a) Cạnh huyền, cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.

b) Các cạnh góc vuông $p,r$ và đường cao h.

c) Đường cao h và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền $p^{\prime },r^{\prime }$

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải:

$\begin{array}{l}a)p^2=p^{\prime }.q;r^2=r^{\prime }.q\\ b){\displaystyle \frac{1}{h^2}}={\displaystyle \frac{1}{p^2}}+{\displaystyle \frac{1}{r^2}}\\ c)h^2=p^{\prime }.r^{\prime }\end{array}$

a) Hãy viết công thức tính các tỉ số lượng giác của góc $\alpha$

b) Hãy viết hệ thức giữa các tỉ số lượng giác của góc $\alpha$ và các tỉ số lượng giác của góc $\beta .$

Lời giải:

$\begin{array}{l}a)\sin \alpha ={\displaystyle \frac{b}{a}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{c}{a}};\tan \alpha ={\displaystyle \frac{b}{c}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{c}{b}}\\ b)\sin \alpha =\cos \beta ;\cos \alpha =\sin \beta \\ \tan \alpha =\cot \beta ;\cot \alpha =\tan \beta \end{array}$

a) Hãy viết công thức tính các cạnh góc vuông b và c theo cạnh huyền a và tỉ số lượng giác của các góc $\alpha ,\beta .$

b) Hãy viết công thức tính mỗi cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông kia và tỉ số lượng giác của các góc $\alpha ,\beta .$

Lời giải:

a) Ta có:

$b=a\sin \alpha =a\cos \beta ;$ $c=a\sin \beta =a\cos \alpha$

b) $b=c.\tan \alpha =c.\cot \beta$

$c=b.\tan \beta =b.\cot \alpha$ 

Lời giải:

Để giải một tam giác vuông cần biết hai yếu tố trong đó có ít nhất là một yếu tố cạnh. 

a) Trong hình 41, sinα bằng

(A) ${\displaystyle \frac{5}{3}}$                     (B) ${\displaystyle \frac{5}{4}}$                    (C) ${\displaystyle \frac{3}{5}}$                    (D)

b) Trong hình 42, sin Q bằng${\displaystyle \frac{3}{5}}$

(A) ${\displaystyle \frac{P\mathrm{R}}{R\mathrm{S}}}$              (B) ${\displaystyle \frac{P\mathrm{R}}{QR}}$               (C) ${\displaystyle \frac{P\mathrm{S}}{S\mathrm{R}}}$                (D) ${\displaystyle \frac{S\mathrm{R}}{Q\mathrm{R}}}$ 

c) Trong hình 43, cos 30° bằng

(A) ${\displaystyle \frac{2\mathrm{a}}{\sqrt{3}}}$                (B) ${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}$               (C) ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$               (D) ${\displaystyle 2\sqrt{3}{a}^2}$   

Phương pháp giải:

+) Dựa vào các tỉ số lượng giác của góc nhọn để làm bài.

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhhuyền}}$ và $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhhuyền}}.$  

Lời giải:

a) Ta có: ${\displaystyle \sin \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}.}$

Chọn (C) 

b) Xét ${\displaystyle \mathrm{\Delta }QPR}$ vuông tại R ta có: ${\displaystyle \sin Q={\displaystyle \frac{PR}{PQ}}.}$

Xét ${\displaystyle \mathrm{\Delta }RQS}$ vuông tại S ta có: ${\displaystyle \sin Q={\displaystyle \frac{RS}{RQ}}.}$

Chọn (D)

c) Chọn (C) vì:  ${\displaystyle \cos {30}^0=\frac{\sqrt{3}a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.}$  

a)Trong hình 44, hệ thức nào trong các hệ thức sau là đúng? 

(A) ${\displaystyle \sin \alpha =\frac{b}{c}}$                   (B) ${\displaystyle \mathrm{cotg}\alpha =\frac{b}{c}}$ 

(C) ${\displaystyle tg\alpha =\frac{a}{c}}$                      (D) 

b) Trong hình 45, hệ thức nào trong các hệ thức sau không đúng?${\displaystyle \mathrm{cotg}\alpha =\frac{a}{c}}$

(A) ${\displaystyle {\sin }^2\alpha +co{s}^2\alpha =1}$;

(B) ${\displaystyle \sin \alpha =cos\beta }$;

(C) ${\displaystyle \cos \beta =sin(90°-\alpha )}$;

(D) ${\displaystyle tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$ 

Phương pháp giải:

+) Dựa vào các tỉ số lượng giác của góc nhọn để làm bài.

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhhuyền}}$ và $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhhuyền}}.$

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhđối}{cạnhkề}}$ và $\cot \alpha ={\displaystyle \frac{cạnhkề}{cạnhđối}}.$ 

Lời giải chi tiết:

a) Áp dụng công thức lượng giác ta có:

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{a}{b}};\cos \alpha ={\displaystyle \frac{c}{b}};\tan \alpha ={\displaystyle \frac{a}{c}};\cot \alpha ={\displaystyle \frac{c}{a}}.$

Vậy C đúng.

Chọn C. 

b) Chọn C sai vì: $\cos \beta =\sin (90°-\beta )$  nên $cos\beta =sin(90°-\alpha )$ là sai, điều này chỉ đúng khi $\beta =\alpha ={45}^o.$

Phương pháp giải:

+) Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông nào có hình chiếu lớn hơn thì cạnh đó lớn hơn.

+) Áp dụng định lý Pi-ta-go.

Lời giải:

+) Xét hình 46, ta có:

$BH<HC(20cm<21cm)\Rightarrow AB<AC$ (đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn)

$∆HAB$ vuông tại $H$ có $\widehat{ABH}=45°$ nên là tam giác vuông cân $\Rightarrow AH=BH=20(cm).$

$∆HAC$ vuông tại $H,$ theo định lí Py-ta-go có:

$A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2={21}^2+{20}^2=841={29}^2.$

$\Rightarrow AC=\sqrt{{29}^2}=29(cm)$

Vậy cạnh lớn hơn là $AC=29cm$

+) Xét hình 47, ta có:

$BH>HC(21cm>20cm)\Rightarrow AB>AC$ (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn)

$∆ABH$ vuông tại $H$ có  $\hat{B}=45°$ nên là tam giác vuông cân $\Rightarrow AH=BH=21(cm)$

Theo định lý Py-ta-go trong tam giác vuông $ABH$ ta có:

$AB=\sqrt{{AH}^2+{BH}^2}$$=\sqrt{{21}^2+{21}^2}=21\sqrt{2}\approx 29,7(cm).$

Vậy cạnh lớn hơn là $AB=29,7cm$.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?

Phương pháp giải:

+) Chứng minh tam giác có tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông. 

+) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính các góc của tam giác ABC.

+) Áp dụng hệ thức lượng đối với tam giác vuông có đường cao để tính đường cao của tam giác đó.

+) Diện tích tam giác $ABC$ vuông tại $A$: $S={\displaystyle \frac{1}{2}}AH.BC={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.AC.$ 

Lời giải:

a) Xét ∆ABC có $A{B}^2+A{C}^2=6^2+4,5^2=36+20,25$$=56,25=7,5^2=B{C}^2.$

$\Rightarrow ∆ABC$ vuông tại $A$  (định lý Py-ta-go đảo).

 $\begin{array}{rl}& Tacó:tanB=\frac{AC}{AB}=\frac{4,5}{6}=0,75\Rightarrow \hat{B}\approx {37}^0\\ & \Rightarrow \hat{C}={90}^0-\hat{B}={53}^0.\end{array}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, có:

$AH.BC=AB.AC$

${\displaystyle \Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{4,5.6}{7,5}=3,6(cm).}$

b)

Kẻ $MK\mathrm{\perp }BC$ tại $K.$

Ta có: $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AH.BC$ 

$S_{MBC}={\displaystyle \frac{1}{2}}MK.BC$

Từ đó, $S_{ABC}=S_{MBC}\iff MK=AH=3,6cm.$

Do đó $M$ nằm trên hai đường thẳng song song cách $BC$ một khoảng bằng $3,6cm$ (hình vẽ).

Phương pháp giải:

+) Áp dụng: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{IKB}={50}^0+{15}^0={65}^0$ 

$∆IBK$ vuông tại $I$ nên $IB=IK.\tan \widehat{IKB}=380.tan65°\approx 814,9(m).$

$∆IAK$ vuông tại $I$ nên $IA=IK.\tan \widehat{IKA}=380.tan50°\approx 452,9(m).$

Khoảng cách giữa hai thuyền là: $AB=IB–IA\approx 814,9-452,9=362(m).$

Phương pháp giải:

+) Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song.

+) Dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn. 

Lời giải:

Giả sử hai cọc được đặt ở 2 điểm $B$ và $N$ trong hình vẽ. 

Ta có: $MN//AC$ (vì cùng vuông với $AB$) $\Rightarrow \widehat{BNM}=\widehat{BCA}={50}^0$ (hai góc đồng vị).

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có: $\tan C={\displaystyle \frac{AB}{AC}}\Rightarrow AB=AC.\tan {50}^o=20.\tan {50}^o.$

$\Rightarrow BM=AB-AM=20\tan {50}^o-5\approx 18,835m.$

Xét tam giác $BMN$ vuông tại $M$ ta có: $\sin \widehat{BNM}={\displaystyle \frac{BM}{BN}}$$\Rightarrow BN={\displaystyle \frac{BM}{\sin {50}^o}}={\displaystyle \frac{18,835}{\sin {50}^o}}\approx 24,59m.$

Vậy khoảng cách giữa hai cọc là: $BN\approx 24,59m.$

Phương pháp giải:

+) Chiều cao của cây bằng chiều cao của người quan sát + khoảng cách tử đỉnh đầu của người đó đến ngọn cây.

Lời giải:

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A ta có: 

$AC=AB.\tan {35}^o\approx 30.0,7=21m$

Chiều cao của cây là:

$A^{\prime }C=A{A}^{\prime }+AC\approx 1,7+21$$=22,7m=227dm.$

$\sin 23°{36}^{\prime }\approx 0,4;$

$\cos 66°{24}^{\prime }\approx 0,4;$

$tg21°{48}^{\prime }\approx 0,4.$

Phương pháp giải:

+) Dựa vào các tỉ số lượng giác của góc nhọn. 

+) Tổng hai góc nhọn của tam giác bằng ${90}^0.$

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: ${\displaystyle \tan y={\displaystyle \frac{AC}{BC}}=\frac{2}{5}=0,4}$ nên $y\approx 21°{48}^{\prime }.$

Vì tam giác ABC vuông tại C nên $x+y={90}^0$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông).

Do đó: $x=90°-y\approx 68°{12}^{\prime }.$ 

Vậy: $x–y\approx 68°{12}^{\prime }-21°{48}^{\prime }\approx 46°{24}^{\prime }.$

+) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.

+) Hoặc: Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân côsin góc kề.

Lời giải:

Kí kiệu như hình vẽ. 

Cách 1:

Xét tam giác vuông $ABC$ vuông tại $C$. Ta có: $AC=AB.\cos A$ (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông) 

Vì ${60}^0\le \hat{A}\le {70}^0$ nên ta xét: 

+) Khi $\widehat{CAB}={60}^0$ thì $AC=AB\cos A=3\cos {60}^0=1,5(m)$

+) Khi $\widehat{CAB}={70}^0$ thì $AC=AB\cos A=3\cos {70}^0\approx 1,03(m)$

Vậy khi dùng thang đó, chân thang phải đặt cách tường một khoảng từ $1,03m$ đến $1,5m$ để đảm bảo an toàn.

Cách 2:

Vì ${60}^0\le \hat{A}\le {70}^0$ 

$\Rightarrow \cos {70}^o\le cosA\le \cos {60}^o$ 

$\Rightarrow AB.\cos {70}^o\le AB.cosA\le AB.\cos {60}^o$

$\Rightarrow 3.\cos {70}^o\le AB.cosA\le 3.\cos {60}^o$

$\Rightarrow 1,03\le AC\le 1,5$

Vậy khi dùng thang đó, chân thang phải đặt cách tường một khoảng từ $1,03m$ đến $1,5m$ để đảm bảo an toàn.

Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Ơ-ra-tô-xten, một nhà Toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất (chu vi đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy-en (Nay gọi là Át–xu-an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.

2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lếch-săng-đri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m.

Từ hai quan sát trên, em hãy tính xấp xỉ “chu vi” Trái Đất.

(Trên hình 5, điểm S tượng trưng cho thành phố Xy-en, điểm A tượng trung cho thành phố A-lếch-xăng-đri-a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).

Phương pháp giải:

+) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Lời giải:

Bóng của tháp vuông góc với tháp:

$∆ABC$ vuông tại $A.$ Có $AC=25m;AB=3,1m$ nên 

$\begin{array}{rl}& tanC=\frac{AB}{AC}=\frac{3,1}{25}\approx 0,124\\ & \Rightarrow \hat{C}=7,{07}^0\end{array}$

Các tia sáng được coi là song song với nhau hay $BC//SO$ nên $\widehat{SOA}=\widehat{ACB}=7,{07}^0$  (hai góc so le trong)  

Vì Thành phố Xy-en nằm ở vị trí điểm S và thành phố A-lếch-xăng-đria nằm ở vị trí điểm A nên $SA=800km$.

$800km$ này được coi là ứng với độ dài cung có số đo là $\widehat{SOA}=7,{07}^0$

Mà số đo cả đường tròn (Trái Đất) là ${360}^0$ nên chu vi của Trái Đất là: ${\displaystyle 800.\frac{{360}^0}{7,{07}^0}\approx 40735,5(km).}$