Toán 10 Kết nối tri thức trang 37 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Giang Ngày: 12-02-2023 Lớp 10

404

Với giải Câu hỏi trang 37 Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức trong Bài 5: Giá trị lượng giác của góc từ 0 độ đến 180 độ học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức trang 37 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Câu hỏi vận dụng trang 37 Toán lớp 10: Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Câu hỏi vận dụng trang 37 Toán lớp 10 Tập 1 I Kết nối tri thức với cuộc sống (ảnh 2)

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử chiều quay của chiếc đu quay. Xác định vị trí của cabin sau 20 phút.

Bước 2: Dựa vào giá trị lượng giác của góc, xác định khoảng cách từ cabin đến Ox (trong hình H.3.7)

Bước 3: Suy ra độ cao của người đó sau 20 phút quay.

Lời giải:

Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều kim đồng hồ.

Gọi M là vị trí của cabin, M’ là vị trí của cabin sau 20 phút và các điểm A A’, B, H như hình dưới.

Câu hỏi vận dụng trang 37 Toán lớp 10 Tập 1 I Kết nối tri thức với cuộc sống (ảnh 1)

Vì đi cả vòng quay mất 30 phút nên sau 20 phút, cabin sẽ đi quãng đường bằng $\frac{2}{3}$ chu vi đường tròn.

Sau 15 phút cabin đi chuyển từ điểm M đến điểm B, đi được $\frac{1}{2}$ chu vi đường tròn.

Trong 5 phút tiếp theo cabin đi chuyển từ điểm B đến điểm M’ tương ứng $\frac{1}{6}$ chu vi đường tròn hay $\frac{1}{3}$ cung .

Do đó: $\hat{B O M^{'}} = \frac{1}{3} {.180}^{o} = 60^{o}$ $\Rightarrow \hat{A O M^{'}} = 90^{o} - 60^{o} = 30^{o} .$

$\Rightarrow M^{'} H = \sin 30^{o} . O M^{'} = \frac{1}{2} .75 = 37, 5 (m) .$

$\Rightarrow$ Độ cao của người đó là: 37,5 + 90 = 127,5 (m).

Vậy sau 20 phút quay người đó ở độ cao 127,5 m.

BÀI TẬP

Bài 3.1 trang 37 Toán lớp 10: Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $(2 \sin 30^{o} + \cos 135^{o} - 3 \tan 150^{o}) . (\cos 180^{o} - \cot 60^{o})$

b) $\sin^{2} 90^{o} + \cos^{2} 120^{o} + \cos^{2} 0^{o} - \tan^{2} 60 + \cot^{2} 135^{o}$

c) $\cos 60^{o} . \sin 30^{o} + \cos^{2} 30^{o}$

Lời giải a

a) $(2 \sin 30^{o} + \cos 135^{o} - 3 \tan 150^{o}) . (\cos 180^{o} - \cot 60^{o})$

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa GTLG của các góc $135^{o}, 150^{o}, 180^{o}$ về GTLG của các góc $45^{o}, 30^{o}, 0^{o}$

$\cos 135^{o} = - \cos 45^{o}; \cos 180^{o} = - \cos 0^{o} \tan 150^{o} = - \tan 30^{o}$

Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$\sin 30^{o} = \frac{1}{2}; \tan 30^{o} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cos 45^{o} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \cos 0^{o} = 1; \cot 60^{o} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Lời giải:

Đặt $A = (2 \sin 30^{o} + \cos 135^{o} - 3 \tan 150^{o}) . (\cos 180^{o} - \cot 60^{o})$

Ta có: ${\begin{cases} \cos 135^{o} = - \cos 45^{o}; \cos 180^{o} = - \cos 0^{o} \\ \tan 150^{o} = - \tan 30^{o} \end{cases}$

$\Rightarrow A = (2 \sin 30^{o} - \cos 45^{o} + 3 \tan 30^{o}) . (- \cos 0^{o} - \cot 60^{o})$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

${\begin{cases} \sin 30^{o} = \frac{1}{2}; \tan 30^{o} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \cos 45^{o} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \cos 0^{o} = 1; \cot 60^{o} = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{cases}$

$\Rightarrow A = (2. \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 3. \frac{\sqrt{3}}{3}) . (- 1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow A = - (1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3}) . (1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) \\ \Leftrightarrow A = - \frac{2 - \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{2} . \frac{3 + \sqrt{3}}{3} \\ \Leftrightarrow A = - \frac{(2 - \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \\ \Leftrightarrow A = - \frac{6 + 2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} - \sqrt{6} + 6 \sqrt{3} + 6}{6} \\ \Leftrightarrow A = - \frac{12 + 8 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{6} . \end{array}$

Lời giải b

b) $\sin^{2} 90^{o} + \cos^{2} 120^{o} + \cos^{2} 0^{o} - \tan^{2} 60 + \cot^{2} 135^{o}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa GTLG của các góc $120^{o}, 135^{o}$ về GTLG của các góc $60^{o}, 45^{o}$

$\cos 120^{o} = - \cos 60^{o}, \cot 135^{o} = - \cot 45^{o}$

Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$\cos 0^{o} = 1; \cot 45^{o} = 1; \cos 60^{o} = \frac{1}{2} \tan 60^{o} = \sqrt{3}; \sin 90^{o} = 1$

Lời giải:

Đặt $B = \sin^{2} 90^{o} + \cos^{2} 120^{o} + \cos^{2} 0^{o} - \tan^{2} 60 + \cot^{2} 135^{o}$

Ta có: ${\begin{cases} \cos 120^{o} = - \cos 60^{o} \\ \cot 135^{o} = - \cot 45^{o} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} \cos^{2} 120^{o} = \cos^{2} 60^{o} \\ \cot^{2} 135^{o} = \cot^{2} 45^{o} \end{cases}$

$\Rightarrow B = \sin^{2} 90^{o} + \cos^{2} 60^{o} + \cos^{2} 0^{o} - \tan^{2} 60 + \cot^{2} 45^{o}$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

${\begin{cases} \cos 0^{o} = 1; \cot 45^{o} = 1; \cos 60^{o} = \frac{1}{2} \\ \tan 60^{o} = \sqrt{3}; \sin 90^{o} = 1 \end{cases}$

$\Rightarrow B = 1^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + 1^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}$

$\Leftrightarrow B = 1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = \frac{1}{4} .$

Lời giải c

c) $\cos 60^{o} . \sin 30^{o} + \cos^{2} 30^{o}$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

$\sin 30^{o} = \frac{1}{2}; \cos 30^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \cos 60^{o} = \frac{1}{2}$

Lời giải:

Đặt $C = \cos 60^{o} . \sin 30^{o} + \cos^{2} 30^{o}$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin 30^{o} = \frac{1}{2}; \cos 30^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \cos 60^{o} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow C = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1.$

Bài 3.2 trang 37 Toán lớp 10: Đơn giản các biểu thức sau:

Lời giải a

a) $\sin 100^{o} + \sin 80^{o} + \cos 16^{o} + \cos 164^{o};$

Phương pháp giải:

Lời giải:

Ta có: ${\begin{cases} \sin 100^{o} = \sin (180^{o} - 80^{o}) = \sin 80^{o} \\ \cos 164^{o} = \cos (180^{o} - 16^{o}) = - \cos 16^{o} \end{cases}$

$\Rightarrow \sin 100^{o} + \sin 80^{o} + \cos 16^{o} + \cos 164^{o}$ $= \sin 80^{o} + \sin 80^{o} + \cos 16^{o} - \cos 16^{o}$ $= 2 \sin 80^{o} .$

Lời giải b

b) $2 \sin (180^{o} - α) . \cot α - \cos (180^{o} - α) . \tan α . \cot (180^{o} - α)$ với $0^{o} < α < 90^{o}$ .

Phương pháp giải:

Bài 3.2 trang 37 Toán lớp 10 Tập 1 I Kết nối tri thức với cuộc sống (ảnh 1)

Lời giải:

Ta có:

${\begin{cases} \sin (180^{o} - α) = \sin α \\ \cos (180^{o} - α) = - \cos α \\ \tan (180^{o} - α) = - \tan α \\ \cot (180^{o} - α) = - \cot α \end{cases} (0^{o} < α < 90^{o})$ $\Rightarrow 2 \sin (180^{o} - α) . \cot α - \cos (180^{o} - α) . \tan α . \cot (180^{o} - α)$ $= 2 \sin α . \cot α - (- \cos α) . \tan α . (- \cot α)$ $= 2 \sin α . \cot α - \cos α . \tan α . \cot α$

$= 2 \sin α . \frac{\cos α}{\sin α} - \cos α . (\tan α . \cot α)$ $= 2 \cos α - \cos α = \cos α .$

Bài 3.3 trang 37 Toán lớp 10: Chứng minh các hệ thức sau:

a) $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

b) $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} (α \neq 90^{o})$

c) $1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} (0^{o} < α < 180^{o})$

Lời giải a

a) $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ đường tròn lượng giác, lấy điểm M biểu diễn góc $α$ bất kì.

Bước 2: Xác định $\sin α, \cos α$ ( tương ứng với tung độ và hoành độ của điểm M).

Bước 3: Suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Lời giải:

Bài 3.3 trang 37 Toán lớp 10 Tập 1 I Kết nối tri thức với cuộc sống (ảnh 1)

Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α$ . Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: ${\begin{cases} x = \cos α \\ y = \sin α \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} \cos^{2} α = x^{2} \\ \sin^{2} α = y^{2} \end{cases}$ (1)

Mà ${\begin{cases} | x | = O N \\ | y | = O P = M N \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x^{2} = {| x |}^{2} = O N^{2} \\ y^{2} = {| y |}^{2} = M N^{2} \end{cases}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\sin^{2} α + \cos^{2} α = O N^{2} + M N^{2} = O M^{2}$ (do $Δ O M N$ vuông tại N)

$\Rightarrow \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ (vì OM =1). (đpcm)

Lời giải b

b) $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} (α \neq 90^{o})$

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết $\tan α$ dưới dạng $\frac{\sin α}{\cos α} (α \neq 90^{o})$ , thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

Lời giải:

Ta có: $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} (α \neq 90^{o})$

$\Rightarrow 1 + \tan^{2} α = 1 + \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{\cos^{2} α}{\cos^{2} α} + \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\cos^{2} α}$

Mà theo ý a) ta có $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ với mọi góc $α$

$\Rightarrow 1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α}$ (đpcm)

Lời giải c

c) $1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} (0^{o} < α < 180^{o})$

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết $\cot α$ dưới dạng $\frac{\cos α}{\sin α}$ , thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

Lời giải:

Ta có: $\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} (0^{o} < α < 180^{o})$

$\Rightarrow 1 + \cot^{2} α = 1 + \frac{\cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{\sin^{2} α}{\sin^{2} α} + \frac{\cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\sin^{2} α}$

Mà theo ý a) ta có $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ với mọi góc $α$

$\Rightarrow 1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α}$ (đpcm)

Bài 3.4 trang 37 Toán lớp 10: Cho góc $α (0^{o} < α < 180^{o})$ thỏa mãn $\tan α = 3$

Tính giá trị biểu thức: $P = \frac{2 \sin α - 3 \cos α}{3 \sin α + 2 \cos α}$

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu của P cho $\cos α$ .

Lời giải:

Vì $\tan α = 3$ nên $\cos α \neq 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow P = \frac{\frac{2 \sin α - 3 \cos α}{\cos α}}{\frac{3 \sin α + 2 \cos α}{\cos α}} = \frac{2 \frac{\sin α}{\cos α} - 3}{3 \frac{\sin α}{\cos α} + 2} \\ \Leftrightarrow P = \frac{2 \tan α - 3}{3 \tan α + 2} = \frac{2.3 - 3}{3.3 + 2} = \frac{3}{11} . \end{array}$

Cách 2:

Ta có: $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} (α \neq 90^{o})$

$\Rightarrow \frac{1}{\cos^{2} α} = 1 + 3^{2} = 10$

$\Leftrightarrow \cos^{2} α = \frac{1}{10} \Leftrightarrow \cos α = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

Vì $0^{o} < α < 180^{o}$ nên $\sin α > 0$ .

Mà $\tan α = 3 > 0 \Rightarrow \cos α > 0 \Rightarrow \cos α = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Lại có: $\sin α = \cos α . \tan α = \frac{\sqrt{10}}{10} .3 = \frac{3 \sqrt{10}}{10} .$

$\Rightarrow P = \frac{2. \frac{3 \sqrt{10}}{10} - 3. \frac{\sqrt{10}}{10}}{3. \frac{3 \sqrt{10}}{10} + 2. \frac{\sqrt{10}}{10}} = \frac{\frac{\sqrt{10}}{10} (2.3 - 3)}{\frac{\sqrt{10}}{10} (3.3 + 2)} = \frac{3}{11} .$