Bài 4 trang 14 SBT Toán 10: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $x^2-3x<4$     

b) $0<2x^2-11x-6$

c) $-2{\left(2x+3\right)}^2+4x+30\le 0$   

d) $-3\left(x^2-4x-1\right)\le x^2-8x+28$

e) $2{\left(x-1\right)}^2\ge 3x^2+6x+27$   

g) $2{\left(x+1\right)}^2+9\left(-x+2\right)<0$

Lời giải:

a) Ta có $x^2-3x<4\iff x^2-3x-4<0$

Xét tam thức bậc hai $x^2-3x-4$ có $a=1>0$ và có hai nghiệm là $x_1=-1$ và $x_2=4$, nên $x^2-3x-4<0$ khi và chỉ khi $-1<x<4$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $\left(-1;4\right)$

b) Ta có $0<2x^2-11x-6\iff 2x^2-11x-6>0$

Xét tam thức bậc hai $2x^2-11x-6$ có $a=2>0$ và có hai nghiệm là $x_1=-\frac{1}{2}$ và $x_2=6$, nên $2x^2-11x-6>0$ khi và chỉ khi $x<-\frac{1}{2}$ hoặc $x>6$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $\left(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}\right)\cup \left(6;+\mathrm{\infty }\right)$

c) Ta có $-2{\left(2x+3\right)}^2+4x+30\le 0\iff -8x^2-20x+12\le 0$

Xét tam thức bậc hai $-8x^2-20x+12$ có $a=-8<0$ và có hai nghiệm là $x_1=-3$ và $x_2=\frac{1}{2}$, nên $-8x^2-20x+12\le 0$ khi và chỉ khi $x\le -3$ hoặc $x\ge \frac{1}{2}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $\left(-\mathrm{\infty };-3\right]\cup \left[\frac{1}{2};+\mathrm{\infty }\right)$

d) Ta có $-3\left(x^2-4x-1\right)\le x^2-8x+28\iff 4x^2-20x+25\ge 0$

Xét tam thức bậc hai $4x^2-20x+25\ge 0$ có $a=4>0$ và  nghiệm duy nhất là $x=\frac{5}{2}$ nên $4x^2-20x+25\ge 0$  với mọi $x\in \mathbb{R}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $\mathbb{R}$

e) Ta có $2{\left(x-1\right)}^2\ge 3x^2+6x+27\iff x^2+10x+25\le 0$

Xét tam thức bậc hai $x^2+10x+25\le 0$ có $a=1>0$ và  nghiệm duy nhất là $x=-5$ nên $x^2+10x+25\le 0$  khi và chỉ  khi $x=-5$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $\left\{-5\right\}$

g) Ta có $2{\left(x+1\right)}^2+9\left(-x+2\right)<0\iff 2x^2-5x+20<0$

Xét tam thức bậc hai $2x^2-5x+20$ có $a=2>0$ và $\mathrm{\Delta }=-135<0$ nên $2x^2-5x+20$  luôn lớn hơn không với mọi x

Vậy bất phương trình vô nghiệm

Bài 5 trang 14 SBT Toán 10: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{15x^2+8x-12}$         

b) $y=\frac{x-1}{\sqrt{-11x^2+30x-16}}$

c) $y=\frac{1}{x-2}-\sqrt{-x^2+5x-6}$   

d) $y=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}-\sqrt{6x^2-5x-21}$

Lời giải:

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi $15x^2+8x-12\ge 0$.

Tam thức $15x^2+8x-12$ có $a=15>0$ và có hai nghiệm là $x=-\frac{6}{5}$ hoặc $x=\frac{2}{3}$.

Do đó $15x^2+8x-12\ge 0$ khi $x\le -\frac{6}{5}$ hoặc $x\ge \frac{2}{3}$

Vậy tập xác định của hàm số là $\left(-\mathrm{\infty };-\frac{6}{5}\right]\cup \left[\frac{2}{3};+\mathrm{\infty }\right)$

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi $-11x^2+30x-16>0$,

Tam thức $-11x^2+30x-16$ có $a=-11<0$ và có hai nghiệm là $x=\frac{8}{11}$ hoặc $x=2$.

Do đó $-11x^2+30x-16>0$ khi $\frac{8}{11}<x<2$

Vậy tập xác định của hàm số là $\left(\frac{8}{11};2\right)$

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}x-2\ne 0\\ -x^2+5x-6\ge 0\end{array}$

Tam thức $-x^2+5x-6$ có $a=-1<0$ và có hai nghiệm là $x=2$ hoặc $x=3$.

Do đó $-x^2+5x-6\ge 0$ khi $2\le x\le 3$

Suy ra $\{\begin{array}{l}x-2\ne 0\\ -x^2+5x-6\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ne 2\\ 2\le x\le 3\end{array}\iff 2<x\le 3$

Vậy tập xác định của hàm số là $\left(2;3\right]$

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}2x+1>0\\ 6x^2-5x-21\ge 0\end{array}$

Tam thức $6x^2-5x-21$ có $a=6>0$ và có hai nghiệm là $x=-\frac{3}{2}$ hoặc $x=\frac{7}{3}$.

Do đó $6x^2-5x-21\ge 0$ khi $[\begin{array}{l}x\le -\frac{3}{2}\\ x\ge \frac{7}{3}\end{array}$

Suy ra $\{\begin{array}{l}2x+1>0\\ 6x^2-5x-21\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-\frac{1}{2}\\ [\begin{array}{l}x\le -\frac{3}{2}\\ x\ge \frac{7}{3}\end{array}\end{array}\iff x\ge \frac{7}{3}$

Vậy tập xác định của hàm số là $\left[\frac{7}{3};+\mathrm{\infty }\right)$a

Bài 6 trang 14 SBT Toán 10: Tìm giá trị của tham số m để:

a) $x=3$ là một nghiệm của bất phương trình $\left(m^2-1\right)x^2+2mx-15\le 0$

b) $x=-1$ là một nghiệm của bất phương trình $m{x}^2-2x+1>0$

c) $x=\frac{5}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình $4x^2+2mx-5m\le 0$

d) $x=-2$ là một nghiệm của bất phương trình $\left(2m-3\right)x^2-\left(m^2+1\right)x\ge 0$

e) $x=m+1$ là một nghiệm của bất phương trình $2x^2+2mx-m^2-2<0$

Lời giải:

a) $x=3$ là nghiệm của bất phương trình $\left(m^2-1\right)x^2+2mx-15\le 0$ khi và chỉ khi:

$\left(m^2-1\right){.3}^2+2m.3-15\le 0\iff 9m^2+6m-24\le 0$

Tam thức $9m^2+6m-24$ có $a=9>0$ và hai nghiệm là $m=-2$ và $m=\frac{4}{3}$

Do đó $9m^2+6m-24\le 0\iff -2\le m\le \frac{4}{3}$

Vậy $m\in \left[-2;\frac{4}{3}\right]$

b) $x=-1$ là nghiệm của bất phương trình $m{x}^2-2x+1>0$ khi và chỉ khi:

$m.{\left(-1\right)}^2-2.\left(-1\right)+1>0\iff m+3>0\iff m>-3$

Vậy khi $m\in \left(-3;+\mathrm{\infty }\right)$

c) $x=\frac{5}{2}$ là nghiệm của bất phương trình $4x^2+2mx-5m\le 0$ khi và chỉ khi:

$4.{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+2m.\left(\frac{5}{2}\right)-5m\le 0\iff 25\le 0$ (vô lí)

Vậy không có m thỏa mãn yêu cầu

d) $x=-2$ là nghiệm của bất phương trình $\left(2m-3\right)x^2-\left(m^2+1\right)x\ge 0$ khi và chỉ khi:

$\left(2m-3\right).{\left(-2\right)}^2-\left(m^2+1\right).\left(-2\right)\ge 0\iff 2m^2+8m-10\ge 0\iff [\begin{array}{l}m\le -5\\ m\ge 1\end{array}$

Vậy $m\in \left(-\mathrm{\infty };-5\right]\cup \left[1;+\mathrm{\infty }\right)$

e) $x=m+1$ là nghiệm của bất phương trình $2x^2+2mx-m^2-2<0$ khi và chỉ khi:

$2.{\left(m+1\right)}^2+2m.\left(m+1\right)-m^2-2<0\iff 3m^2+6m<0\iff -2<x<0$

Vậy $m\in \left(-2;0\right)$

Bài 7 trang 14 SBT Toán 10: Với giá trị nào của tham số m thì:

a) Phương trình $4x^2+2\left(m-2\right)x+m^2=0$ có nghiệm

b) Phương trình $\left(m+1\right)x^2+2mx-4=0$ có hai nghiệm phân biệt

c) Phương trình $m{x}^2+\left(m+1\right)x+3m+10=0$ vô nghiệm

d) Bất phương trình $2x^2+\left(m+2\right)x+\left(2m-4\right)\ge 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$

e) Bất phương trình $-3x^2+2mx+m^2\ge 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$

Lời giải:

a) Phương trình $4x^2+2\left(m-2\right)x+m^2=0$ có nghiệm khi và chỉ khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0$

hay ${\left(m-2\right)}^2-4m^2\ge 0\iff -3m^2-4m+4\ge 0\iff -2\le m\le \frac{2}{3}$

Vậy $m\in \left[-2;\frac{2}{3}\right]$

b) Phương trình $\left(m+1\right)x^2+2mx-4=0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\\ m+1\ne 0\end{array}$, hay $m^2-\left(m+1\right).\left(-4\right)>0\iff m^2+4m+4>0$ và $m\ne -1$

mà $m^2+4m+4>0\mathrm{\forall }m\ne -2$

Vậy với $m\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-2;-1\right\}$thì phương trình $\left(m+1\right)x^2+2mx-4=0$ có hai nghiệm phân biệt

c) Phương trình $m{x}^2+\left(m+1\right)x+3m+10=0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }<0$

hay ${\left(m+1\right)}^2-4m\left(3m+10\right)<0\iff -11m^2-38m+1<0\iff [\begin{array}{l}x<\frac{-19-2\sqrt{93}}{11}\\ x>\frac{-19+2\sqrt{93}}{11}\end{array}$

Vậy khi $m\in \left(-\mathrm{\infty };\frac{-19-2\sqrt{93}}{11}\right)\cup \left(\frac{-19+2\sqrt{93}}{11};+\mathrm{\infty }\right)$ thì phương trình $m{x}^2+\left(m+1\right)x+3m+10=0$ vô nghiệm

d) Bất phương trình $2x^2+\left(m+2\right)x+\left(2m-4\right)\ge 0$ có tập nghiệm là R

$\iff 2x^2+\left(m+2\right)x+\left(2m-4\right)\ge 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Vì $a=2>0$ nên để bất phương trình có tập nghiệm trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }\le 0$

hay ${\left(m+2\right)}^2-4.2\left(2m-4\right)<0\iff m^2-12m+36\le 0\iff m=6$

Vậy $m=6$

e) Bất phương trình $-3x^2+2mx+m^2\ge 0$ có tập nghiệm là R

$\iff -3x^2+2mx+m^2\ge 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$\iff \{\begin{array}{l}a=-3>0\\ \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}$ (Vô lí)

Do đó bất phương trình không thể có tập nghiệm là $\mathbb{R}$

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu

Bài 8 trang 14 SBT Toán 10: Lợi nhuận thu được từ việc sản xuất và bán x sản phẩm thủ công của một cửa hàng là:

                        $I\left(x\right)=-0,1x^2+235x-70000$

Với I được tính bằng đơn vị nghìn đồng. Với số lượng sản phẩm bán ra là bao nhiêu thì cửa hàng có lãi?

Lời giải:

Ta biết cửa hàng có lãi khi và chỉ khi $I\left(x\right)>0\iff -0,1x^2+235x-70000>0$

Xét tam thức bậc hai $-0,1x^2+235x-70000$ có $a=-0,1<0$ và hai nghiệm là $x=350$ và $x=2000$

Do đó  $-0,1x^2+235x-70000>0\iff 350<x<2000$

Vậy khi số lượng sản phẩm sản xuất và bán ra từ 351 đến 1999 thì của hàng trên có lãi.