a) $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{3}}}$,         b) $\sqrt{-5a}$;       c) $\sqrt{4-a}$;     d) $\sqrt{3a+7}$

Lời giải:

a) Ta có:  $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{3}}}$ có nghĩa khi ${\displaystyle \frac{a}{3}}\ge 0\iff a\ge 0$

b) Ta có: $\sqrt{-5a}$ có nghĩa khi $-5a\ge 0\iff a\le {\displaystyle \frac{0}{-5}}\iff a\le 0$

c) Ta có: $\sqrt{4-a}$ có nghĩa khi $4-a\ge 0\iff -a\ge -4\iff a\le 4$

d) Ta có: $\sqrt{3a+7}$ có nghĩa khi $3a+7\ge 0\iff 3a\ge -7\iff a\ge {\displaystyle \frac{-7}{3}}$

a) $\sqrt{16}.\sqrt{25}+\sqrt{196}:\sqrt{49}$;

b) $36:\sqrt{{2.3}^2.18}-\sqrt{169}$;

c) $\sqrt{\sqrt{81}}$;

d) $\sqrt{3^2+4^2}$.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$.

+) Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số $a$: Nếu $a\ge 0$ thì $\left|a\right|=a$. Nếu $a<0$ thì $\left|a\right|=-a$. 

Lời giải:

a) Ta có: $\sqrt{16}.\sqrt{25}+\sqrt{196}:\sqrt{49}$

$=\sqrt{4^2}.\sqrt{5^2}+\sqrt{{14}^2}:\sqrt{7^2}$

$=\left|4\right|.\left|5\right|+\left|14\right|:\left|7\right|$

$=4.5+14:7$

$=20+2=22$. 

b) Ta có:

 $36:\sqrt{{2.3}^2.18}-\sqrt{169}$

$=36:\sqrt{({2.3}^2).18}-\sqrt{{13}^2}$

$=36:\sqrt{(2.9).18}-\left|13\right|$

$=36:\sqrt{18.18}-13$  

$=36:\sqrt{{18}^2}-13$

$=36:\left|18\right|-13$

$=36:18-13$ 

$=2-13=-11$.

c) Ta có: $\sqrt{81}=\sqrt{9^2}=\left|9\right|=9$.

 $\Rightarrow \sqrt{\sqrt{81}}$$=\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=\left|3\right|=3$.

d) Ta có: $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}$$=\sqrt{5^2}=\left|5\right|=5$

a)$\sqrt{2x+7}$;                         c) ${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{-1+x}}}$

b) $\sqrt{-3x+4}$                      d) $\sqrt{1+x^2}$

b) Ta có

$\sqrt{-3x+4}$ có nghĩa khi và chỉ khi:  $-3x+4\ge 0$

 $\iff -3x\ge -4$

${\displaystyle \iff x\le \frac{-4}{-3}}$

${\displaystyle \iff x\le \frac{4}{3}}$

 c) Ta có:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{-1+x}}}$ có nghĩa khi và chỉ khi: 

${\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle -1+x}}\ge 0\iff -1+x>0}$

$\iff x>1$

d) $\sqrt{1+x^2}$

Ta có:    $x^2\ge 0$,  với mọi số thực $x$

$\iff x^2+1\ge 0+1$, (Cộng cả 2 vế của bất đẳng thức trên với $1$)

$\iff x^2+1\ge 1$, mà $1>0$

$\iff x^2+1>0$

Vậy căn thức trên luôn có nghĩa với mọi số thực $x$.

a) $2\sqrt{a^2}-5a$ với $a<0$.              

b) $\sqrt{25a^2}+3a$ với $a\ge 0$.

c) $\sqrt{9a^4}+3a^2$,                          

d) $5\sqrt{4a^6}$ - $3a^3$ với $a<0$

b) Ta có:  $\sqrt{25a^2}+3a=\sqrt{5^2.a^2}+3a$

$=\sqrt{(5a{)}^2}+3a$

$=\left|5a\right|+3a$ 

$=5a+3a$

$=(5+3)a$

$=8a$.

(vì $a\ge 0\Rightarrow |5a|=5a$ ) 

c) Ta có: $\sqrt{9a^4}+3a^2=\sqrt{3^2.(a^2{)}^2}+3a^2$

$=\sqrt{(3a^2{)}^2}+3a^2$

$=\left|3a^2\right|+3a^2$

$=3a^2+3a^2$

$=(3+3)a^2$

$=6a^2$.

(Vì $a^2\ge 0$ với mọi $a\in \mathbb{R}\Rightarrow |3a^2|=3a^2$).

d) Ta có: 

$5\sqrt{4a^6}-3a^3=5\sqrt{2^2.(a^3{)}^2}-3a^3$

$=5.\sqrt{(2a^3{)}^2}-3a^3$

$=5.\left|2a^3\right|-3a^3$

$=\mathrm{5.2.}(-a^3)-3a^3$  (vì $a<0$ nên $|2a^3|=-2a^3$ )

$=10.(-a^3)-3a^3$

$=-10a^3-3a^3$

$=(-10-3)a^3$

$=-13a^3$.

a) $x^2-5=0$;  b)$x^2-2\sqrt{11}x+11=0$

Giả sử con muỗi nặng $m$ (gam), còn con voi nặng $V$ (gam). Ta có

                      $m^2+V^2=V^2+m^2$

Cộng hai về với $-2mV$, ta có

                      $m^2-2mV+V^2=V^2-2mV+m^2,$

hay                 ${\left(m-V\right)}^2={\left(V-m\right)}^2$

Lấy căn bậc hai mỗi vế của bất đẳng thức trên, ta được:

                       $\sqrt{{\left(m-V\right)}^2}=\sqrt{{\left(V-m\right)}^2}$          (1)

Do đó                $m-V=V-m$                          (2)

Từ đó ta có $2m=2V$, suy ra $m=V$. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$ thì ta phải có: 

$\{\begin{array}{c}\sqrt{{\left(m-V\right)}^2}=\left|m-V\right|\hfill \\ \sqrt{{\left(V-m\right)}^2}=\left|V-m\right|\hfill \end{array}$

Do đó:  $\sqrt{{\left(m-V\right)}^2}=\sqrt{{\left(V-m\right)}^2}$

        $\iff \left|m-V\right|=\left|V-m\right|.$

Vậy bài toán trên sai từ dòng (1) xuống dòng (2) vì khai căn không có dấu giá trị tuyệt đối.

Do đó, con muỗi không thể nặng bằng con voi.