a) ${\displaystyle \alpha ={45}^o\iff \frac{AC}{AB}=1}$

b) ${\displaystyle \alpha ={60}^o\iff \frac{AC}{AB}=\sqrt{3}}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất tam giác cân

b) Sử dụng tính chất tam giác cân và sử dụng định lý Pytago 

Lời giải:

a)

Tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B}={45}^o\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC$ vuông cân tại A ${\displaystyle \Rightarrow AB=AC\Rightarrow \frac{AB}{AC}=1}$

b) 

Kẻ trung tuyến AD của tam giác vuông ABC

${\displaystyle \Rightarrow AD=BD=\frac{BC}{2}}$

Tam giác ABD có: $AD=BD,\widehat{ABD}={60}^o$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABD$ là tam giác đều

${\displaystyle \Rightarrow AB=AD=\frac{BC}{2}\Rightarrow BC=2AB}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A có:

$\begin{array}{rl}& A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2\\ & \iff A{B}^2+A{C}^2=4A{B}^2\\ & \iff A{C}^2=3A{B}^2\Rightarrow AC=\sqrt{3}AB\\ & \iff \frac{AC}{AB}=\sqrt{3}\end{array}$

Lời giải:

Các tỉ số lượng giác của góc $\beta$ là:

$\begin{array}{rl}& \sin \beta =\frac{AB}{BC}\\ & \cos \beta =\frac{AC}{BC}\\ & tg\beta =\frac{AB}{AC}\\ & cotg\beta =\frac{AC}{AB}\end{array}$

Lời giải:

Cách dựng

- Dựng góc $xOy$ bằng ${90}^0$

- Dựng đoạn OM trên trục Oy sao cho OM=1

- Dựng đường tròn tâm M bán kính bằng 2, đường tròn giao với tia Ox tại N

- Khi đó góc MNO là góc cần dựng

Chứng minh:

Tam giác MON vuông tại O có: $MO=1;MN=2$

Khi đó:

${\displaystyle \sin \beta =\sin \widehat{MNO}=\frac{MO}{MN}=\frac{1}{2}=0,5}$

Phương pháp giải:

Sử dụng tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng ${90}^{\circ }.$

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Lời giải:

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\hat{B}+\hat{C}={90}^{\circ }$ hay $\alpha +\beta ={90}^{\circ }$

+ Các tỉ số lượng giác của góc $\alpha$ là $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$ $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$

+ Các tỉ số lượng giác của góc $\beta$ là $\cos \beta ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};\sin \beta ={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$ $\cot \beta ={\displaystyle \frac{AC}{AB}};\tan \beta ={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$

Suy ra các cặp tỉ số bằng nhau là $\sin \alpha =\cos \beta ;\cos \alpha =\sin \beta ;\tan \alpha =\cot \beta ;\cot \alpha =\tan \beta$

Phương pháp giải:

+) Vẽ tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài. 

+) Áp dụng công thức tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn:

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhhuyền}};$         $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhhuyền}}$;

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhkề}};$             $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhđối}}.$

Lời giải:

Vẽ tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $\hat{B}={34}^{\circ }$.

Để vẽ được tam giác đề yêu cầu, chúng ta thực hiện các bước như sau:

B1. Vẽ đoạn thẳng $AB$ với độ dài bất kì.

B2. Từ $A$ dựng tia $Ax$ vuông góc với đoạn thẳng $AB$

B3. Từ $B$ dùng thước đo góc vẽ tia $By$ sao cho góc $ABy$ bằng $34$ độ.

B4. $Ax$ và $By$ cắt nhau tại $C$. 

B5. Nối các điểm lại với nhau ta được tam giác $ABC$ cần dựng.

Tỉ số lượng giác của góc $\hat{B}={34}^o$ là:

                  $\sin {34}^o=\sin B={\displaystyle \frac{AC}{BC}}$

                  $\cos {34}^o=\cos B={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$

                  $\tan {34}^o=\tan B={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$

                  $\cot {34}^o=\tan B={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$

Phương pháp giải:

+) Dùng định lí Pytago để tính độ dài cạnh huyền. 

+) Dựa vào định nghĩa tỉ số lượng giác để tính các tỉ số lượng giác của góc $B$.

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhhuyền}};$         $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhhuyền}}$;

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhkề}};$             $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhđối}}.$

+) Dựa vào định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: " Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotang góc kia" để từ các tỉ số lượng giác của góc $B$ tính tỉ số lượng giác của góc $A$.

Lời giải:

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $C$, áp dụng định lí Pytago, ta có: 

            $A{B}^2=C{B}^2+A{C}^2$

        $\iff A{B}^2=0,9^2+1,2^2$ 

        $\iff A{B}^2=0,81+1,44=2,25$

       $\iff AB=\sqrt{2,25}=1,5m$

Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $C$ nên góc $B$ và $A$ là hai góc phụ nhau. Do vậy, ta có:

         $\sin A=\cos B={\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{1,2}{1,5}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$

         $\cos A=\sin B={\displaystyle \frac{AC}{AB}}={\displaystyle \frac{0,9}{1,5}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$

        $\tan A=\cot B={\displaystyle \frac{BC}{AC}}={\displaystyle \frac{1,2}{0,9}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

        $\cot A=\tan B={\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{0,9}{1,2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Nhận xét: Với hai góc phụ nhau, ta có sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotan góc kia!

$\sin {60}^{\circ }$;   $\cos {75}^{\circ }$;  $\sin {52}^{\circ }{30}^{\prime }$;   $\cot {82}^{\circ }$;   $\tan {80}^{\circ }.$

Phương pháp giải:

Nếu $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau (tức $\alpha +\beta ={90}^o\Rightarrow \alpha ={90}^o-\beta )$ thì ta có: 

   $\sin \alpha =\cos ({90}^o-\alpha )=\cos \beta$;           

   $\sin \beta =\cos ({90}^o-\beta )=\cos \alpha$;         

   $\tan \alpha =\cot ({90}^o-\beta )=\cot \beta$;

    $\tan \beta =\cot ({90}^o-\alpha )=\cot \alpha$.

Lời giải:

Vận dụng định lý về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau ta có:

             $\sin {60}^o=\cos ({90}^o-{60}^o)=\cos {30}^o$

             $\cos {75}^o=\sin ({90}^o-{75}^o)=\sin {15}^o$

             $\sin {52}^o{30}^{\prime }=\cos ({90}^o-{52}^o{30}^{\prime })=\cos {37}^o{30}^{\prime }$

             $\cot {82}^o=\tan ({90}^o-{82}^o)=\tan 8^o$

             $\tan {80}^o=\cot ({90}^o-{80}^o)=\cot {10}^o$.

Cách khác:

Vì ${30}^0+{60}^0={90}^0$ nên $\sin {60}^0=\cos {30}^0$ 

Vì ${75}^0+{15}^0={90}^0$ nên $\cos {75}^0=\sin {15}^0$

Vì ${52}^0{30}^{\prime }+{37}^0{30}^{\prime }={90}^0$ nên $\sin {52}^0{30}^{\prime }=\cos {37}^0{30}^{\prime }$

Vì ${82}^0+8^0={90}^0$ nên $\cot {82}^0=\tan 8^0$

Vì ${80}^0+{10}^0={90}^0$ nên $\tan {80}^0=\cot {10}^0$

a) $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{2}{3}}$                   ;b) $\cos \alpha =0,6$

c) $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{3}{4}}$                  ;d) $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Phương pháp giải:

+) Dựng một tam giác vuông có hai cạnh là $m$ và $n$ (trong đó $m,n$ là hai cạnh góc vuông hoặc một cạnh góc vuông và một cạnh huyền)

+) Vận dụng định nghĩa các tỷ số lượng giác để tìm ra góc $\alpha$.

Lời giải:

a) Ta thực hiện các bước sau:

- Dựng góc vuông $xOy$. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ bất kỳ sao cho: $OA=2$.

- Dùng compa dựng cung tròn tâm $A$, bán kính $3$. Cung tròn này cắt $Oy$ tại điểm $B$.

- Nối $A$ với $B$. Góc $OBA$ là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $\mathrm{\Delta }OAB$ vuông tại $O$,  theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

          $\sin \alpha =\sin \widehat{OBA}={\displaystyle \frac{OA}{AB}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

b) Ta có:   $\cos \alpha =0,6={\displaystyle \frac{3}{5}}$

 - Dựng góc vuông $xOy$. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ bất kỳ sao cho $OA=3$. 

- Dùng compa dựng cung tròn tâm $A$ bán kính $5$. Cung tròn này cắt tia $Oy$ tại $B$.

- Nối $A$ với $B$. Góc $\widehat{OAB}=\alpha$ là góc cần dựng.

Thật vậy, Xét $\mathrm{\Delta }OAB$ vuông tại $O$, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

           $\cos \alpha =\cos \widehat{OAB}={\displaystyle \frac{OA}{AB}}={\displaystyle \frac{3}{5}}=0,6$.

c) - Dựng góc vuông $xOy$. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ sao cho $OA=4$.

   Trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OB=3$.

- Nối $A$ với $B$. Góc $\widehat{OAB}$ là góc cần dựng. 

Thật vậy, xét $\mathrm{\Delta }OAB$ vuông tại $O$, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

          $\tan \alpha =\tan \widehat{OAB}={\displaystyle \frac{OB}{OA}}={\displaystyle \frac{3}{4}}.$

d) - Dựng góc vuông $xOy$. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ sao cho $OA=3$. 

   Trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ sao cho $OB=2$.

- Nối $A$ với $B$. Góc $\widehat{OAB}$ là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $\mathrm{\Delta }OAB$ vuông tại $O$, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

          $\cot \alpha =\cot \widehat{OAB}={\displaystyle \frac{OA}{OB}}={\displaystyle \frac{3}{2}}.$

a) $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }};$   $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }};$         $\tan \alpha .\cot \alpha =1$; 

b) ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 

Gợi ý: Sử dụng định lý Py-ta-go.

Phương pháp giải:

+) Áp dụng công thức tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn:

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhhuyền}};$         $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhhuyền}}$;

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhkề}};$             $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhđối}}.$

+) Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, khi đó: 

            $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ 

Lời giải:

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, có $\widehat{ACB}=\alpha$.

+) $\mathrm{\Delta }ABC$, vuông tại $A$, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

               $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$,  $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}}$

              $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$,    $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$.

* Chứng minh $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$.

   $VP={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}:{\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{AB}{BC}}.{\displaystyle \frac{BC}{AC}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}=\tan \alpha =VT$

(Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức)

* Chứng minh $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}$. 

   $VP={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\displaystyle \frac{AC}{BC}}:{\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{AC}{BC}}.{\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{AC}{AB}}=\cot \alpha =VT$

* Chứng minh $\tan \alpha .\cot \alpha =1$.

Ta có: $VT=\tan \alpha .\cot \alpha$

                   $={\displaystyle \frac{AB}{AC}}.{\displaystyle \frac{AC}{AB}}=1=VP$

b) $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, áp dụng định lí Pytago, ta được:

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2$   (1)

Xét ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$

$={\left({\displaystyle \frac{AB}{BC}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{AC}{BC}}\right)}^2={\displaystyle \frac{A{B}^2}{B{C}^2}}+{\displaystyle \frac{A{C}^2}{B{C}^2}}=\frac{B{C}^2}{B{C}^2}=1$ 

Như vậy ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ (điều phải chứng minh) 

Nhận xét: Ba hệ thức:

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$;  $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}$ và  ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.

Gợi ý: Sử dụng bài tập 14.

Phương pháp giải:

+) Nếu $\hat{B}$ và $\hat{C}$ là hai góc phụ nhau, biết $\cos B$, sử dụng công thức: $\sin C=\cos B$. Ta tính được $\sin C$. 

+) Biết $\sin \alpha$, dùng công thức ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ tính được $\cos \alpha$.

+) Dùng công thức  $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$, biết $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ tính được $\tan \alpha$.

+) Dùng công thức:$\tan \alpha .\cot \alpha =1$, biết $\tan \alpha$ tính được $\cot \alpha$.

Lời giải:

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên góc $C$ nhọn. Vì thế:

$\sin C>0$;  $\cos C>0$;  $\tan C>0$;  $\cot C>0$.

Vì hai góc $B$ và $C$ phụ nhau $\Rightarrow \sin C=\cos B=0,8$.

Áp dụng công thức bài 14, ta có:

 ${\sin }^{2}C+{\cos }^{2}C=1$ $\iff {\cos }^{2}C=1-{\sin }^{2}C$

                                    $\iff {\cos }^{2}C=1-(0,8{)}^2$

                                    $\iff {\cos }^{2}C=0,36$

                                    $\Rightarrow \cos C=\sqrt{0,36}=0,6$

Lại có:

$\tan C={\displaystyle \frac{\sin C}{\cos C}}={\displaystyle \frac{0,8}{0,6}}={\displaystyle \frac{4}{3}};$

$\tan C.\cot C=1\iff \cot C={\displaystyle \frac{1}{\tan C}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Nhận xét: Nếu biết  $\sin \alpha$ (hay $\cos \alpha$) thì ta có thể tính được ba tỷ số lượng giác còn lại.

Dựa vào định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn:

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhhuyền}}$

$\Rightarrow cạnhđối=\sin \alpha .cạnhhuyền.$

Lời giải:

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ có $\hat{B}={60}^0$, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\sin B={\displaystyle \frac{AC}{BC}}\iff \sin {60}^o={\displaystyle \frac{AC}{8}}$

$\iff AC=8.\sin {60}^o=8.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}.$

Vậy cạnh đối diện với góc ${60}^o$  là $AC=4\sqrt{3}$.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng tỷ số lượng giác: $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhkề}}\Rightarrow cạnhđối=\tan \alpha .cạnhkề$. 

+) Dùng định lí Pytago trong tam giác vuông biết hai cạnh góc vuông, tính được cạnh huyền.

Lời giải:

Vẽ lại hình và đặt tên các góc như hình sau: 

Cách 1:

Xét tam giác $BHA$ vuông tại $H$ có $\hat{B}={45}^o$, $BH=20$ nên:

$\tan B={\displaystyle \frac{AH}{BH}}\iff \tan {45}^o={\displaystyle \frac{AH}{20}}$

$\iff AH=20.\tan {45}^o=20$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có:

$AC=\sqrt{A{H}^2+H{C}^2}=\sqrt{{20}^2+{21}^2}=29$

Vậy $x=29$

Cách 2:

Tam giác ABH vuông tại H có 1 góc bằng ${45}^0$ nên tam giác ABH vuông cân tại H

$\Rightarrow AH=BH$, mà BH = 20 nên AH = 20

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có:

$AC=\sqrt{A{H}^2+H{C}^2}=\sqrt{{20}^2+{21}^2}=29$

Vậy $x=29$

LÝ THUYẾT BÀI 2: TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN 

1. Kiến thức cần nhớ

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{BC}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{BC}};$

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AB}{AC}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$.

Tính chất 1:

+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Tức là: Cho hai góc $\alpha ,\beta$ có $\alpha +\beta ={90}^0$

Khi đó:

$\sin \alpha =\cos \beta ;\cos \alpha =\sin \beta ;$ $\tan \alpha =\cot \beta ;\cot \alpha =\tan \beta$.

Tính chất 2:

+ Nếu hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta$ có $\sin \alpha =\sin \beta$ hoặc $\cos \alpha =\cos \beta$ thì $\alpha =\beta$

Tính chất 3:

+ Nếu $\alpha$ là một góc nhọn bất kỳ thì

$0<\sin \alpha <1;0<\cos \alpha <1,$ $\tan \alpha >0;\cot \alpha >0$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1;$ $\tan \alpha .\cot \alpha =1$

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }};$

$1+{\tan }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\alpha }};1+{\cot }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{{\sin }^2\alpha }}$

Bảng tỉ số lượng giác các góc đặc biệt

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc

Phương pháp:

Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.

Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng giác giữa các góc

Phương pháp:

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại (sử dụng tính chất "Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia")

Bước 2: Với góc nhọn $\alpha ,\beta$ ta có: $\sin \alpha <\sin \beta \iff \alpha <\beta ;$$\cos \alpha <\cos \beta \iff \alpha >\beta ;$$\tan \alpha <\tan \beta \iff \alpha <\beta ;$$\cot \alpha <\cot \beta \iff \alpha >\beta$.

Dạng 3: Rút gọn, tính giá trị biểu thức lượng giác

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức

+ Nếu $\alpha$ là một góc nhọn bất kỳ  thì

$0<\sin \alpha <1;0<\cos \alpha <1$, $\tan \alpha >0;\cot \alpha >0$ ,  ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1;\tan \alpha .\cot \alpha =1$

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }};$

$1+{\tan }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\alpha }};1+{\cot }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1}{{\sin }^2\alpha }}$

+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.