Sử dụng trường hợp đồng dạng góc-góc để chứng minh hai tam giác $ABH$ và $CAH$ đồng dạng.

Từ đó suy ra tỉ lệ cạnh và hệ thức cần tìm. 

Lời giải:

Ta có $\widehat{BAH}+\widehat{CAH}={90}^0$ và $\widehat{CAH}+\widehat{ACH}={90}^0$ (do tam giác $AHC$ vuông tại $H$)

Do đó $\widehat{BAH}=\widehat{ACH}$ (cùng phụ $\widehat{CAH}$)

Xét  $\mathrm{\Delta }ABH$ và  $\mathrm{\Delta }CAH$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(={90}^o$)

$\widehat{BAH}=\widehat{ACH}$ (chứng minh trên )

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABH\sim \mathrm{\Delta }CAH\left(g.g\right)$ 

${\displaystyle \Rightarrow \frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}}$( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow A{H}^2=BHhay{h}^2=b^{\prime }.c^{\prime }$

Phương pháp giải:

Sử dụng trường hợp đồng dạng g-g rồi suy ra tỉ lệ cạnh và hệ thức cần tìm.

Lời giải:

Cách 1: 

Xét tam giác $AHB$ và $CAB$ có

$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}(={90}^0$)

$\hat{B}$ chung

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABH\backsim \mathrm{\Delta }CBA$ (g-g)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{AH}{AC}}$ ( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AB.AC=AH.BC$ hay $b.c=a.h$ (đpcm)

Cách 2: 

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có: $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}.AB.AC$ (1)

Xét tam giác $ABC$ có chiều cao $AH$ ứng với cạnh đáy $BC$ có: $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}.AH.BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $AB.BC=AH.BC$ hay $b.c=a.h$

+) Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, khi đó: $B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2$. 

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền:

  $b^2=a.b^{\prime },c^2=a.c^{\prime }$

Lời giải:

a) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới:

 Áp dụng định lí Pytago vào $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$

 Áp dụng hệ thức lượng vào$\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, ta có:

$A{B}^2=BC.BH\Rightarrow BH={\displaystyle \frac{A{B}^2}{BC}}={\displaystyle \frac{6^2}{10}}=3,6$

Lại có $HC=BC-BH=10-3,6=6,4$ 

Vậy $x=BH=3,6$;  $y=HC=6,4$.

b) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới

Áp dụng hệ thức lượng vào $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, ta có:

$A{B}^2=BH.BC\iff {12}^2=20.x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{{12}^2}{20}}=7,2$

Lại có: $HC=BC-BH=20-7,2=12,8$ 

Vậy $x=BH=7,2;$  $y=HC=12,8$.

+) Tính độ dài cạnh huyền.

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền. Biết hình chiếu và cạnh huyền ta tính được cạnh góc vuông.

  $b^2=a.b^{\prime },c^2=a.c^{\prime }$

Lời giải:

Đặt tên các đỉnh như hình vẽ:

Ta có: $BC=BH+HC=1+4=5$. 

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

             $A{B}^2=BH.BC\iff x^2=1.5$  (với $x>0)$

                                           $\iff x^2=5$

                                           $\iff x=\sqrt{5}$.

              $A{C}^2=CH.BC\iff y^2=4.5$  (với $y>0)$

                                           $\iff y^2=20$

                                           $\iff y=\sqrt{20}$

                                           $\iff y=2\sqrt{5}$.

Vậy $x=\sqrt{5}$, $y=2\sqrt{5}$. 

+) Tính độ dài cạnh huyền.

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền. Biết hình chiếu và cạnh huyền ta tính được cạnh góc vuông.

  $b^2=a.b^{\prime },c^2=a.c^{\prime }$

Lời giải:

Đặt tên các điểm như trong hình:

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$. Theo định lí Pytago, ta có:

                       $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

                 $\iff y^2=5^2+7^2$

                $\iff y^2=74$

                $\iff y=\sqrt{74}$

Cách 1: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, áp dụng công thức $b.c=h.a$, ta được:

$AB.AC=AH.BC$

$\Rightarrow AH={\displaystyle \frac{AB.AC}{BC}}={\displaystyle \frac{5.7}{\sqrt{74}}}={\displaystyle \frac{35\sqrt{74}}{74}}$.

Cách 2: Áp dụng hệ thức liên quan đến đường cao trong tam giác vuông, ta có:

                      ${\displaystyle \frac{1}{A{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{A{B}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{A{C}^2}}$

                  $\iff {\displaystyle \frac{1}{x^2}}={\displaystyle \frac{1}{5^2}}+{\displaystyle \frac{1}{7^2}}$

                  $\iff {\displaystyle \frac{1}{x^2}}={\displaystyle \frac{74}{1225}}$

                  $\iff x=\sqrt{{\displaystyle \frac{1225}{74}}}$

                  $\iff x={\displaystyle \frac{35\sqrt{74}}{74}}$

Vậy $x={\displaystyle \frac{35\sqrt{74}}{74}},y=\sqrt{74}$

+) Sử dụng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu  $h^2=b^{\prime }.c^{\prime }$. Biết $h,c^{\prime }$ tính được $b^{\prime }$.

+) Tính độ dài cạnh huyền: $a=b^{\prime }+c^{\prime }$.

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền $b^2=b^{\prime }.a$. Biết $a,b^{\prime }$ tính được $b$.

Lời giải:

Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình bên dưới

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.

Áp dụng hệ thức liên quan đến đường cao, ta có:

                     $h^2=b^{\prime }.c^{\prime }$ 

             $\iff A{H}^2=HB.HC$

             $\iff 2^2=1.x$

             $\Rightarrow x=4.$

Ta có: $BC=BH+HC=1+4=5$

Áp dụng hệ thức $b^2=b^{\prime }.a$, ta có:

                     $A{C}^2=CH.BC$

               $\iff y^2=5.4$

              $\iff y^2=20$

              $\iff y=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.$

Vậy $x=4,y=2\sqrt{5}$.

+) Dùng định lí Pytago để tính cạnh huyền. 

+) Dùng hệ thức $h.a=b.c$. Biết hai cạnh góc vuông $b,c$ và cạnh huyền $a$ tính được đường cao $h$.

+) Biết cạnh huyền $a$ và các cạnh góc vuông $a,c$.  Dùng các hệ thức $b^2=b^{\prime }.a$;   $c^2=c^{\prime }.a$ suy ra  $b^{\prime }={\displaystyle \frac{b^2}{a}};c^{\prime }={\displaystyle \frac{c^2}{a}}$.

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ có $AB=3,AC=4$. Ta cần tính $AH,BH$ và $CH$. 

Áp dụng định lí Pytago cho $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, ta có:

                   $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ 

           $\iff B{C}^2=3^2+4^2$

           $\iff B{C}^2=9+16=25$

            $\iff BC=\sqrt{25}=5$.

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

        *  $AH.BC=AB.AC$  $\iff AH.5=3.4$

                                               $\iff AH={\displaystyle \frac{3.4}{5}}=2,4$

        *   $A{B}^2=BH.BC$  $\iff 3^2=BH.5$

                                           $\iff 9=BH.5$

                                           $\iff BH={\displaystyle \frac{9}{5}}=1,8$

        * $A{C}^2=CH.BC$ $\iff 4^2=CH.5$

                                         $\iff 16=CH.5$

                                         $\iff CH={\displaystyle \frac{16}{5}}=3,2$

+) Tính cạnh huyền: $a=b^{\prime }+c^{\prime }$.

+) Dùng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền $b^2=b^{\prime }.a;c^2=c^{\prime }.a$, biết hình chiếu $b^{\prime },c^{\prime }$ và cạnh huyền $a$, tính được $a,b$.

Lời giải:

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, $BH=1,CH=2$. Ta cần tính $AB,AC$.

Cách 1:

Ta có: $BC=BH+HC=1+2=3$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, ta có:

        * $A{B}^2=BH.BC\iff A{B}^2=1.3=3$

                                         $\iff AB=\sqrt{3}$

        * $A{C}^2=CH.BC\iff A{C}^2=2.3=6$

                                         $\iff AC=\sqrt{6}$

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông cần tìm là $\sqrt{3}$ và $\sqrt{6}$.

Cách 2:

Áp dụng hệ thức lượng trong $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, ta có:

$A{H}^2=BH.HC=1.2=2\Rightarrow AH=\sqrt{2}$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABH, ta được:

$A{B}^2=B{H}^2+A{H}^2=1^2+(\sqrt{2}{)}^2=3\Rightarrow AB=\sqrt{3}$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ACH, ta được:

$A{C}^2=C{H}^2+A{H}^2=2^2+(\sqrt{2}{)}^2=4+2=6\Rightarrow AC=\sqrt{6}$$A{C}^2=C{H}^2+A{H}^2=2^2+(\sqrt{2}{)}^2=4+2=6\Rightarrow AC=\sqrt{6}$

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông cần tìm là $\sqrt{3}$ và $\sqrt{6}$.

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Phương pháp giải:

+) Đặt tên các điểm và nối các điểm lại để xuất hiện tam giác.

+) Dùng dấu hiệu: "tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó là tam giác vuông" để chứng minh tam giác vuông.

+ Dùng các hệ thức sau để chứng minh $x$ là trung bình nhân của $a,b$:

         $b^2=a.b^{\prime },c^2=a.c^{\prime }$      $(1)$

         $h^2=b^{\prime }.c^{\prime }$                       $(2)$

+) Nêu các bước để vẽ được đoạn trung bình nhân..

Lời giải:

Cách 1: Đặt tên các đoạn thẳng như hình bên. 

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ có: 

      $OA=OB=OC={\displaystyle \frac{BC}{2}}$ (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Mà $AO$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$ của $\mathrm{\Delta }ABC$.

Suy ra $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ ( tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì là tam giác vuông)

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Áp dụng hệ thức $h^2=b^{\prime }.c^{\prime }$, ta được:

       $A{H}^2=BH.CH\iff x^2=a.b$

                                       $\iff x=\sqrt{ab}$

Vậy $x$ là trung bình nhân của $a$ và $b$.

Cách vẽ: Bước $1$: Đặt $BH=a,CH=b$. Xác định trung điểm $O$ của đoạn $AB$. 

             Bước $2$: Vẽ nửa đường tròn tâm $O$ bán kính $OB$. 

             Bước $3$: Kẻ thẳng đi qua $H$ và vuông góc với $BC$. Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại $A$. 

             Bước $4$: Nối $A$ và $H$ ta được $AH=x$ là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng $a,b$.

Cách 2: Vẽ và đặt tên như hình bên dưới

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ có:

                $OA=OB=OC={\displaystyle \frac{BC}{2}}$ (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Mà $AO$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$ của $\mathrm{\Delta }ABC$.

Suy ra $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ (tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bẳng nửa cạnh đó thì là tam giác vuông)

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$.  Áp dụng hệ thức $b^2=b^{\prime }.a$, ta có:

                 $A{B}^2=BC.BH\iff x^2=a.b$

                                                $\iff x=\sqrt{ab}$ 

Vậy $x$ là trung bình nhân của $a$ và $b$.

Cách vẽ: Bước $1$: Đặt $BH=a,CH=b$. Xác định trung điểm $O$ của đoạn $BC$.

             Bước $2$: Vẽ nửa đường tròn tâm $O$ bán kính $OB$. 

             Bước $3$: Kẻ đường thẳng đi qua điểm $H$ và vuông góc với $BC$. Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại $A$. 

             Bước $4$: Nối $B$ và $A$ ta được $AB=x$ là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng $a,b$. 

a) Dùng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu $h^2=b^{\prime }.c^{\prime }$, biết $b^{\prime },c^{\prime }$ tính được $h$.

b) +) Dùng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu $h^2=b^{\prime }.c^{\prime }$

+) Dùng định lí Pytago trong tam giác vuông để tính $y$.

c) Dùng hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu $h^2=b^{\prime }.c^{\prime }$, biết $h,b^{\prime }$ tính được $c^{\prime }$.

+) Dùng định lí Pytago trong tam giác vuông.

Lời giải:

 Đặt tên các điểm như hình vẽ:

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Áp dụng hệ thức $h^2=b^{\prime }.c^{\prime }$, ta được:

                           $A{H}^2=BH.CH$

                     $\iff x^2=4.9=36$

                     $\iff x=\sqrt{36}=6$

Vậy $x=6$

b) Đặt tên các điểm như hình vẽ

Xét $\mathrm{\Delta }DEF$ vuông tại $D$, đường cao $DH$. Áp dụng hệ thức $h^2=b^{\prime }.c^{\prime }$, ta được:

$D{H}^2=HE.HF\Rightarrow 2^2=x.x\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=2$

Xét $\mathrm{\Delta }DHF$ vuông tại $H$. Áp dụng định lí Pytago, ta có:

$D{F}^2=D{H}^2+H{F}^2$

$y^2=2^2+x^2=2^2+2^2=8$

$\Rightarrow y=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Vậy $x=2,y=2\sqrt{2}$.

c) Đặt tên các điểm như hình vẽ:

Xét $\mathrm{\Delta }MNP$ vuông tại $P$, đường cao $PH$. Áp dụng hệ thức $h^2=b^{\prime }.c^{\prime }$, ta được:

              $P{H}^2=HM.HN\iff {12}^2=16.x$

                                              $\iff 144=16.x$

                                              $\iff x={\displaystyle \frac{144}{16}}=9$

 Xét $\mathrm{\Delta }PHN$ vuông tại $H$. Áp dụng định lí Pytago, ta có:

$P{N}^2=P{H}^2+H{N}^2\iff y^2={12}^2+9^2$

$\iff y^2=144+81=225$

$\iff y=\sqrt{225}=15$

Vậy $x=9,y=15$.

a) Tam giác $DIL$ là một tam giác cân;

b) Tổng ${\displaystyle \frac{1}{D{I}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{D{K}^2}}$ không đổi khi $I$ thay đổi trên cạnh $AB$.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau$(\mathrm{\Delta }ADI$ và $\mathrm{\Delta }CDL)$ từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: ${\displaystyle \frac{1}{h^2}}={\displaystyle \frac{1}{b^2}}+{\displaystyle \frac{1}{c^2}}$ để đưa tổng đã cho về tổng của các số không đổi.

Lời giải:

a) Xét $\mathrm{\Delta }ADI$ và $\mathrm{\Delta }CDL$ có: 

               $\hat{A}=\hat{C}={90}^{\circ }$

              $AD=CD$ (hai cạnh hình vuông)

             $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$  (cùng phụ với $\widehat{CDI})$

Do đó $\mathrm{\Delta }ADI=\mathrm{\Delta }CDL$ (g.c.g)

$\Rightarrow DI=DL$ ( 2 cạnh tương ứng)

Vậy $\mathrm{\Delta }DIL$ cân tại D (đpcm).

b) Xét $\mathrm{\Delta }DLK$ vuông tại $D$, đường cao $DC$.

Áp dụng hệ thức ${\displaystyle \frac{1}{h^2}}={\displaystyle \frac{1}{b^2}}+{\displaystyle \frac{1}{c^2}}$, ta có:

                 ${\displaystyle \frac{1}{D{C}^2}}={\displaystyle \frac{1}{D{L}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{D{K}^2}}$  (mà $DL=DI)$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{D{C}^2}}={\displaystyle \frac{1}{D{I}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{D{K}^2}}$

Do ABCD cố định nên $DC$ không đổi, do đó ${\displaystyle \frac{1}{D{I}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{D{K}^2}}$ là không đổi.

Chú ý: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức ${\displaystyle \frac{1}{h^2}}={\displaystyle \frac{1}{b^2}}+{\displaystyle \frac{1}{c^2}}$

Nếu đề bài không cho vẽ $DL\perp DK$ thì ta vẫn phải vẽ đường phụ $DL\perp DK$ để có thể vận dụng hệ thức trên.