- Dùng định lí Pi-ta-go tính độ dài cạnh chưa biết của tam giác vuông.

- Áp dụng công thức tính tỉ số lượng giác của các góc trong tam giác vuông :

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhhuyền}}$ ;

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhhuyền}}$ ;

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhkề}}$;

$\cot \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhđối}}$

- Vận dụng kiến thức : Cho hai góc $\alpha$ và $\beta$ phụ nhau $\left(\alpha +\beta ={90}^o\right)$.

Ta có: $\sin \alpha =\cos \beta ;\cos \alpha =\sin \beta ;$$\tan \alpha =\cot \beta ;\cot \alpha =\tan \beta$

$AC=0,9m=9dm;$$BC=1,2m=12dm$

Trong tam giác vuông $ABC$, theo định lí Pi-ta-go, ta có :  

$AB=\sqrt{{12}^2+9^2}=\sqrt{225}=15\left(dm\right).$

Do đó:

$\sin B={\displaystyle \frac{AC}{AB}}={\displaystyle \frac{9}{15}}={\displaystyle \frac{3}{5}},$  $\cos B={\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{12}{15}}={\displaystyle \frac{4}{5}},$

$\tan B={\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{3}{4}},$ $\cot B={\displaystyle \frac{BC}{AC}}={\displaystyle \frac{12}{9}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

Vì $\hat{A}$ và $\hat{B}$ là hai góc phụ nhau nên :

$\sin A=\cos B={\displaystyle \frac{4}{5}},$  $\cos A=\sin B={\displaystyle \frac{3}{5}},$

$\tan A=\cot B={\displaystyle \frac{4}{5}},$ $\cot A=\tan B={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45^o

sin60^o; cos75^o; sin52^o30’; cot82^o; tan80^o

Phương pháp giải:

- Vận dụng kiến thức : Cho hai góc $\alpha$ và $\beta$ phụ nhau $\left(\alpha +\beta ={90}^o\right)$.

Ta có: $\sin \alpha =\cos \beta ;\cos \alpha =\sin \beta ;$$\tan \alpha =\cot \beta ;\cot \alpha =\tan \beta$. 

Trả lời:

$\sin {60}^o=\cos \left({90}^o-{60}^o\right)=\cos {30}^o,$ $\cos {75}^o=\sin \left({90}^o-{75}^o\right)=\sin {15}^o,$

$\sin {52}^o{30}^{\prime }=\cos \left({90}^o-{52}^o{30}^{\prime }\right)=\cos {37}^o{30}^{\prime },$

$\cot {82}^o=\tan \left({90}^o-{82}^o\right)=\tan 8^o,$

$\tan {80}^o=\cot \left({90}^o-{80}^o\right)=\cot {10}^o.$

Cho tam giác ABC vuông tại A, $\hat{B}={30}^o,BC=8cm$. Hãy tính cạnh AB (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba), biết rằng $\cos {30}^o\approx 0,866$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhhuyền}}$, thay giá trị của $\cos \alpha$ và độ dài cạnh huyền BC đã biết để tìm độ dài cạnh kề AB. 

Trả lời:

Trong tam giác vuông $ABC,$ theo định nghĩa các tỉ số lượng giác, ta có :

$\cos B={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$

Suy ra $AB=BC.\cos B=8.\cos {30}^o$ $\approx 8.0,866=6,928\left(cm\right).$

Dựng góc nhọn $\alpha$ , biết $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{3}{4}}.$

Phương pháp giải:

Dựng tam giác vuông với góc nhọn $\alpha$ có cạnh đối bằng $3$ đơn vị độ dài; cạnh kề bằng $4$ đơn vị độ dài.

Trả lời:

Dựng góc vuông $xOy$. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị. Trên tia $Ox$, lấy điểm $A$ sao cho $OA=3.$ Trên tia $Oy,$ lấy điểm B sao cho $OB=4.$ Góc $\widehat{OBA}$ là góc $\alpha$ cần dựng.

Thật vậy, trong tam giác vuông $AOB,$ ta có :

$\tan \alpha =\tan \widehat{OBA}={\displaystyle \frac{OA}{OB}}={\displaystyle \frac{3}{4}}.$

Cho tam giác ABC vuông tại A, $\hat{B}=\alpha$ , AB= 6 cm. Biết $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{5}{12}}.$

Hãy tính :

a) Cạnh AC ;                                 b) Cạnh BC.

Phương pháp giải:

- Dựa vào tỉ số lượng giác : $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhkề}}$ và giá trị $\tan \alpha$; độ dài cạnh $AB$ đã biết để tìm giá trị của cạnh $AC.$

- Dùng định lí Pi-ta-go để tìm độ dài cạnh BC khi biết độ dài hai cạnh còn lại của tam giác vuông.

Trả lời:

a) Theo định nghĩa các tỉ số lượng giác, ta có :

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$

Suy ra $AC=AB.\tan \alpha$$=6\cdot {\displaystyle \frac{5}{12}}=2,5\left(cm\right).$

b) Trong tam giác vuông $ABC,$ theo định lí Pi-ta-go ta có :

$BC=\sqrt{A{C}^2+A{B}^2}$$=\sqrt{6^2+2,5^2}=6,5\left(cm\right).$

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết $\cos B=0,8,$ hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức :

- Cho góc nhọn $\alpha$. Ta có

$\begin{array}{l}0<\sin \alpha <1;0<\cos \epsilon <1;{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ \tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }};\tan \alpha .\cot \alpha =1\end{array}$

- Cho hai góc $\alpha$ và $\beta$ phụ nhau $\left(\alpha +\beta ={90}^o\right)$. Ta có:

$\sin \alpha =\cos \beta ;\cos \alpha =\sin \beta ;\tan \alpha =\cot \beta ;\cot \alpha =\tan \beta$

Trả lời:

Ta có ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$, suy ra :

$\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-0,8^2}=0,6$

Mặt khác, ta có :

$\tan B={\displaystyle \frac{\sin B}{\cos B}}={\displaystyle \frac{0,6}{0,8}}={\displaystyle \frac{3}{4}},$ $\cot B={\displaystyle \frac{\cos B}{\sin B}}={\displaystyle \frac{0,8}{0,6}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$.

Vì trong tam giác vuông $ABC$ có $\hat{B}$ và $\hat{C}$ là hai góc phụ nhau nên :

$\sin C=\cos B=0,8;$

$\cos C=\sin B=0,6;$

$\tan C=\cot B={\displaystyle \frac{3}{4}}$

$\cot C=\tan B={\displaystyle \frac{4}{3}}$

Phương pháp giải:

- Dựa vào tỉ số lượng giác, tìm độ dài cạnh a.

- Dựa vào định lí Pi-ta-go, tính độ dài cạnh x.

Trả lời:

$x=\sqrt{{\left(20.\tan {45}^o\right)}^2+{21}^2}=29$

Chú ý:

Cách giải chi tiết hơn:

Vẽ lại hình và đặt tên các góc như hình sau: 

Xét tam giác $BHA$ vuông tại $H$ có $\hat{B}={45}^o$, $BH=20$ nên:

$\tan B={\displaystyle \frac{AH}{BH}}$$\iff \tan {45}^o={\displaystyle \frac{AH}{20}}$

$\iff AH=20.\tan {45}^o=20$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có:

$AC=\sqrt{A{H}^2+H{C}^2}$$=\sqrt{{20}^2+{21}^2}=29$

Vậy $x=29$ 

Tìm x trong mỗi hình sau (làm tròn đến chữ thập phân thứ ba), biết rằng

$\tan {47}^0\approx 1,072;cos{38}^0\approx 0,788.$

Phương pháp giải:

a) Dựa vào tỉ số lượng giác $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhkề}}$ để tìm độ dài cạnh chưa biết.

b) Dựa vào tỉ số lượng giác $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhhuyền}}$ để tìm độ dài cạnh chưa biết.

Trả lời:

a) Ta có : $1,072\approx \tan {47}^o={\displaystyle \frac{63}{x}}$

Suy ra $x\approx 63:\tan {47}^o\approx 58,748.$

b) Ta có $0,788\approx \cos {38}^o={\displaystyle \frac{16}{x}}$

Suy ra $x\approx 16:\cos {38}^o\approx 20,304.$

Xét quan hệ giữa hai góc trong mỗi biểu thức rồi tính:

a) ${\displaystyle \frac{\sin {32}^0}{\cos {58}^0}};$ 

b) $\tan {76}^o-\cot {14}^0.$

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức : Cho hai góc $\alpha$ và $\beta$ phụ nhau $\left(\alpha +\beta ={90}^o\right)$. Ta có:

$\sin \alpha =\cos \beta ;\cos \alpha =\sin \beta ;\tan \alpha =\cot \beta ;\cot \alpha =\tan \beta$

Trả lời:

a) Ta có : ${32}^o+{58}^o={90}^o,$ do đó hai góc ${32}^o$ và ${58}^o$ là hai góc phụ nhau nên $\sin {32}^o=\cos {58}^o$

Vậy  ${\displaystyle \frac{\sin {32}^o}{\cos {58}^o}}={\displaystyle \frac{\cos {58}^o}{\cos {58}^o}}=1$

b) Ta có : ${76}^o+{14}^o={90}^o,$do đó hai góc ${76}^o$ và ${14}^o$ là hai góc phụ nhau nên $\tan {76}^o=\cot {14}^o$

Vậy  $\tan {76}^o-\cot {14}^o=\cot {14}^o-\cot {14}^o=0.$