a) Cạnh huyền và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C;

b) Cạnh góc vuông còn lại và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn.

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhhuyền}};$         $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhhuyền}}$;

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhkề}};$             $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhđối}}.$ 

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& \sin B=\frac{b}{a};\cos B=\frac{c}{a};tgB=\frac{b}{c};\mathrm{cotgB}=\frac{c}{b}\\ & \sin C=\frac{c}{a};\cos C=\frac{b}{a};tgC=\frac{c}{b};\mathrm{cotgB}=\frac{b}{c}\end{array}$

a)

$\begin{array}{rl}& b=a.\left(\frac{b}{a}\right)=a.\sin B=a.\cos C\\ & c=a.\left(\frac{c}{a}\right)=a.\cos B=a.\sin C\end{array}$

b)

$\begin{array}{rl}& b=c.\left(\frac{b}{c}\right)=c.tgB=c.\mathrm{cotg}C\\ & c=b.\left(\frac{c}{b}\right)=b.\mathrm{cotg}B=b.tgC\end{array}$

Lời giải:

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:  

$\begin{array}{rl}& tgB=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{5}\Rightarrow \hat{B}\approx {58}^o\\ & \Rightarrow \sin B=\frac{AC}{BC}\\ & \Rightarrow \sin {58}^0=\frac{AC}{BC}\\ & \Rightarrow \frac{AC}{BC}\approx 0,848\\ & \Rightarrow BC=\frac{AC}{0,848}\approx 9,433\end{array}$

Lời giải:

Tam giác $OPQ$ vuông tại $O$, ta có $\hat{Q}={90}^{\circ }-\hat{P}={90}^{\circ }-{36}^{\circ }={54}^{\circ }.$

Theo các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

$OP=PQ.\cos P=7.\cos {36}^{\circ }\approx 5,663$  

$OQ=PQ.\cos Q=7.\cos {54}^{\circ }\approx 4,114.$

Phương pháp giải:

+) Tháp đặt vuông góc với mặt đất nên ta có tam giác vuông.

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ thì:

$AC=AB.\tan B=AB.\cot C$ 

Lời giải:

Đặt tên các điểm như hình vẽ.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\tan B={\displaystyle \frac{AC}{AB}}\iff \tan {34}^o={\displaystyle \frac{AC}{86}}$

$\iff AC=86.\tan {34}^o\approx 58(m)$

Vậy chiều cao của tháp là: $58\left(m\right)$.

a) $b=10cm;\hat{C}={30}^{\circ }$              ;b) $c=10cm;\hat{C}={45}^{\circ }$

c) $a=20cm;\hat{B}={35}^{\circ }$                ;d) $c=21cm;b=18cm$

Phương pháp giải:

Giải tam giác vuông là đi tìm tất cả các yếu tố (góc và cạnh) chưa biết của tam giác đó.

+) Sử dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì:

$b=a.\sin B=a.\cos C;$                  $b=c.\tan B=c.\cot C;$

$c=a.\sin C=a.\cos B;$                    $c=b.\tan C=b.\cot B$.  

Lời giải:

 Quy ước: Tam giác ABC vuông tại A có a = BC ; b = AC; c = AB

a) 

(H.a)

+) Ta có: $\hat{B}+\hat{C}={90}^{\circ }\Rightarrow \hat{B}={90}^o-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$

+) Lại có 

$AB=AC.\tan C=10.tan{30}^o={\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{3}}\approx 5,77(cm)$

$AC=BC.\cos C\Rightarrow 10=BC.\cos {30}^o\Rightarrow BC={\displaystyle \frac{10}{\cos {30}^o}}={\displaystyle \frac{20\sqrt{3}}{3}}\approx 11,55(cm)$

b) 

(H.b)

+) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=10,\hat{C}={45}^o$ nên $ABC$ là tam giác vuông cân tại A $\Rightarrow \hat{B}={45}^{\circ };AB=AC=10(cm)$

+) Lại có: $AB=BC.\sin C\Rightarrow 10=BC.sin{45}^o$

$\Rightarrow BC={\displaystyle \frac{10}{\sin {45}^o}}=10\sqrt{2}\approx 14,14(cm).$

c)  (H.c) 

+) Ta có: $\hat{C}+\hat{B}={90}^{\circ }\Rightarrow \hat{C}={90}^o-\hat{B}={90}^o-{35}^{\circ }={55}^{\circ }.$ 

+) Lại có: $AB=BC\cdot cosB=20\cdot cos{35}^{\circ }\approx 16,383(cm)$

                $AC=BC\cdot sinB=20\cdot sin{35}^{\circ }\approx 11,472(cm)$.

d) (H.d)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC, ta được: $B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2={18}^2+{21}^2=765$

$\Rightarrow BC=\sqrt{765}=3\sqrt{85}\approx 27,66(cm)$

Lại có:

$\tan B={\displaystyle \frac{AC}{AB}}={\displaystyle \frac{18}{21}}\approx 0,8571$

Bấm máy tính: SHIFT tan 0,8571 $\Rightarrow \hat{B}\approx {41}^{\circ }$

Vì $\hat{C}+\hat{B}={90}^o\Rightarrow \hat{C}={90}^o-{41}^o={49}^{\circ }$ 

Phương pháp giải

+) Dựng tam giác có các cạnh và góc thỏa mãn đề bài.

+) Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhkề}}.$ Từ đó dùng máy tính tính được độ lớn góc $\alpha$.

Lời giải:

Theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta có:

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{AC}{AB}}={\displaystyle \frac{7}{4}}=1,75$

Bấm máy tính: SHIFT tan 1,75 = , ta được: $\alpha \approx {60}^o{15}^{\prime }$

Vậy góc mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất là ${60}^0{15}^{\prime }$

Phương pháp giải:

+) Dựng tam giác có các cạnh và góc thỏa mãn đề bài.

+) Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn: $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhhuyền}}.$ Từ đó dùng máy tính tính được số đo góc $\alpha$. 

a) Đoạn thẳng $AN$;

b) Cạnh $AC$.

Gợi ý: Kẻ $BK$ vuông góc với $AC$.

Phương pháp giải:

+) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $\hat{B}+\hat{C}={90}^o$.

+) Sử dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì:

               $b=a.\sin B\Rightarrow a={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}$; 

              $b=a.\cos C\Rightarrow a={\displaystyle \frac{b}{\cos C}}$.                  

Lời giải:

a) Kẻ $BK\perp AC$ $(K\in AC)$

Xét tam giác vuông $BKC$ ta có: 

 $\widehat{KBC}+\widehat{KCB}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{KBC}={90}^o-\widehat{KCB}={90}^o-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$

Mà $\widehat{KBA}+\widehat{ABN}=\widehat{KBN}\Rightarrow \widehat{KBA}=\widehat{KBN}-\widehat{ABN}$

$\iff \widehat{KBA}={60}^{\circ }-{38}^{\circ }={22}^{\circ }$

Xét tam giác $KBC$ vuông tại $K$ có:

$BK=BC\cdot \sin C=11\cdot \sin {30}^{\circ }=5,5(cm)$

Xét tam giác $KBA$ vuông tại $K$ có: 

$BK=AB.\cos \widehat{KBA}\iff 5,5=AB.\cos {22}^o$

$\Rightarrow AB={\displaystyle \frac{5,5}{\cos {22}^{\circ }}}\approx 5,932(cm).$

Xét tam giác $ABN$ vuông tại $N$ có:

$AN=AB.\sin \widehat{ABN}\approx 5,932.\sin {38}^o\approx 3,652(cm)$

b) Xét tam giác $ANC$ vuông tại $N$ có:

$AN=AC.\sin C\Rightarrow 3,652=\sin {30}^o.AC$

$\iff AC={\displaystyle \frac{3,652}{\sin {30}^o}}\approx 7,304(cm)$.

$\widehat{ACB}={54}^o$ và $\widehat{ACD}={74}^o$. Hãy tính:

a) AB; 

b) $\widehat{ADC}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $B$ thì: $AB=AC.\sin C$.

b) Kẻ thêm đường cao để làm xuất hiện tam giác vuông (Kẻ $AH\perp CD$)

+) Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ khi đó: $AB=BC.\sin C$ hoặc $AC=AB.\sin B$.

+) Biết $\sin \alpha$ dùng máy tính ta tính được số đo góc $\alpha$.

Lời giải:

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có:

$\sin C=\frac{AB}{AC}$

Nên $AB=AC.\sin C=8.\sin {54}^0\approx 6,472\left(cm\right)$

b) Kẻ $AH$ vuông góc với $CD$ tại $H.$

Xét tam giác $ACH$ vuông tại $H$ có:

$\sin C=\frac{AH}{AC}$

Nên $AH=AC.\sin C=8.\sin {74}^0\approx 7,69\left(cm\right)$

Xét tam giác $AHD$ vuông tại $H$ có:

$\sin \mathrm{D}={\displaystyle \frac{AH}{AD}}\approx {\displaystyle \frac{7,69}{9,6}}\approx 0,801\Rightarrow \hat{D}\approx {53}^0$.

+) Sử dụng công thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$, khi đó:

$AB=BC.\sin C;$    $AC=BC.\sin B$. 

+) Công thức liên hệ giữa quãng đường $(S)$, vận tốc $(v)$ và thời gian $(t)$ là: $S=v.t$.

Lời giải:

Gọi $AB$ là đoạn đường mà con thuyền đi được trong $5$ phút, $BH$ là chiều rộng của khúc sông.

Đổi $5$ phút $={\displaystyle \frac{1}{12}}h.$ Biết vận tốc của thuyền là $v=2km/h$

Suy ra quãng đường thuyền đi trong $5$ phút là: $AB=S=v.t=2.{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$  (km).

Xét tam giác $HAB$ vuông tại $H$, $AB={\displaystyle \frac{1}{6}}km,\hat{A}={70}^o$, ta có:

$BH=AB.\sin A={\displaystyle \frac{1}{6}}.\sin {70}^o$$\approx 0,1566(km)=156,6m$

Vậy chiều rộng khúc sông xấp xỉ $156,6(m)$.