SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 15 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Giang Ngày: 16-02-2023 Lớp 10

490

Với giải Câu hỏi trang 13 SBT Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo trong Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Nội dung bài viết

Bài 9 trang 15 SBT Toán 10
Bài 10 trang 15 SBT Toán 10
Bài 11 trang 15 SBT Toán 10
Bài 12 trang 15 SBT Toán 10

SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 15 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 9 trang 15 SBT Toán 10: Một quả bóng được nắm thẳng lên từ độ cao $h_{_{0}}$ $h_{_{0}}$ (m) với vận tốc $v_{0}$ $v_{0}$ (m/s). Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau t (s) được cho bởi hàm số

$h (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} t + h_{0}$ $h (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} t + h_{0}$ với $g = 10$ $g = 10$ (m/s²) là gia tốc trọng tường

a) Tính $h_{_{0}}$ $h_{_{0}}$ và $v_{0}$ $v_{0}$ biết độ cao của quả bóng sau 0,5 giây và 1 giây lần lượt là 4,75 m và 5 m.

b) Quả bóng có thể đạt được độ cao trên 4 m không? Nếu có thì trong thời gian bao lâu?

c) Cúng ném từ độ cao $h_{_{0}}$ $h_{_{0}}$ như trên, nếu muốn độ cao của bóng sau 1 giây trong khoảng từ 2 m đến 3 m thì vận tốc ném bóng $v_{0}$ $v_{0}$ cần là bao nhiêu?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Thay $g = 10$ $g = 10$ ta được $h (t) = - 5 t^{2} + v_{0} t + h_{0}$ $h (t) = - 5 t^{2} + v_{0} t + h_{0}$

Độ cao h của quả bóng tại thời điểm khi ném 0,5 giây và 1 giây lần lượt là 4,75 m và 5 m ta được:

${\begin{cases} 4, 75 = - 5. {(0, 5)}^{2} + v_{0} (0, 5) + h_{0} \\ 5 = - {5.1}^{2} + v_{0} .1 + h_{0} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 0, 5 v_{0} + h_{0} = 6 \\ v_{0} + h = 10 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} v_{0} = 8 \\ h_{0} = 2 \end{cases}$

Vậy $h_{_{0}} = 2 m$ và $v_{0} = 8 m / s$ , $h (t) = - 5 t^{2} + 8 t + 2$

b) Bóng cao trên 4 m tương đương $h (t) > 4 \Leftrightarrow - 5 t^{2} + 8 t + 2 > 4$

$\Leftrightarrow - 5 t^{2} + 8 t - 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{4 - \sqrt{6}}{5} < t < \frac{4 + \sqrt{6}}{5}$

Khoảng thời gian bóng cao trên 4 m là: $\frac{4 + \sqrt{6}}{5} - \frac{4 - \sqrt{6}}{5} = \frac{2 \sqrt{6}}{5} \approx 0, 98$

Vậy bóng đạt độ cao trên 4 m trong khoảng thời gian gần bằng 0,98 giây

c) Để quả bóng có độ cao sau 1 giây trong khoảng 2 m đến 3 m khi và chỉ khi $2 < h (1) < 3 \Leftrightarrow 2 < - {5.1}^{2} + v_{0} + 2 < 3 \Leftrightarrow 5 < v_{0} < 6$

Vậy vận tốc ném ban đầu nằm trong khoảng 5m/s đến 6 m/s

Bài 10 trang 15 SBT Toán 10: Từ độ cao $y_{0}$ mét, một quả bóng được ném lên xiên một góc $α$ so với phương ngang với vạn tốc đầu $v_{0}$ có phương trình chuyển động

$y = \frac{- g}{2 {v_{0}}^{2} \cos^{2} α} x^{2} + (\tan α) x + y_{0}$ với $g = 10$ m/s²

a) Viết phương trình chuyển động của quả bóng nếu $α = 30^{\circ}, y_{0} = 2$ m và $v_{0} = 7$ m/s

b) Để ném được quả bóng qua bức tường cao 2,5 m thì người ném phải đứng cách tường bao xa?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm

Lời giải:

a) Thay $α = 30^{\circ}, y_{0} = 2$ m và $v_{0} = 7$ m/s vào phương trình chuyển động ta có :

$y = \frac{- 10}{{2.7}^{2} \cos^{2} 30^{\circ}} x^{2} + (\tan 30^{\circ}) x + 2 = - \frac{20}{147} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2$

b) Để ném quả bóng qua bước tường cao 2,5 mét thì $y > 2, 5 \Leftrightarrow - \frac{20}{147} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2 > 2, 5 \Leftrightarrow - \frac{20}{147} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} x - 0, 5 > 0$

Tam thức bậc hai $- \frac{20}{147} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} x - 0, 5$ có a<0 và hai nghiệm là $x = \frac{7 \sqrt{3}}{10}$ và $x = \frac{7 \sqrt{3}}{4}$

Do đó $- \frac{20}{147} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} x - 0, 5 > 0 \Leftrightarrow x \in (\frac{7 \sqrt{3}}{10}; \frac{7 \sqrt{3}}{4})$

$\frac{7 \sqrt{3}}{10} \approx 1, 21; \frac{7 \sqrt{3}}{4} \approx 3, 03$

Vậy người ném bóng cần đứng cách tường khoảng 1,21 m đến 3,03 m

Bài 11 trang 15 SBT Toán 10: Một hình chữ nhật có chu vi bằng 20 cm. Để tính diện tích hình chữ nhật lớn hơn hoặc bằng 15 cm² thì chiều rộng của hình chữ nhật nằm trong khoảng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi x là chiều rộng của hình chữ nhật (đơn vị: cm)

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là $10 - x$

Ta có $0 < x \leq 10 - x \Leftrightarrow 0 < x \leq 5$ (1)

Diện tích hình chữ nhật là $S = x (10 - x)$

Theo giả thiết ta có $S = x (10 - x) \geq 15 \Leftrightarrow - x^{2} + 10 x - 15 \geq 0 \Leftrightarrow 5 - \sqrt{10} \leq x \leq 5 + \sqrt{10}$ (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có: $5 - \sqrt{10} \leq x \leq 5$

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật nằm trong khoảng 1,84 cm đến 5 cm.

Bài 12 trang 15 SBT Toán 10: Thiết kế của một chiếc cổng có hình parabol với chiều cao 5 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m.

a) Chọn trục hoành là đường thẳng nối hai chân cổng, gốc tọa độ tại một chân cổng, chân cổng còn lại có hoành độ dương, đơn vị là 1 m. Hãy viết phương trình của vòm cổng.

b) Người ta cần chuyền một thùng hàng hình hộp chữ nhật với chiều cao 3 m. Chiều rộng của thùng hàng tối đa là bao nhiêu để thùng có thể chuyển lọt qua được cổng?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm

Lời giải:

a) Giả sử phương trình mô tả cổng có dạng $y = a x^{2} + b x + c$

Từ cách đặt hệ trục ta có:

+) Gốc tọa độ tại chân cổng nên $0 = a {.0}^{2} + b .0 + c \Leftrightarrow c = 0$

+) Chân cổng còn lại có hoành độ bằng khoảng cách 2 chân cổng là 4 m nên $0 = a {.4}^{2} + b .4 + c \Leftrightarrow 16 a + 4 b + c = 0$

+) Đỉnh cổng có tọa độ (2;5) nên $5 = a {.2}^{2} + b .2 + c \Leftrightarrow 4 a + 2 b + c = 5$

Giải hệ phương trình lập được từ ba phương trình trên ta được $a = - \frac{5}{4}; b = 5; c = 0$

Vậy phương trình vòm cổng là $y = - \frac{5}{4} x^{2} + 5 x$

b) Yêu cầu bài toán tương đương với tìm các giá trị của x để $y \geq 3$

$\Leftrightarrow - \frac{5}{4} x^{2} + 5 x \geq 3 \Leftrightarrow - \frac{5}{4} x^{2} + 5 x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{10 - 2 \sqrt{10}}{5} x \leq \frac{10 + 2 \sqrt{10}}{5}$

Suy ra chiều rộng tối đa mà thùng hàng có thể qua cổng là $\frac{10 + 2 \sqrt{10}}{5} - \frac{10 - 2 \sqrt{10}}{5} = \frac{4 \sqrt{10}}{5} \approx 2, 53$