Thực hành 2 trang 7 Toán 10 Tập 2: Tìm biệt thức và nghiệm của các tam thức bậc hai sau:

a) $f\left(x\right)=2x^2-5x+2$

b) $g\left(x\right)=-x^2+6x-9$

c) $h\left(x\right)=4x^2-4x+9$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2: Xét dấu của $\mathrm{\Delta }$

Bước 3: Tìm nghiệm

+) Nếu $\mathrm{\Delta }>0\Rightarrow x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0\Rightarrow x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$

+) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$thì tam thức bậc hai vô nghiệm

Lời giải 

a) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=2x^2-5x+2$ có $\mathrm{\Delta }={\left(-5\right)}^2-\mathrm{4.2.2}=9$

$\mathrm{\Delta }>0$, do đó $f\left(x\right)$ có hai nghiệm phân biệt là

          $x_1=\frac{5+\sqrt{9}}{4}=2$ và $x_1=\frac{5-\sqrt{9}}{4}=\frac{1}{2}$

b) Tam thức bậc hai $g\left(x\right)=-x^2+6x-9$ có $\mathrm{\Delta }=6^2-4.\left(-1\right).\left(-9\right)=0$

$\mathrm{\Delta }=0$, do đó $g\left(x\right)$có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-6}{2.\left(-1\right)}=3$

c) Tam thức bậc hai $h\left(x\right)=4x^2-4x+9$ có $\mathrm{\Delta }={\left(-4\right)}^2-\mathrm{4.4.9}=-128$

$\mathrm{\Delta }<0$, do đó $h\left(x\right)$ vô nghiệm

HĐ Khám phá 2 trang 8 Toán 10 Tập 2: Quan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình thức dưới đây. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết:

+) Các nghiệm (nếu có) và dấu của biệt thức $\mathrm{\Delta }$

+) Các khoảng giá trị của $x$mà trên đó $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số của $x^2$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định nghiệm của hàm số là giao của đồ thị và trục hoành

Bước 2: Xác định biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ và xác định dấu của nó

Bước 3: Dựa vào đồ thị xác định dấu của $f\left(x\right)$

          +) Phần đồ thị nằm trên trục hoành là $f\left(x\right)>0$

          +) Phần đồ thị nằm dưới trục hoành là $f\left(x\right)<0$

Lời giải 

a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho vô nghiệm

          Biệt thức $\mathrm{\Delta }=2^2-4.\left(-1\right).\left(-2\right)=-4<0$

          Ta thấy hệ số của $x^2$ là $-1<0$

          Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi x

Nên $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số của $x^2$ với $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

b) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=1$

Biệt thức $\mathrm{\Delta }=2^2-4.\left(-1\right).\left(-1\right)=0$

          Ta thấy hệ số của $x^2$ là $-1<0$

          Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi x

Nên $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số của $x^2$ với $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

c) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có hai nghiệm phân biệt  $x_1=-1;x_2=3$

Biệt thức $\mathrm{\Delta }=2^2-4.\left(-1\right).3=16>0$

          Ta thấy hệ số của $x^2$ là $-1<0$

Đồ thị nằm dưới trục hoành khi  $x\in \left(-\mathrm{\infty },-1\right)\cup \left(3,+\mathrm{\infty }\right)$

Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi $x\in \left(-1,3\right)$

Nên $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số của $x^2$ khi $x\in \left(-\mathrm{\infty },-1\right)\cup \left(3,+\mathrm{\infty }\right)$

d) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số bậc hai đã cho vô nghiệm

Biệt thức $\mathrm{\Delta }=6^2-\mathrm{4.1.10}=-4<0$

          Ta thấy hệ số của $x^2$ là $1>0$

Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi $x$

Nên $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số của $x^2$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

e) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=-3$

Biệt thức $\mathrm{\Delta }=6^2-\mathrm{4.1.9}=0$

          Ta thấy hệ số của $x^2$ là $1>0$

          Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi x

Nên $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số của $x^2$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

g) ) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có hai nghiệm phân biệt  $x_1=-4;x_2=-2$

Biệt thức $\mathrm{\Delta }=6^2-\mathrm{4.1.8}=4>0$

          Ta thấy hệ số của $x^2$ là $1>0$

Đồ thị nằm trên trục hoành khi  $x\in \left(-\mathrm{\infty },-4\right)\cup \left(-2,+\mathrm{\infty }\right)$

Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi $x\in \left(-4,-2\right)$

Nên $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số của $x^2$ khi $x\in \left(-\mathrm{\infty },-4\right)\cup \left(-2,+\mathrm{\infty }\right)$

2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Câu hỏi trang 9 Toán 10

Thực hành 3 trang 9 Toán 10 Tập 2: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) $f\left(x\right)=2x^2-3x-2$         

b) $g\left(x\right)=-x^2+2x-3$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2: Xác định nghiệm của $f\left(x\right)$ (nếu có) $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Bước 3: Xác định dấu của hệ số $a$

Bước 4: Xác định dấu của $f\left(x\right)$

Lời giải 

a) $f\left(x\right)=2x^2-3x-2$ có $\mathrm{\Delta }=25>0$, hai nghiệm phân biệt là $x_1=-\frac{1}{2};x_2=2$

và $a=2>0$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy $f\left(x\right)$ âm trong khoảng $\left(-\frac{1}{2},2\right)$ và dương trong hai khoảng

 $\left(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(2,+\mathrm{\infty }\right)$

b) $g\left(x\right)=-x^2+2x-3$ có $\mathrm{\Delta }=2^2-4.\left(-1\right).\left(-3\right)=-8<0$ và $a=-1<0$

Vậy $g\left(x\right)$âm với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Vận dụng trang 9 Toán 10 Tập 2: Xét dấu tam thức bậc hai $h\left(x\right)=-0,006x^2+1,2x-30$ trong bài toán khởi động và cho biết ở khoảng cách nào tính từ đầu cầu O thì vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2: Xác định nghiệm của $h\left(x\right)$ (nếu có) $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Bước 3: Xác định dấu của hệ số $a$

Bước 4: Xác định dấu của $h\left(x\right)$

Lời giải 

$h\left(x\right)=-0,006x^2+1,2x-30$ có $\mathrm{\Delta }=1,2^2-4.\left(-0,006\right).\left(-30\right)=\frac{18}{25}>0$, hai nghiệm phân biệt là $x_1=100-50\sqrt{2};x_2=100+50\sqrt{2}$ và $a=-0,006<0$

Ta có bảng xét dấu $h\left(x\right)$ như sau:

Vậy vòm cầu cao hơn mặt cầu là khoảng cách từ $100-50\sqrt{2}$(m) đến $100+50\sqrt{2}$ (m) (cách từ O), vòm vòm cầu thấp hơn mặt cầu là khoảng cách từ O đến$100-50\sqrt{2}$(m) và từ $100+50\sqrt{2}$ (m) đến 200 (m) (cách từ O).

Bài tập

Bài 1 trang 9 Toán 10 Tập 2: Đa thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

a) $4x^2+3x+1$

b) $x^3+3x^2-1$

c) $2x^2+4x-1$

Lời giải 

a) Đa thức $4x^2+3x+1$ là tam thức bậc hai

b) Đa thức $x^3+3x^2-1$ không là tam thức bậc hai

c) Đa thức $2x^2+4x-1$ là tam thức bậc hai.

Bài 2 trang 9 Toán 10 Tập 2: Xác định giá trị của m  để các đa thức sau là tam thức bậc hai

a) $\left(m+1\right)x^2+2x+m$

b) $m{x}^3+2x^2-x+m$

c) $-5x^2+2x-m+1$

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định $a$ là hệ số của $x^2$

Bước 2: Đa thức $a{x}^2+bx+c$được gọi là tam thức bậc hai khi $a\ne 0$

Lời giải 

a) Ta có: $a=m+1$

Để đa thức $\left(m+1\right)x^2+2x+m$ là tam thức bậc hai khi và chỉ khi $m+1\ne 0$

$\iff m\ne -1$

Vậy khi $m\ne -1$ thì đa thức $\left(m+1\right)x^2+2x+m$là tam thức bậc hai

b) Ta có: $a=2$

Để đa thức $m{x}^3+2x^2-x+m$ là tam thức bậc hai khi và chỉ khi $m=0$

Vậy khi $m=0$ thì đa thức $m{x}^3+2x^2-x+m$là tam thức bậc hai

c) Ta có $a=-5$

Hệ số c không ảnh hưởng đến tam thức bậc hai

Vậy đa thức $-5x^2+2x-m+1$ là tam thức bậc hai với mọi m.

Câu hỏi trang 10 Toán 10

Bài 3 trang 10 Toán 10 Tập 2: Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định nghiệm của tam thức (là giao điểm của đồ thị với trục hoành)

Bước 2: Xác định khoảng mà $f\left(x\right)>0$ (khoảng đồ thị nằm trên trục hoành)

Bước 3: Xác định khoảng mà $f\left(x\right)<0$ (khoảng đồ thị nằm dưới trục hoành)

Bước 4: Lập bảng xét dấu

Lời giải 

a) Tam thức $f\left(x\right)=x^2+1,5x-1$ có hai nghiệm phân biệt $x_1=-2;x_2=\frac{1}{2}$

$$$f\left(x\right)>0$ khi $x\in \left(-\mathrm{\infty },-2\right)\cup \left(\frac{1}{2},+\mathrm{\infty }\right)$ và $f\left(x\right)<0$ khi $x\in \left(-2,\frac{1}{2}\right)$

Ta có bảng xét dấu như sau

b) Tam thức $g\left(x\right)=x^2+x+1$ vô nghiệm, $g\left(x\right)>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Ta có bảng xét dấu như sau

c) Tam thức $h\left(x\right)=-9x^2-12x-4$ có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{2}{3}$ và $h\left(x\right)<0\mathrm{\forall }x\ne -\frac{2}{3}$

Ta có bảng xét dấu như sau

d) Tam thức $f\left(x\right)=-0,5x^2+3x-6$ vô nghiệm và $f\left(x\right)<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Ta có bảng xét dấu như sau:

e) Tam thức $g\left(x\right)=-x^2-0,5x+3$ có hai nghiệm $x_1=-2,x_2=\frac{3}{2}$

$g\left(x\right)>0$ khi $x\in \left(-2,\frac{3}{2}\right)$ và $g\left(x\right)<0$ khi $x\in \left(-\mathrm{\infty },-2\right)\cup \left(\frac{3}{2},+\mathrm{\infty }\right)$

Ta có bảng xét dấu như

g) Tam thức $h\left(x\right)=x^2+2\sqrt{2}x+2$ có nghiệm kép $x_1=x_2=-\sqrt{2}$

$h\left(x\right)>0\mathrm{\forall }x\ne -\sqrt{2}$

Ta có bảng xét dấu như sau

Bài 4 trang 10 Toán 10 Tập 2: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau đây:

a) $f\left(x\right)=2x^2+4x+2$

b) $f\left(x\right)=-3x^2+2x+21$                  

c) $f\left(x\right)=-2x^2+x-2$

d) $f\left(x\right)=-4x(x+3)-9$

e) $f\left(x\right)=\left(2x+5\right)\left(x-3\right)$

Phương pháp giải 

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2: Xác định nghiệm của $f\left(x\right)$ (nếu có) $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Bước 3: Xác định dấu của hệ số $a$

Bước 4: Xác định dấu của $f\left(x\right)$

Lời giải 

a) $f\left(x\right)=2x^2+4x+2$ có $\mathrm{\Delta }=0$, có nghiệm kép là $x_1=x_2=-1$

và $a=2>0$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy $f\left(x\right)$ dương với mọi $x\ne -1$

b) $f\left(x\right)=-3x^2+2x+21$ có $\mathrm{\Delta }=256>0$, hai nghiệm phân biệt là $x_1=-\frac{7}{3};x_2=3$

và $a=-3<0$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy $f\left(x\right)$ dương với $x\in \left(-\frac{7}{3};3\right)$ và âm khi $x\in \left(-\mathrm{\infty };-\frac{7}{3}\right)\cup \left(3;+\mathrm{\infty }\right)$

c) $f\left(x\right)=-2x^2+x-2$ có $\mathrm{\Delta }=-15<0$, tam thức vô nghiệm

và $a=-2<0$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy $f\left(x\right)$ âm với mọi $x\in \mathbb{R}$

d) $f\left(x\right)=-4x\left(x+3\right)-9=-4x^2-12x-9$ có $\mathrm{\Delta }=0$, tam thức có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{3}{2}$ và $a=-4<0$

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy $f\left(x\right)$ âm với mọi $x\ne -\frac{3}{2}$

e) $f\left(x\right)=\left(2x+5\right)\left(x-3\right)=2x^2-x-15$ có $\mathrm{\Delta }=121>0$, có hai nghiệm phân biệt $x_1=-\frac{5}{2};x_2=3$ và có $a=2>0$

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy $f\left(x\right)$ âm với $x\in \left(-\frac{5}{2};3\right)$ và dương khi $x\in \left(-\mathrm{\infty };-\frac{5}{2}\right)\cup \left(3;+\mathrm{\infty }\right)$

Bài 5 trang 10 Toán 10 Tập 2: Độ cao (tính bằng mét) của một quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được x mét theo phương ngang được mô phỏng bằng hàm số $h\left(x\right)=-0,1x^2+x-1$. Trong các khoảng nào của x thì bóng nằm: cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ và ngang vành rổ? Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười.