $Δ = - 7 < 0$ nên $- 2 x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$ với mọi $x \in R$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $R$

Câu hỏi trang 14 Toán 10

Bài 4 trang 14 SBT Toán 10: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $x^{2} - 3 x < 4$

b) $0 < 2 x^{2} - 11 x - 6$

c) $- 2 {(2 x + 3)}^{2} + 4 x + 30 \leq 0$

d) $- 3 (x^{2} - 4 x - 1) \leq x^{2} - 8 x + 28$

e) $2 {(x - 1)}^{2} \geq 3 x^{2} + 6 x + 27$

g) $2 {(x + 1)}^{2} + 9 (- x + 2) < 0$

Lời giải:

a) Ta có $x^{2} - 3 x < 4 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 4 < 0$

Xét tam thức bậc hai $x^{2} - 3 x - 4$ có $a = 1 > 0$ và có hai nghiệm là $x_{1} = - 1$ và $x_{2} = 4$ , nên $x^{2} - 3 x - 4 < 0$ khi và chỉ khi $- 1 < x < 4$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $(- 1; 4)$

b) Ta có $0 < 2 x^{2} - 11 x - 6 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 11 x - 6 > 0$

Xét tam thức bậc hai $2 x^{2} - 11 x - 6$ có $a = 2 > 0$ và có hai nghiệm là $x_{1} = - \frac{1}{2}$ và $x_{2} = 6$ , nên $2 x^{2} - 11 x - 6 > 0$ khi và chỉ khi $x < - \frac{1}{2}$ hoặc $x > 6$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $(- \infty; - \frac{1}{2}) \cup (6; + \infty)$

c) Ta có $- 2 {(2 x + 3)}^{2} + 4 x + 30 \leq 0 \Leftrightarrow - 8 x^{2} - 20 x + 12 \leq 0$

Xét tam thức bậc hai $- 8 x^{2} - 20 x + 12$ có $a = - 8 < 0$ và có hai nghiệm là $x_{1} = - 3$ và $x_{2} = \frac{1}{2}$ , nên $- 8 x^{2} - 20 x + 12 \leq 0$ khi và chỉ khi $x \leq - 3$ hoặc $x \geq \frac{1}{2}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $(- \infty; - 3] \cup [\frac{1}{2}; + \infty)$

d) Ta có $- 3 (x^{2} - 4 x - 1) \leq x^{2} - 8 x + 28 \Leftrightarrow 4 x^{2} - 20 x + 25 \geq 0$

Xét tam thức bậc hai $4 x^{2} - 20 x + 25 \geq 0$ có $a = 4 > 0$ và nghiệm duy nhất là $x = \frac{5}{2}$ nên $4 x^{2} - 20 x + 25 \geq 0$ với mọi $x \in R$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $R$

e) Ta có $2 {(x - 1)}^{2} \geq 3 x^{2} + 6 x + 27 \Leftrightarrow x^{2} + 10 x + 25 \leq 0$

Xét tam thức bậc hai $x^{2} + 10 x + 25 \leq 0$ có $a = 1 > 0$ và nghiệm duy nhất là $x = - 5$ nên $x^{2} + 10 x + 25 \leq 0$ khi và chỉ khi $x = - 5$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ${- 5}$

g) Ta có $2 {(x + 1)}^{2} + 9 (- x + 2) < 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 5 x + 20 < 0$

Xét tam thức bậc hai $2 x^{2} - 5 x + 20$ có $a = 2 > 0$ và $Δ = - 135 < 0$ nên $2 x^{2} - 5 x + 20$ luôn lớn hơn không với mọi x

Vậy bất phương trình vô nghiệm

Bài 5 trang 14 SBT Toán 10: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{15 x^{2} + 8 x - 12}$

b) $y = \frac{x - 1}{\sqrt{- 11 x^{2} + 30 x - 16}}$

c) $y = \frac{1}{x - 2} - \sqrt{- x^{2} + 5 x - 6}$

d) $y = \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} - \sqrt{6 x^{2} - 5 x - 21}$

Lời giải:

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi $15 x^{2} + 8 x - 12 \geq 0$ .

Tam thức $15 x^{2} + 8 x - 12$ có $a = 15 > 0$ và có hai nghiệm là $x = - \frac{6}{5}$ hoặc $x = \frac{2}{3}$ .

Do đó $15 x^{2} + 8 x - 12 \geq 0$ khi $x \leq - \frac{6}{5}$ hoặc $x \geq \frac{2}{3}$

Vậy tập xác định của hàm số là $(- \infty; - \frac{6}{5}] \cup [\frac{2}{3}; + \infty)$

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi $- 11 x^{2} + 30 x - 16 > 0$ ,

Tam thức $- 11 x^{2} + 30 x - 16$ có $a = - 11 < 0$ và có hai nghiệm là $x = \frac{8}{11}$ hoặc $x = 2$ .

Do đó $- 11 x^{2} + 30 x - 16 > 0$ khi $\frac{8}{11} < x < 2$

Vậy tập xác định của hàm số là $(\frac{8}{11}; 2)$

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi ${\begin{cases} x - 2 \neq 0 \\ - x^{2} + 5 x - 6 \geq 0 \end{cases}$

Tam thức $- x^{2} + 5 x - 6$ có $a = - 1 < 0$ và có hai nghiệm là $x = 2$ hoặc $x = 3$ .

Do đó $- x^{2} + 5 x - 6 \geq 0$ khi $2 \leq x \leq 3$

Suy ra ${\begin{cases} x - 2 \neq 0 \\ - x^{2} + 5 x - 6 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x \neq 2 \\ 2 \leq x \leq 3 \end{cases} \Leftrightarrow 2 < x \leq 3$

Vậy tập xác định của hàm số là $(2; 3]$

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi ${\begin{cases} 2 x + 1 > 0 \\ 6 x^{2} - 5 x - 21 \geq 0 \end{cases}$

Tam thức $6 x^{2} - 5 x - 21$ có $a = 6 > 0$ và có hai nghiệm là $x = - \frac{3}{2}$ hoặc $x = \frac{7}{3}$ .

Do đó $6 x^{2} - 5 x - 21 \geq 0$ khi $[\begin{array}{l} x \leq - \frac{3}{2} \\ x \geq \frac{7}{3} \end{array}$

Suy ra ${\begin{cases} 2 x + 1 > 0 \\ 6 x^{2} - 5 x - 21 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > - \frac{1}{2} \\ [\begin{array}{l} x \leq - \frac{3}{2} \\ x \geq \frac{7}{3} \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow x \geq \frac{7}{3}$

Vậy tập xác định của hàm số là $[\frac{7}{3}; + \infty)$ a

Bài 6 trang 14 SBT Toán 10: Tìm giá trị của tham số m để:

a) $x = 3$ là một nghiệm của bất phương trình $(m^{2} - 1) x^{2} + 2 m x - 15 \leq 0$

b) $x = - 1$ là một nghiệm của bất phương trình $m x^{2} - 2 x + 1 > 0$

c) $x = \frac{5}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình $4 x^{2} + 2 m x - 5 m \leq 0$

d) $x = - 2$ là một nghiệm của bất phương trình $(2 m - 3) x^{2} - (m^{2} + 1) x \geq 0$

e) $x = m + 1$ là một nghiệm của bất phương trình $2 x^{2} + 2 m x - m^{2} - 2 < 0$

Lời giải:

a) $x = 3$ là nghiệm của bất phương trình $(m^{2} - 1) x^{2} + 2 m x - 15 \leq 0$ khi và chỉ khi:

$(m^{2} - 1) {.3}^{2} + 2 m .3 - 15 \leq 0 \Leftrightarrow 9 m^{2} + 6 m - 24 \leq 0$

Tam thức $9 m^{2} + 6 m - 24$ có $a = 9 > 0$ và hai nghiệm là $m = - 2$ và $m = \frac{4}{3}$

Do đó $9 m^{2} + 6 m - 24 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq \frac{4}{3}$

Vậy $m \in [- 2; \frac{4}{3}]$

b) $x = - 1$ là nghiệm của bất phương trình $m x^{2} - 2 x + 1 > 0$ khi và chỉ khi:

$m . {(- 1)}^{2} - 2. (- 1) + 1 > 0 \Leftrightarrow m + 3 > 0 \Leftrightarrow m > - 3$

Vậy khi $m \in (- 3; + \infty)$

c) $x = \frac{5}{2}$ là nghiệm của bất phương trình $4 x^{2} + 2 m x - 5 m \leq 0$ khi và chỉ khi:

$4. {(\frac{5}{2})}^{2} + 2 m . (\frac{5}{2}) - 5 m \leq 0 \Leftrightarrow 25 \leq 0$ (vô lí)

Vậy không có m thỏa mãn yêu cầu

d) $x = - 2$ là nghiệm của bất phương trình $(2 m - 3) x^{2} - (m^{2} + 1) x \geq 0$ khi và chỉ khi:

$(2 m - 3) . {(- 2)}^{2} - (m^{2} + 1) . (- 2) \geq 0 \Leftrightarrow 2 m^{2} + 8 m - 10 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 5 \\ m \geq 1 \end{array}$

Vậy $m \in (- \infty; - 5] \cup [1; + \infty)$

e) $x = m + 1$ là nghiệm của bất phương trình $2 x^{2} + 2 m x - m^{2} - 2 < 0$ khi và chỉ khi:

$2. {(m + 1)}^{2} + 2 m . (m + 1) - m^{2} - 2 < 0 \Leftrightarrow 3 m^{2} + 6 m < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 0$

Vậy $m \in (- 2; 0)$

Bài 7 trang 14 SBT Toán 10: Với giá trị nào của tham số m thì:

a) Phương trình $4 x^{2} + 2 (m - 2) x + m^{2} = 0$ có nghiệm

b) Phương trình $(m + 1) x^{2} + 2 m x - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt

c) Phương trình $m x^{2} + (m + 1) x + 3 m + 10 = 0$ vô nghiệm

d) Bất phương trình $2 x^{2} + (m + 2) x + (2 m - 4) \geq 0$ có tập nghiệm là $R$

e) Bất phương trình $- 3 x^{2} + 2 m x + m^{2} \geq 0$ có tập nghiệm là $R$

Phương pháp giải:

a, b, c)

Bước 1: Tính $Δ = b^{2} - 4 a c$ hoặc $Δ^{'} = b^{' 2} - a c$ với $b = 2 b^{'}$

Bước 2:

+) phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ > 0$

+) phương trình có 1 nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow Δ = 0$

+) phương tình vô nghiệm $\Leftrightarrow Δ < 0$

Bước 3: Xét dấu tam thức bậc hai và kết luận.

d, e) $f (x) \geq 0 \forall x \in R \Leftrightarrow {\begin{cases} a > 0 \\ Δ \leq 0 \end{cases}$

Lời giải:

a) Phương trình $4 x^{2} + 2 (m - 2) x + m^{2} = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi $Δ^{'} \geq 0$

hay ${(m - 2)}^{2} - 4 m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - 3 m^{2} - 4 m + 4 \geq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq \frac{2}{3}$

Vậy $m \in [- 2; \frac{2}{3}]$

b) Phương trình $(m + 1) x^{2} + 2 m x - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ${\begin{cases} Δ^{'} > 0 \\ m + 1 \neq 0 \end{cases}$ , hay $m^{2} - (m + 1) . (- 4) > 0 \Leftrightarrow m^{2} + 4 m + 4 > 0$ và $m \neq - 1$

mà $m^{2} + 4 m + 4 > 0 \forall m \neq - 2$

Vậy với $m \in R ∖ {- 2; - 1}$ thì phương trình $(m + 1) x^{2} + 2 m x - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt

c) Phương trình $m x^{2} + (m + 1) x + 3 m + 10 = 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $Δ < 0$

hay ${(m + 1)}^{2} - 4 m (3 m + 10) < 0 \Leftrightarrow - 11 m^{2} - 38 m + 1 < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < \frac{- 19 - 2 \sqrt{93}}{11} \\ x > \frac{- 19 + 2 \sqrt{93}}{11} \end{array}$

Vậy khi $m \in (- \infty; \frac{- 19 - 2 \sqrt{93}}{11}) \cup (\frac{- 19 + 2 \sqrt{93}}{11}; + \infty)$ thì phương trình $m x^{2} + (m + 1) x + 3 m + 10 = 0$ vô nghiệm

d) Bất phương trình $2 x^{2} + (m + 2) x + (2 m - 4) \geq 0$ có tập nghiệm là R

$\Leftrightarrow 2 x^{2} + (m + 2) x + (2 m - 4) \geq 0 \forall x \in R$

Vì $a = 2 > 0$ nên để bất phương trình có tập nghiệm trên $R$ khi và chỉ khi $Δ \leq 0$

hay ${(m + 2)}^{2} - 4.2 (2 m - 4) < 0 \Leftrightarrow m^{2} - 12 m + 36 \leq 0 \Leftrightarrow m = 6$

Vậy $m = 6$

e) Bất phương trình $- 3 x^{2} + 2 m x + m^{2} \geq 0$ có tập nghiệm là R

$\Leftrightarrow - 3 x^{2} + 2 m x + m^{2} \geq 0 \forall x \in R$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} a = - 3 > 0 \\ Δ \leq 0 \end{cases}$ (Vô lí)

Do đó bất phương trình không thể có tập nghiệm là $R$

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu

Bài 8 trang 14 SBT Toán 10: Lợi nhuận thu được từ việc sản xuất và bán x sản phẩm thủ công của một cửa hàng là:

$I (x) = - 0, 1 x^{2} + 235 x - 70000$

Với I được tính bằng đơn vị nghìn đồng. Với số lượng sản phẩm bán ra là bao nhiêu thì cửa hàng có lãi?

Lời giải:

Ta biết cửa hàng có lãi khi và chỉ khi $I (x) > 0 \Leftrightarrow - 0, 1 x^{2} + 235 x - 70000 > 0$

Xét tam thức bậc hai $- 0, 1 x^{2} + 235 x - 70000$ có $a = - 0, 1 < 0$ và hai nghiệm là $x = 350$ và $x = 2000$

Do đó $- 0, 1 x^{2} + 235 x - 70000 > 0 \Leftrightarrow 350 < x < 2000$

Vậy khi số lượng sản phẩm sản xuất và bán ra từ 351 đến 1999 thì của hàng trên có lãi.

Câu hỏi trang 15 Toán 10

Bài 9 trang 15 SBT Toán 10: Một quả bóng được nắm thẳng lên từ độ cao $h_{_{0}}$ (m) với vận tốc $v_{0}$ (m/s). Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau t (s) được cho bởi hàm số

$h (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} t + h_{0}$ với $g = 10$ (m/s²) là gia tốc trọng tường

a) Tính $h_{_{0}}$ và $v_{0}$ biết độ cao của quả bóng sau 0,5 giây và 1 giây lần lượt là 4,75 m và 5 m.

b) Quả bóng có thể đạt được độ cao trên 4 m không? Nếu có thì trong thời gian bao lâu?

c) Cúng ném từ độ cao $h_{_{0}}$ như trên, nếu muốn độ cao của bóng sau 1 giây trong khoảng từ 2 m đến 3 m thì vận tốc ném bóng $v_{0}$ cần là bao nhiêu?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Thay $g = 10$ ta được $h (t) = - 5 t^{2} + v_{0} t + h_{0}$

Độ cao h của quả bóng tại thời điểm khi ném 0,5 giây và 1 giây lần lượt là 4,75 m và 5 m ta được:

${\begin{cases} 4, 75 = - 5. {(0, 5)}^{2} + v_{0} (0, 5) + h_{0} \\ 5 = - {5.1}^{2} + v_{0} .1 + h_{0} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 0, 5 v_{0} + h_{0} = 6 \\ v_{0} + h = 10 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} v_{0} = 8 \\ h_{0} = 2 \end{cases}$

Vậy $h_{_{0}} = 2 m$ và $v_{0} = 8 m / s$ , $h (t) = - 5 t^{2} + 8 t + 2$

b) Bóng cao trên 4 m tương đương $h (t) > 4 \Leftrightarrow - 5 t^{2} + 8 t + 2 > 4$

$\Leftrightarrow - 5 t^{2} + 8 t - 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{4 - \sqrt{6}}{5} < t < \frac{4 + \sqrt{6}}{5}$

Khoảng thời gian bóng cao trên 4 m là: $\frac{4 + \sqrt{6}}{5} - \frac{4 - \sqrt{6}}{5} = \frac{2 \sqrt{6}}{5} \approx 0, 98$

Vậy bóng đạt độ cao trên 4 m trong khoảng thời gian gần bằng 0,98 giây

c) Để quả bóng có độ cao sau 1 giây trong khoảng 2 m đến 3 m khi và chỉ khi $2 < h (1) < 3 \Leftrightarrow 2 < - {5.1}^{2} + v_{0} + 2 < 3 \Leftrightarrow 5 < v_{0} < 6$

Vậy vận tốc ném ban đầu nằm trong khoảng 5m/s đến 6 m/s

Bài 10 trang 15 SBT Toán 10: Từ độ cao $y_{0}$ mét, một quả bóng được ném lên xiên một góc $α$ so với phương ngang với vạn tốc đầu $v_{0}$ có phương trình chuyển động

$y = \frac{- g}{2 {v_{0}}^{2} \cos^{2} α} x^{2} + (\tan α) x + y_{0}$ với $g = 10$ m/s²

a) Viết phương trình chuyển động của quả bóng nếu $α = 30^{\circ}, y_{0} = 2$ m và $v_{0} = 7$ m/s

b) Để ném được quả bóng qua bức tường cao 2,5 m thì người ném phải đứng cách tường bao xa?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm

Lời giải:

a) Thay $α = 30^{\circ}, y_{0} = 2$ m và $v_{0} = 7$ m/s vào phương trình chuyển động ta có :

$y = \frac{- 10}{{2.7}^{2} \cos^{2} 30^{\circ}} x^{2} + (\tan 30^{\circ}) x + 2 = - \frac{20}{147} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2$

b) Để ném quả bóng qua bước tường cao 2,5 mét thì $y > 2, 5 \Leftrightarrow - \frac{20}{147} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2 > 2, 5 \Leftrightarrow - \frac{20}{147} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} x - 0, 5 > 0$

Tam thức bậc hai $- \frac{20}{147} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} x - 0, 5$ có a<0 và hai nghiệm là $x = \frac{7 \sqrt{3}}{10}$ và $x = \frac{7 \sqrt{3}}{4}$

Do đó $- \frac{20}{147} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} x - 0, 5 > 0 \Leftrightarrow x \in (\frac{7 \sqrt{3}}{10}; \frac{7 \sqrt{3}}{4})$

$\frac{7 \sqrt{3}}{10} \approx 1, 21; \frac{7 \sqrt{3}}{4} \approx 3, 03$

Vậy người ném bóng cần đứng cách tường khoảng 1,21 m đến 3,03 m

Bài 11 trang 15 SBT Toán 10: Một hình chữ nhật có chu vi bằng 20 cm. Để tính diện tích hình chữ nhật lớn hơn hoặc bằng 15 cm² thì chiều rộng của hình chữ nhật nằm trong khoảng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi x là chiều rộng của hình chữ nhật (đơn vị: cm)

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là $10 - x$

Ta có $0 < x \leq 10 - x \Leftrightarrow 0 < x \leq 5$ (1)

Diện tích hình chữ nhật là $S = x (10 - x)$

Theo giả thiết ta có $S = x (10 - x) \geq 15 \Leftrightarrow - x^{2} + 10 x - 15 \geq 0 \Leftrightarrow 5 - \sqrt{10} \leq x \leq 5 + \sqrt{10}$ (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có: $5 - \sqrt{10} \leq x \leq 5$

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật nằm trong khoảng 1,84 cm đến 5 cm.

Bài 12 trang 15 SBT Toán 10: Thiết kế của một chiếc cổng có hình parabol với chiều cao 5 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m.

a) Chọn trục hoành là đường thẳng nối hai chân cổng, gốc tọa độ tại một chân cổng, chân cổng còn lại có hoành độ dương, đơn vị là 1 m. Hãy viết phương trình của vòm cổng.

b) Người ta cần chuyền một thùng hàng hình hộp chữ nhật với chiều cao 3 m. Chiều rộng của thùng hàng tối đa là bao nhiêu để thùng có thể chuyển lọt qua được cổng?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm

Lời giải:

a) Giả sử phương trình mô tả cổng có dạng $y = a x^{2} + b x + c$

Từ cách đặt hệ trục ta có:

+) Gốc tọa độ tại chân cổng nên $0 = a {.0}^{2} + b .0 + c \Leftrightarrow c = 0$

+) Chân cổng còn lại có hoành độ bằng khoảng cách 2 chân cổng là 4 m nên $0 = a {.4}^{2} + b .4 + c \Leftrightarrow 16 a + 4 b + c = 0$

+) Đỉnh cổng có tọa độ (2;5) nên $5 = a {.2}^{2} + b .2 + c \Leftrightarrow 4 a + 2 b + c = 5$

Giải hệ phương trình lập được từ ba phương trình trên ta được $a = - \frac{5}{4}; b = 5; c = 0$

Vậy phương trình vòm cổng là $y = - \frac{5}{4} x^{2} + 5 x$

b) Yêu cầu bài toán tương đương với tìm các giá trị của x để $y \geq 3$

$\Leftrightarrow - \frac{5}{4} x^{2} + 5 x \geq 3 \Leftrightarrow - \frac{5}{4} x^{2} + 5 x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{10 - 2 \sqrt{10}}{5} x \leq \frac{10 + 2 \sqrt{10}}{5}$

Suy ra chiều rộng tối đa mà thùng hàng có thể qua cổng là $\frac{10 + 2 \sqrt{10}}{5} - \frac{10 - 2 \sqrt{10}}{5} = \frac{4 \sqrt{10}}{5} \approx 2, 53$